54
Teorema 3.15
Jika adalah suatu graf dengan titik sebanyak sedemikian hingga
dan ̅ keduanya tidak memiliki titik terasing, maka ̅
.
Bukti
Karena dan ̅ keduanya tidak memiliki titik terasing, menurut akibat
3.10 maka dan
̅ . Karena itu jika salah satu
atau ̅ , maka bukti selesai. Jika dan ̅ , maka
menurut batas atas ii pada teorema 3.14,
̅
dan ̅
, sehingga ̅
. Karena itu diasumsikan atau
̅ . Karena , maka
. Dengan teorema 3.14, ̅
. Maka ̅
.
E. TEOREMA TENTANG BILANGAN DOMINASI BEBAS DARI
SUATU GRAF
Tidak sulit untuk melihat bahwa setiap himpunan bebas yang memiliki kardinalitas maksimal dari suatu graf
adalah himpunan yang mendominasi dari
. Maka , dimana adalah bilangan dominasi bebas minimum dari
. Bagaimanapun juga tidak semua himpunan yang mendominasi adalah himpunan bebas.
55
Teorema 3.16
Setiap himpunan bebas yang memiliki kardinalitas maksimal dari suatu graf
adalah himpunan yang mendominasi dari .
Bukti
Misal adalah himpunan bebas dari dan memiliki kardinalitas
terbesar dari semua himpunan bebas di . Maka untuk setiap titik
akan berhubungan dengan paling sedikit satu titik di . Sehingga menurut definisi 3.1,
merupakan himpunan yang mendominasi dari .
Teorema 3.17
Suatu himpunan titik-titik dalam adalah himpunan yang mendominasi
bebas jika dan hanya jika adalah himpunan bebas yang memiliki
kardinalitas maksimal.
Bukti
Setiap himpunan bebas maksimal adalah himpunan yang mendominasi berdasarkan teorema 3.16. Sebaliknya, misal
adalah himpunan yang mendominasi bebas, maka
adalah himpunan bebas dan setiap titik diluar berhubungan dengan titik dalam , yang berarti adalah himpunan
bebas maksimal.
56
Akibat 3.17
Setiap himpunan bebas maksimal suatu graf adalah himpunan yang mendominasi minimal.
Bukti
Misal adalah himpunan bebas maksimal dari graf . Dengan teorema
3.16, adalah himpunan yang mendominasi. Karena adalah himpunan
bebas, maka pasti setiap titik dalam tidak berhubungan dengan titik
dalam . Maka, setiap titik dalam memenuhi sifat i dari teorema 3.9.
Menurut teorema 3.9, adalah himpunan yang mendominasi minimal.
Teorema 3.18
Jika adalah graf bebas-
, dimana , maka
.
Bukti
Misal adalah himpunan yang mendominasi minimum dari dan misal
adalah himpunan bebas maksimal di . Maka, | | dan | | .
Misal adalah himpunan semua titik dalam yang tidak
berhubungan dengan titik dalam , dan misal adalah himpunan bebas
maksimal di . Maka
adalah himpunan bebas dari . Karena setiap titik dalam
berhubungan dengan suatu titik dalam dan
57
setiap titik dalam berhubungan ke suatu titik dalam , yang
mengakibatkan adalah himpunan bebas maksimal. Maka menurut
teorema 3.16, adalah himpunan yang mendominasi bebas.
Setiap titik dalam berhubungan dengan paling banyak
titik dalam , jika tidak, maka titik dalam berhubungan dengan
paling sedikit titik dalam dan juga paling sedikit satu titik dalam ,
yang menyebabkan kontradiksi dengan hipotesa bahwa tidak memuat
graf bagian yang diinduksi oleh . Juga, setiap titik dari
berhubungan ke suatu titik dalam . Maka, | | |
| | | |
| | | .
Akibatnya, |
| | | |
| |
| | |
| |
Akibat 3.18.a
Jika adalah graf bebas cakar, maka .
58
Akibat 3.18.b
Untuk setiap graf , .
Definisi 3.10
Suatu graf disebut dominasi sempurna jika untuk setiap
graf bagian yang diinduksi oleh .
Contoh 3.10
Graf dan graf
merupakan dominasi sempurna.
Akibat 3.18.c
Setiap graf bebas cakar adalah dominasi sempurna.
F. PARAMETER DOMINASI LAINNYA
