9
BAB II DASAR-DASAR TEORI GRAF
A. TEORI GRAF
Definisi 2.1
Graf didefinisikan sebagai pasangan himpunan , yang dalam hal
ini adalah himpunan tidak kosong dari titik-titik, yaitu {
} dan
adalah himpunan rusuk yang menghubungkan sepasang titik, yaitu {
}, atau dapat ditulis dengan notasi . Bila rusuk menghubungkan titik
dan maka dapat ditulis .
Contoh 2.1
Gambar 2.1 menyatakan graf dengan:
{ } { }
Gambar 2.1
10
Definisi 2.2
Dua buah titik pada graf dikatakan berhubungan bila keduanya
terhubung langsung oleh suatu rusuk. Untuk sebarang rusuk
, rusuk dikatakan bersisian dengan titik dan titik
.
Contoh 2.2
Pada gambar 2.1, titik berhubungan dengan titik , tetapi titik tidak
berhubungan dengan titik .
Definisi 2.3
Misalkan dan adalah himpunan titik-titik dalam graf ,
kardinalitas dari didefinisikan sebagai banyaknya titik dalam , dan
dinotasikan dengan | |.
Contoh 2.3
Pada gambar 2.1 kardinalitas dari adalah 8 atau | | .
Definisi 2.4
Misal adalah graf, dan adalah titik-titik dalam graf , jalan
dari didefinisikan sebagai barisan titik-titik dan rusuk-rusuk yang
11
dimulai dari dan diakhiri dengan sedemikian sehingga titik-titik dan
rusuk-rusuk yang berurutan saling bersisian. Sebuah jalan tanpa titik yang berulang disebut lintasan dan lintasan yang
menghubungkan titik dan disebut lintasan .
Lintasan tertutup atau siklus adalah lintasan yang dimulai dari dan
diakhiri dengan .
Contoh 2.4
Pada gambar 2.1, jalan beberapa diantaranya adalah:
Sedangkan lintasan adalah
Siklus dari gambar 2.1 salah satunya adalah
12
Definisi 2.5
Suatu fungsi disebut fungsi one-to-one satu-satu jika hanya
jika ,
.
Contoh 2.5
Misal dengan { } dan { }, yang
didefinisikan dengan
maka fungsi merupakan fungsi yang one-to-one.
Definisi 2.6
Suatu fungsi disebut fungsi onto jika hanya jika ,
, .
Contoh 2.6
Misal dengan { } dan { }, yang
didefinisikan dengan
13
maka fungsi merupakan fungsi yang onto.
Definisi 2.7
Graf dan dikatakan isomorfis, dinotasikan dengan , jika
terdapat fungsi satu-satu one-to-one dan onto sedemikian hingga setiap pasangan titik
dan berhubungan dalam jika dan hanya jika
dan berhubungan dalam . Fungsi yang memenuhi syarat tersebut disebut isomorfisma dari
ke .
Contoh 2.7
Gambar 2.2 Graf
dan pada gambar 2.2 merupakan graf yang isomorfis.Dengan , , , , dan atau ,
, , , dan .
14
Definisi 2.8
Misalkan adalah suatu titik dalam graf , derajat dari titik atau
adalah banyaknya rusuk yang bersisian dengan titik . Sedangkan derajat minimum dinotasikan dengan
adalah derajat terkecil dari titik-titik dalam
dan derajat maksimum dinotasikan dengan adalah derajat terbesar dari titik-titik dalam .
Contoh 2.8
Pada gambar 2.1 didapatkan
Sehingga dan .
Definisi 2.9
Misalkan adalah suatu titik dalam graf , merupakan titik ujung jika
memiliki derajat satu. Dan merupakan titik terasing jika memiliki
derajat nol.
15
Contoh 2.9
Gambar 2.3 Dari gambar 2.3 didapatkan
, maka titik adalah titik ujung dari graf tersebut, dan
, maka titik merupakan titik terasing.
Definisi 2.10
Misalkan adalah graf. Graf merupakan graf terhubung bila hanya bila
untuk setiap titik dan di , ada jalan dari titik ke titik .
Contoh 2.10
Gambar 2.4 Graf
merupakan graf terhubung, sedangkan graf merupakan graf tidak terhubung.
16
B. GRAF BAGIAN
Kategori