32
BAB III DOMINASI DALAM GRAF
A. KONSEP DOMINASI
Contoh dominasi dalam matematika muncul pada tahun 1850 dalam permainan yang disebut masalah n ratu. Dalam permainan catur, sebuah
ratu pada papan catur, diperbolehkan untuk bergerak secara horisontal,
vertikal, maupun diagonal. dikatakan menyerang jika dapat
memakan bidak catur dalam posisi . Yang berarti, posisi berada tepat
pada suatu garis lurus terhadap posisi dari , baik secara horisontal,
vertikal, maupun diagonal. dalam masalah n ratu, tantangannya adalah meletakan n ratu pada papan catur yang kosong, sehingga masing-masing
kotak dari 64 kotak tersebut dapat diserang oleh paling sedikit satu ratu. Ratu-ratu tersebut dikatakan mendominasi semua kotak jika ratu-ratu
tersebut dapat menduduki atau menyerang semua kotak, himpunan ratu tersebut adalah himpunan yang mendominasi kotak catur tersebut.
Masalahnya adalah untuk menentukan jumlah minimum ratu yang merupakan himpunan yang mendominasi. Jawaban tersebut adalah 5; salah
satunya ditunjukan pada gambar 3.1.
33
Gambar 3.1
B. HIMPUNAN YANG MENDOMINASI
Konsep dari himpunan yang mendominasi dalam graf tidak didefinisikan secara formal hingga 1958, ketika Berge dalam bukunya
yang berjudul “Théorie des Graphes et ses Applications” menulis buku
teori graf yang kedua; buku teori graf yang pertama ditulis oleh König dalam bukunya yang berjudul “Theorie der endlichen und unendlichen
Graphen” pada tahun 1936.
Definisi 3.1
Sebuah himpunan yang terdiri dari titik-titik dalam sebuah graf
disebut himpunan yang mendominasi jika setiap titik merupakan anggota dari
atau berhubungan dengan anggota dari
34
Selanjutnya, semua titik di atau yang berhubungan dengan anggota dari
dikatakan “didominasi” oleh titik-titik di .
Contoh 3.1
Dari gambar 2.1 didapatkan himpunan yang mendominasi beberapa diantaranya adalah
{ }, { }, { }, { }, { }, { }
Definisi 3.2
Himpunan yang mendominasi disebut himpunan yang mendominasi
minimal jika tidak ada himpunan bagian sejati
yang merupakan himpunan yang mendominasi. Himpunan yang mendominasi minimum
adalah himpunan yang mendominasi yang memiliki kardinalitas terkecil.
Contoh 3.2
Pada gambar 2.1, didapatkan himpunan yang mendominasi minimal { }, { }, { }, { }, { }, { }. dan himpunan
yang mendominasi minimum { }, { }, { }. Sedangkan himpunan
yang mendominasi minimal tapi tidak minimum adalah { },
{ }, { }.
35
Definisi 3.3
Bilangan dominasi dalam sebuah graf adalah kardinalitas dari
himpunan yang mendominasi minimum. Sedangkan bilangan dominasi atas
adalah kardinalitas terbesar dari himpunan-himpunan yang mendominasi minimal.
Contoh 3.3
Pada gambar 2.1, didapatkan bilangan dominasi dan .
C. HIMPUNAN YANG MENDOMINASI BEBAS
Kategori