Definisi Transformasi Fourier Diskrit

   N nk A k N nA k x n x k n        . Sehingga, jumlahan dalam aturan trapesium menjadi   . ˆ 2 2 2 2 1 2 1 2             N N N N n k n N k n i n n x i n k e f N A e f N A f    Oleh karena itu, aproksimasi transformasi Fourier fˆ pada titik-titik grid frekuensi A k k   diberikan oleh                k N N A A F n N k n i n N x k i k e f N A e x f A k f f                  2 2 2 2 1 2 2 1 ˆ ˆ    , 3.12 untuk 2 : 1 2 N N k    . k F pada 3.12 merupakan definisi dari transformasi Fourier Diskrit. Bila diberikan N nilai sampel n f , maka transformasi Fourier Diskrit memuat N koefisien       2 2 1 2 1 N N n N k n i n k e f N F  3.13 untuk 2 : 1 2 N N k    . Dari hasil aproksimasi dengan aturan trapesium 3.7, dapat disimpulkan bahwa aproksimasi untuk transformasi Fourier   k f  ˆ diberikan oleh   k k AF f   ˆ . Untuk mempermudah penulisan 3.13, dimisalkan, , 2 sin 2 cos 2                N i N e N i N     sehingga     . dan 2 2 2 2 N k n i nk N i nk N N k n i nk N i nk N e e e e              Definisi 3.6 Misal N bilangan bulat genap positif dan n f barisan N bilangan kompleks dengan 2 : 1 2 N N n    , maka bentuk transformasi Fourier Diskritnya adalah       2 2 1 1 N N n nk N n k f N F  3.14 untuk 2 : 1 2 N N k    . Misal N bilangan bulat ganjil positif dan n f barisan N bilangan kompleks dengan     2 1 : 2 1     N N n , maka bentuk transformasi Fourier Diskritnya adalah        2 1 2 1 1 N N n nk N n k f N F  3.15 untuk     2 1 : 2 1     N N k . Untuk mendefinisikan transformasi Fourier Diskrit dari barisan n f akan digunakan notasi �{� }, dan �{� } untuk menunjukkan elemen transformasi ke k, sehingga �{� } = � . Terdapat banyak bentuk alternatif untuk mendefinisikan transformasi Fourier Diskrit. Misalnya, bila input TFD merupakan barisan yang bergantung pada waktu akan lebih mudah menggunakan indeks 1 :  N . Untuk penerapan lainnya domain spasial, seperti rekonstruksi citra dari proyeksi, akan lebih mudah untuk menempatkan titik asal di tengah ruang gambar, yang mengarah ke Definisi 3.6. Definisi 3.7 Misal N bilangan bulat positif dan n f barisan N bilangan kompleks dengan 1 :   N n , maka bentuk transformasi Fourier Diskritnya adalah      1 1 N n nk N n k f N F  3.16 untuk 1 :   N k . Bentuk alternatif TFD 3.16 setara dengan bentuk TFD 3.14. Salah satu keuntungan dari Definisi 3.7 adalah bahwa rumus tersebut tidak bergantung pada genapganjilnya N . Secara umum, output dari transformasi Fourier Diskrit, k F , adalah barisan bernilai kompleks dan juga merupakan barisan dengan periode N yang memenuhi N k k F F   ,   2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 N N n N N n nN N nk N n N N n N N n nN nk N n N N n N N n N k n N n N N n N k f N f N f N F                                                                  . 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 N N n k N N n N N n nk N n N N n N N n nk N n N N n N N n n i nk N n F f N f N e f N                                                              Dari rumus TFD dapat ditentukan bagian riil dan imajinernya. Bagian riil dinotasikan dengan   k F Re dan bagian imajiner dinotasikan dengan   . Im k F Notasi tersebut juga digunakan untuk menunjukkan bagian riil dan imajiner dari input barisan n f , yaitu   n f Re dan   n f Im , sehingga diperoleh k F sebagai berikut:                                                   2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 sin 2 cos Im Re 1 Im Re 1 1 N N n n n N N n N k n i n n N N n nk N n k N k n i N k n f i f N e f i f N f N F                     . 2 sin Re 2 cos Im 2 sin Im 2 cos Re 1 2 sin Re 2 cos Im 2 sin Im 2 cos Re 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2                                                                                             N N n n n N N n n n n n N N n n n N k n f N k n f N i N k n f N k n f N N k n f N k n f i N k n f N k n f N         Oleh karena itu, bagian riil dan imajiner dari k F didefinisikan sebagai berikut. Bentuk Riil dan Imajiner Transformasi Fourier Diskrit                                                 2 1 2 2 1 2 2 sin Re 2 cos Im 1 Im 2 sin Im 2 cos Re 1 Re N N n n n k N N n n n k N k n f N k n f N F N k n f N k n f N F     Contoh 3.6 Perhatikan 12 titik barisan bernilai riil n f yang diberikan dalam Tabel 3.1. n,k Re{ n f } Im{ n f } -5 0.7630 -4 -0.1205 -3 -0.0649 -2 0.6133 -1 -0.2697 -0.7216 1 -0.0993 2 0.9787 3 -0.5689 4 -0.1080 5 -0.3685 6 0.0293 Tabel 3.1. 12 titik numerik bernilai riil dari n f Gambar 3.4. Bagian riil kiri dan bagian imajiner kanan dari 12 titik input barisan n f . Maka transformasi Fourier Diskrit dari barisan bernilai riil n f adalah:      6 5 12 12 1 n nk n k f F  , untuk 6 : 5   k . Transformasi Fourier Diskrit dari barisan bernilai riil n f juga terdiri dari 12 titik barisan k F yang diberikan dalam Tabel 3.2. n,k Re{ k F } Im{ k F } -5 0.0684 -0.1093 -4 -0.1684 0.0685 -3 -0.2143 -0.0381 -2 -0.0606 0.1194 -1 -0.0418 -0.0548 0.0052 1 -0.0418 0.0548 2 -0.0606 -0.1194 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 3 -0.2143 0.0381 4 -0.1684 -0.0685 5 0.0684 0.1093 6 0.1066 0.0000 Tabel 3.2. 12 titik numerik transformasi Fourier Diskrit barisan n f . Gambar 3.5. Bagian riil kiri dan bagian imajiner kanan dari k F . Transformasi Fourier Diskrit digunakan karena terdapat suatu masalah yang muncul dalam domain spasial atau temporal yang dapat ditransformasi menjadi masalah yang lebih sederhana dalam domain lainnya. Penyelesaian yang diperoleh dari domain kedua harus diubah kembali ke domain aslinya. Untuk mengubahnya, suatu invers transformasi diperlukan. Definisi 3.8 Misal N bilangan bulat positif genap dan k F adalah barisan bilangan kompleks N dengan 2 : 1 2 N N k    . Maka invers transformasi Fourier Diskritnya adalah      2 2 1 N N k nk N k n F f  3.17 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0.05 0.1 0.15 0.2 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0.05 0.1 0.15 0.2 untuk 2 : 1 2 N N n    . Jika N bilangan bulat positif ganjil dan k F adalah barisan bilangan kompleks N dengan     2 1 : 1 2 1      N N k . Maka invers transformasi Fourier Diskritnya adalah       2 1 2 1 N N k nk N k n F f  3.18 untuk     2 1 : 1 2 1      N N n . Definisi ini bersifat periodik pada barisan n f yang memenuhi N n n f f   ,   2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 N N k N N k Nk nk N k N N k N N k k N n N k N N k N n F N F N f                                         2 1 2 2 1 2 1 N N k N N k Nk N nk N k F N                    2 1 2 2 1 2 2 1 N N k N N k k i nk N k e F N                      . 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 N N k n N N k N N k nk N k N N k N N k nk N k f F N F N                                        Seperti pada TFD, untuk mendefinisikan invers transformasi Fourier Diskrit dari barisan k F akan digunakan notasi � −1 { � }, dan � −1 { � } yang menyatakan elemen ke n dari invers transformasinya, sehingga � −1 { � } = � . Notasi tersebut menunjukkan bahwa TFD dan ITFD merupakan invers satu sama lain, tetapi faktanya belum ditunjukkan. Maka selanjutnya akan ditunjukkan bahwa operator � dan � −1 memenuhi hubungan invers � −1 { � � } = � dan �{� −1 � } = � . Untuk membuktikan rumus invers, membutuhkan sifat ortogonalitas dari fungsi eksponensial. Teorema 3.4 Ortogonalitas Jika j dan k bilangan bulat dan N bilangan bulat positif, maka   k j N e e n N n N k n i N j n i          ˆ 1 2 2 . 3.19 Bukti: Misalkan N i N e   2  . Perhatikan bahwa N bilangan kompleks k N  untuk 1 :   N k , yang disebut sebagai akar satuan ke-N karena memenuhi     1 2 2    k i N N k i N k N e e    , dan oleh karena itu 1   N z . k N  adalah salah satu dari akar satuan ke N untuk setiap bilangan bulat k, tetapi barisan      k k N  berperiode N                                                         k k N k k N k k N k i k N k N N i k N k N N k N k N k N i e e             1 2 sin 2 cos 2 2 Sehingga himpunan akar-akar ini dapat ditentukan oleh k N   untuk setiap bilangan bulat N berturut-turut k. Pertama, kita faktorkan polinomial 1  N z seperti berikut                     1 2 1 1 1 1 1 N n n N N N z z z z z z z  Diketahui bahwa k N  adalah akar dari 1   N z , ada dua kasus untuk diperhatikan. Jika dimisalkan k j N z    di mana k j  bukan kelipatan N, maka 1  z , dan kita mempunyai   1 1          N n n k j N N n n z  . Kasus lain, jika k j  kelipatan N maka 1   k j N z  dan   N z N n N n n k j N N n n              1 1 1 1  . Sifat ortogonalitas terbukti dari kedua kasus tersebut. Sifat ortogonalitas Teorema 3.4 juga dapat dibuktikan dengan langkah yang berbeda, yaitu dengan menerapkan deret geometri: . 1 1 1       N n N n a a a Akan dibuktikan:                  . jika jika ˆ 1 2 2 k j k j N k j N e e n N n N k n i N j n i    Untuk   k j ,                         . 1 2 sin 2 cos 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2                                N k j i N k j i k j i N k j i N N k j i N n n N k j i e k j i k j e e e e e                Untuk   k j ,       N e e N n N n n N n n N k j i              1 1 1 2 1  . Karena barisan k N  berperiode N , sifat ortogonal berlaku ketika penjumlahan dalam 3.16 dihitung terhadap setiap N nilai n berturut- turut; dengan kata lain,   k j N e e N N P P n N k n i N nj i           ˆ 1 2 2 untuk setiap bilangan bulat P. Sifat ortogonal transformasi Fourier Diskrit merupakan sebuah hubungan antara vektor-vektor. Dengan demikian jika terdapat N vektor kompleks                     k N N k N k N N k 1 2      ω , maka     3.3 Teorema ˆ kompleks konjugat sifat definisi dalam kali hasil definisi , 1 2 2 1 2 2 1 k j N e e e e N N n N k i N j n i nk N N n N k i N j n i N n nk N nj N k j                        ω ω Jadi, ˆ , k j N N k j    ω ω dan sembarang N nilai k berturut-turut menghasilkan himpunan vektor yang ortogonal. Teorema 3.5 Invers Jika n f adalah barisan N bilangan kompleks dan  k F � � adalah Transformasi Fourier dari barisan n f , maka � −1 � � = n f . Bukti: Diketahui:  n f � −1 �      2 2 1 N N k nk N k F  dan  k F � �       2 2 1 1 N N n nk N n f N  . Kombinasikan definisi � dan � −1 , sehingga � −1 � � = � −1 � definisi � �      2 2 1 N N k nk N k F  definisi � −1 � nk N k j jk N j N N N N f N                     2 2 2 2 1 1 1 definisi k F           2 2 2 2 1 1 1 N N N N j jk N j k nk N f N   aturan sigma           2 2 2 2 1 1 1 N N N N k jk N nk N j j f N   aturan sigma          j n N k j n k N j j N N N N N f N              ˆ 1 1 2 2 2 2 1 aturan pangkat Penjumlahan   j n  pada persamaan terakhir di atas tidak nol hanya jika n j  , sehingga persamaan terakhir tersebut menjadi � −1 � � n n f f N N   1 . Dengan menggunakan langkah-langkah yang sama untuk membuktikan Teorema 3.5 dapat ditunjukkan bahwa � � −1 � = � . � � −1 � = � � definisi � −1 �       2 2 1 1 N N n nk N n f N  definisi � �                   2 2 2 2 1 1 1 N N N N n nk N j nj N j F N   definisi n f           2 2 2 2 1 1 1 N N N N j nj N j n nk N F N   aturan sigma           2 2 2 2 1 1 1 N N N N n nk N nj N j j F N   aturan sigma          ˆ 1 1 2 2 2 2 1 k j N n k j n N j j N N N N N F N              aturan pangkat Penjumlahan   k j  pada persamaan terakhir di atas tidak nol hanya jika k j  dan persamaan terakhir tersebut menjadi � � −1 � = k F N N 1 = � . Transformasi Fourier Diskrit TFD merupakan pemetaan dari N nilai n f ke N nilai k F . Oleh karena itu, transformasi Fourier Diskrit dapat dinyatakan sebagai perkalian dari suatu vektor dengan N elemen dengan suatu matriks N N  . Untuk menyatakan transformasi Fourier Diskrit dalam bentuk matriks akan lebih mudah bila menggunakan Definisi 3.7. Definisi 3.9 Jika f menyatakan vektor dari data input,   T N f f f f 1 2 1 , , , ,    f , dan F menyatakan vektor dari nilai output,   T N F F F F 1 2 1 , , , ,    F , maka transformasi Fourier Diskrit dapat ditulis: Wf F  , dengan                                            1 1 1 2 1 1 2 4 2 1 2 1 1 N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N                         W . Matriks W matriks Fourier merupakan matriks persegi dan matriks nonsingular, yaitu matriks yang mempunyai invers. Matriks ini mempunyai sifat-sifat penting, antara lain:  Karena TFD invertible nonsingular, maka matriks tersebut mempunyai invers yaitu 1  W .  Matriks W simetris, sehingga W W  T .  Invers dari W merupakan suatu perkalian dari konjugat komplek W sendiri: . W W 1 N   Oleh karena itu, I WW  N menyatakan transpose konjugat dan I merupakan matriks identitas, dan W merupakan matriks uniter terhadap faktor N. Faktor N dapat dimasukkan pada definisi TFD dan invers TFD, dalam kasus I WW  . Contoh 3.7 Diberikan 3  N sehingga                3 2 sin 3 2 cos 3 2 3     i e i 2 3 2 1 i    . Matriks Fouriernya adalah                               1 3 2 3 2 3 1 3 4 3 2 3 3 2 3 1 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 3 1 3 1              W . Jika   T 2 7 1  f maka transformasi Fourier Diskrit f adalah . 4434 , 1 1667 , 1 4434 1 1667 1 3 10 2 7 1 2 7 1 2 7 1 3 1 2 7 1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 2 3 2 3 1 3 1 3 2 3 2 3 1 3                                                           + i - , - i , - W         f F Pada subbab selanjutnya akan dibahas mengenai sifat-sifat dari transformasi Fourier Diskrit

3.3.2. Sifat-sifat Dasar Transformasi Fourier Diskrit

Sama halnya dengan deret Fourier dan transformasi Fourier, transformasi Fourier Diskrit memiliki sifat-sifat yang berguna untuk menyelesaikan banyak masalah. Misalnya, suatu masalah tertentu pada suatu domain domain spasial atau waktu dapat dirumuskan kembali ke dalam bentuk yang lebih sederhana pada domain frekuensi. Penghubung antara kedua domain tersebut adalah transformasi Fourier Diskrit dan sifat- sifat dari transformasi Fourier Diskrit yang menjelaskan bagaimana suatu masalah yang diberikan dimodifikasi dari domain yang satu ke domain yang lainnya. Untuk memaparkan sifat-sifat transformasi Fourier Diskrit akan digunakan rumus TFD 3.14 dan inversnya 3.17. Berikut beberapa sifat- sifat dasar dari transformasi Fourier Diskrit. 1. Periodik Barisan-barisan fungsi kompleks k F dan n f didefinisikan oleh N titik, sehingga 3.11 dan 3.14 memiliki sifat periodik. Dengan kata lain, 3.11 dan 3.14 berperiode N , yang berarti bahwa   2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 N N n N N n nN nk N n N N n N N n N k n N n N N n N k f N f N F                                           2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 N N n N N n n i nk N n N N n N N n nN N nk N n e f N f N                                            , 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 N N n k N N n N N n nk N n N N n N N n nk N n F f N f N                                          dan   2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 N N k N N k Nk nk N k N N k N N k k N n N k N N k N n F N F N f                                         2 1 2 2 1 2 1 N N k N N k Nk N nk N k F N                    2 1 2 2 1 2 2 1 N N k N N k k i nk N k e F N                      2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 N N k n N N k N N k nk N k N N k N N k nk N k f F N F N                                        berlaku untuk semua  k n, ℤ + . Sifat tersebut diturunkan secara langsung dari pernyataan bahwa                                                                   k nk N k nk N k nk N k n i nk N k N nN i nk N k nN N nk N k N k n N n i n e e             1 2 sin 2 cos 2 2 dan                       . 1 2 sin 2 cos , , , , 2 , 2 , ,                                     k n nk N k n nk N k n nk N k n k i nk N k n N Nk i nk N k n Nk N nk N k n k N n N k i k e e             2. Linear Salah satu sifat dasar dari TFD adalah linear: transformasi Fourier Diskrit dari kombinasi linear barisan-barisan input TFD adalah sama dengan kombinasi linear TFDnya. Sifat linear memungkinkan untuk memisahkan sinyal-sinyal ke dalam komponen-komponen yang bervariasi dasar untuk analisis spektral. Sifat linear dapat ditunjukkan dengan cara berikut. Jika n f dan n g merupakan barisan bernilai kompleks sejumlah N , dan  dan  adalah bilangan kompleks, maka �        k n n g f �     k n f �   k n g . Sifat tersebut mengikuti pernyataan berikut: �   k n n g f             2 2 1 1 N N n nk N n n g f N                2 2 2 2 1 1 1 1 N N N N n nk N n n nk N n g N f N       �     k n f �   k n g . Sifat linearitas juga berlaku untuk invers transformasi Fourier Diskrit, yaitu: Jika k F dan k G merupakan barisan bernilai kompleks sejumlah N , dan  dan  adalah bilangan kompleks, maka � −1        n k k G F � −1    n k F � −1   n k G . Sifat tersebut mengikuti pernyataan berikut: � −1   n k k G F            2 2 1 N N n nk N k k G F              2 2 2 2 1 1 N N N N n nk N k n nk N k G F       � −1     n k F � −1   n k G . 3. Pergeseran dan Modulasi Dua sifat yang saling berhubungan dan memiliki akibat yang penting adalah pergeseran dan modulasi. Sifat pergeseran menjelaskan