Jika
n
f dan
n
g
merupakan barisan bernilai kompleks sejumlah N , dan
dan adalah bilangan kompleks, maka �
k n
n
g f
�
k n
f �
k n
g
. Sifat tersebut mengikuti pernyataan berikut:
�
k n
n
g f
2 2
1
1
N N
n nk
N n
n
g f
N
2 2
2 2
1 1
1 1
N N
N N
n nk
N n
n nk
N n
g N
f N
�
k n
f �
k n
g
. Sifat linearitas juga berlaku untuk invers transformasi Fourier
Diskrit, yaitu: Jika
k
F
dan
k
G merupakan barisan bernilai kompleks sejumlah N , dan
dan adalah bilangan kompleks, maka �
−1
n k
k
G F
�
−1
n k
F �
−1
n k
G
. Sifat tersebut mengikuti pernyataan berikut:
�
−1
n k
k
G F
2 2
1
N N
n nk
N k
k
G F
2 2
2 2
1 1
N N
N N
n nk
N k
n nk
N k
G F
�
−1
n k
F �
−1
n k
G
. 3.
Pergeseran dan Modulasi Dua sifat yang saling berhubungan dan memiliki akibat yang
penting adalah pergeseran dan modulasi. Sifat pergeseran menjelaskan
akibat dari suatu barisan TFD yang telah digeser atau ditranslasi. Suatu barisan
n
f yang telah digeser ke kanan sebesar j satuan dengan
menggunakan invers dari transformasi Fourier Diskrit dapat ditulis sebagai
2 2
2 2
1 1
N N
N N
k nk
N jk
N k
k k
j n
N k
j n
F F
f
�
−1
n jk
N k
F
.
Dari pernyataan terakhir dapat ditulis pernyataan berikut �
jk N
k k
j n
F f
.
Dengan kata lain, transformasi suatu barisan yang telah digeser ke kanan sebesar j satuan berakibat merotasi barisan asli koefisien TFD
di bidang kompleks; pada faktanya, koefisien awal
k
F
dirotasi dengan sudut
N jk
2
.
Sifat modulasi atau sifat pergeseran frekuensi memberikan akibat pada modulasi barisan input, yaitu, mengalikan elemen-elemen
barisan input
n
f dengan
nj N
, dengan j suatu bilangan bulat.
�
2 2
1
1
N N
n nk
N nj
N n
k nj
N n
f N
f
2 2
1
1
N N
n j
k n
N n
f N
�
j k
j k
n
F f
.
Sifat tersebut menjelaskan bahwa jika suatu barisan input dimodulasi dengan modus
j n
2
cos atau
j n
2
sin dengan frekuensi j siklus
pada domain maka akan menghasilkan TFD yang digeser sebesar j satuan.
3.3.3. Transformasi Fourier Diskrit 2 Dimensi
Transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi merupakan perluasan dari transformasi Fourier Diskrit 1 dimensi transformasi Fourier Diskrit,
sehingga prinsip-prinsip yang terdapat pada transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi sama dengan transformasi Fourier Diskrit 1 dimensi. Pembedanya
ialah fungsi yang dikenakan pada transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi memiliki 2 variabel bebas. Oleh karena itu, pada subbab ini kita harus
memandang input dari transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi berupa suatu data array yang dinyatakan dalam suatu bidang.
Sama halnya dengan transformasi Fourier Diskrit 1 dimensi, definisi dari transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi dimulai dengan
penjabaran input. Input yang diberikan dapat berupa suatu bentuk Diskrit misal, data sampel atau bentuk kontinyu fungsi dua variabel. Untuk
saat ini diasumsikan bahwa fungsi
f
terdefinisi pada
2 2
, 2
2 :
, B
y B
A x
A y
x
.
Seperti dalam kasus 1 dimensi fungsi
f
harus diberi sampel untuk dapat diselesaikan secara numerik. Untuk membuat sampel pada daerah
tersebut suatu bidang koordinat dibentuk dengan jarak antar titik koordinat seragam yaitu
M A
x
dalam sumbu horisontal dan
M B
y
dalam
sumbu vertikal. Titik-titik koordinat yang terbentuk Gambar 3.6 diberikan oleh
y n
x m
y x
n m
,
,
dengan 2
: 1
2 M
M m
dan
2 :
1 2
N N
n
.
Gambar 3.6. Kiri Bidang koordinat spasial. Kanan Bidang koordinat
frekuensi dengan jarak antar titik-titik koordinat
n m
,
ialah M
pada sumbu
horisontal dan
N
dengan
2 :
1 2
M M
m
dan 2
: 1
2 N
N n
.
Fungsi input
f
dapat disampelkan dengan mencatat nilainya pada titik-titik koordinat tersebut sehingga menghasilkan barisan array
bilangan dari
n m
mn
y x
f f
,
. Sebagai antisipasi penggunaan array
mn
f
sebagai input TFD, kita harus menganggap jika
mn
f
mempunyai periode ganda, yang berarti
mn n
M m
f f
,
dan
mn N
n m
f f
,
. Sekarang diasumsikan bahwa barisan input
mn
f
terpisah, artinya fungsi
n m
mn
h g
f
. Dengan asumsi ini, barisan
m
g dan
n
h dapat dinyatakan berdasarkan definisi invers transformasi Fourier Diskrit 1
dimensi, sehingga
2 2
1
M M
j mj
M j
m
G g
dan
2 2
1
N N
k nk
N k
n
H h
, 3.20
untuk 2
: 1
2 M
M m
dan
2 :
1 2
N N
n
. Dari 3.20, dapat dilihat bahwa
j
G
dan
k
H
merupakan koefisien TFD dari
m
g dan
n
h , yaitu
2 2
1
1
M M
m mj
M m
j
g M
G
dan
2 2
1
1
N N
n nk
N n
k
h N
H
,
dengan 2
: 1
2 M
M j
dan
2 :
1 2
N N
k
. Dengan penjabaran secara terpisah di atas, barisan
n m
mn
h g
f
dapat dikonstruksikan dari perkalian antara
m
g dan
n
h , sehingga
,
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
M M
N N
M M
jk N
N N
N M
M
j nk
N mj
M jk
k j
nk N
mj M
F k
j k
k nk
N k
j mj
M j
n m
mn
F H
G H
G h
g f
untuk 2
: 1
2 M
M m
dan
2 :
1 2
N N
n
. Sekarang kita memiliki koefisien baru yaitu,
k j
jk jk
H G
F F
,
. Sama halnya dengan barisan
mn
f
, koefisien
jk
F
juga dapat dikonstruksikan dari perkalian antara
j
G
dan
k
H
, sehingga
, 1
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
nk N
m mj
M mn
n n
nk N
n m
mj M
m k
j jk
M M
N N
N N
M M
f MN
h N
g M
H G
F
untuk 2
: 1
2 M
M j
dan
2 :
1 2
N N
k
.
Definisi 3.10 Transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi
Jika diberikan suatu input N
M array
mn
f
, maka
nk N
m mj
M mn
n jk
M M
N N
f MN
F
2 2
2 2
1 1
1 ,
3.21
untuk 2
: 1
2 M
M j
dan
2 :
1 2
N N
k
.
Definisi 3.11 Invers transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi
Jika diberikan suatu input N
M array
jk
F
, maka
2 2
2 2
1 1
M M
N N
j nk
N mj
M jk
k mn
F f
, 3.22
untuk 2
: 1
2 M
M m
dan
2 :
1 2
N N
n
. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa 3.21 dan 3.22 berperiodik
M
pada indeks pertama dan berperiodik N pada indeks kedua dan juga akan ditunjukkan bahwa 3.21 dan 3.22 saling berinvers satu sama lain.
Seperti pada kasus 1 dimensi, sifat invers bergantung pada ortogonalitas. Pertama, akan ditunjukkan ortogonalitas dari vektor
jk
ω dengan
nk N
mj M
jk mn
ω
. Perhatikan hasil kali dalam Diskrit dua modus dengan frekuensi
k j,
dan
, k j
,
. ,
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
M M
N N
M M
N N
m n
nk N
mj M
nk N
mj M
m n
k j
mn jk
mn k
j jk
ω ω
ω ω
Dengan sifat perkalian eksponensial
b a
N b
N a
N
diperoleh
. ˆ
ˆ
1 1
1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
j k
N j
j M
N M
m n
k k
n N
j j
m M
m n
k k
n N
j j
m M
m n
nk N
mj M
nk N
mj M
M M
N N
M M
N N
M M
N N
Dengan sifat ortogonalitas dua dimensi tersebut, dapat ditunjukkan bahwa 3.20 dan 3.21 berinvers satu sama lain. Misalkan,
mn
f �
−1
mn jk
F
2 2
2 2
1 1
N N
M M
k nk
N mj
M jk
j
F
dan
jk
F
�
jk mn
f
2 2
2 2
1 1
1
N N
M M
n nk
N mj
M mn
m
f MN
.
Sehingga dapat ditunjukkan bahwa, �
−1
� � �
−1
�
