Turunan Fungsi Fungsi Mulus

2.2. Aljabar Matriks

2.2.1. Matriks Identitas

Definisi 2.9 Matriks persegi yang elemen diagonal utamanya bernilai 1 dan elemen lainnya 0 disebut sebagai matriks identitas. Matriks identitas dinotasikan dengan I ,              1 1 1        I .

2.2.2. Invers Matriks

Definisi 2.10 Jika A merupakan matriks persegi, dan jika ada suatu matriks 1  A dengan ukuran matriks yang sama dengan A sedemikian sehingga I A A AA     1 1 , maka A disebut sebagai matriks nonsingular atau invertible, dan 1  A disebut invers dari A . Contoh 2.6 Misal          3 1 5 2 A dan         2 1 5 3 1 A , maka I AA                         1 1 2 1 5 3 3 1 5 2 1 , I A A                         1 1 3 1 5 2 2 1 5 3 1 . Jadi, A merupakan matriks nonsingular. Teorema 2.1 Jika A adalah matriks invertible, dan jika B dan C merupakan invers dari A , maka C B  ; yang berarti, suatu matriks invertible mempunyai invers tunggal. Bukti : Karena B adalah invers dari A , kita punya I BA  . Kemudian, kalikan kedua ruas dengan C , sehingga diperoleh     C. C BA IC C BA   Karena C juga merupakan invers dari A , kita punya I AC  . Sehingga, ruas kiri dari persamaan di atas dapat ditulis kembali sebagai     B BI AC B C BA    , ini mengakibatkan C B  . Teorema 2 .2 Jika A dan B matriks invertible dengan ukuran matriks yang sama, maka AB invertible dan   1 1 1     A B AB . Bukti: Akan ditunjukkan:         I AB A B A B AB       1 1 1 1 .       I AA AIA A BB A A B AB           1 1 1 1 1 1 ,       I B B IB B B A A B AB A B           1 1 1 1 1 1 .

2.2.3. Matriks Simetris

Definisi 2.11 Matriks persegi A disebut matriks simetris jika A A T  . Secara aljabar, suatu matriks   ij a A  simetris jika dan hanya jika     ji ij A A  atau ji ij a a  . Contoh 2.7 Misal,         5 3 9 2 A , maka         5 9 3 2 T A .

2.2.4. Matriks Uniter

Definisi 2.12 Jika A merupakan matriks dengan elemen-elemennya berupa bilangan kompleks matriks kompleks, maka transpose konjugat dari A , dinotasikan dengan A , didefinisikan oleh T A A  . Contoh 2.8 Misal,           i i i i A 2 3 2 1 , maka transpose konjugat dari A ialah                i i i i A A T 2 3 2 1 .