4. Transformasi Fourier dari turunan ke- n f , kita punya
ℱ
dx
e x
f x
f
x i
n n
2
. Kemudian integralkan menggunakan rumus integral parsial; yaitu,
du v
v u
dv u
.
Dengan
dx x
f dv
n
dan
x i
e u
2
, maka
x f
v
n 1
dan
dx e
i du
x i
2
2
, maka diperoleh
dx e
x f
i x
f e
dx e
x f
x i
n n
x i
x i
n
2 1
1 2
2
2
. Karena
x
f untuk nilai x yang besar maka kita peroleh
dx
e x
f i
dx e
x f
x i
n x
i n
2 1
2
2
. Catatan: Integral parsial mereduksi banyaknya turunan f satu demi satu
n
f menjadi
1
n
f . Kita juga memperoleh faktor
2 i
. Dengan mengulang proses tersebut
1
n
kali, kita memproleh
dx
e x
f i
dx e
x f
x i
n x
i n
2 2
2
n
i
2
ℱ
f
. 5.
Invers transformasi Fourier dari turunan ke- n
fˆ
, kita punya ℱ
−1
d e
f x
f
x i
n n
2
ˆ ˆ
. Kemudian integralkan menggunakan rumus integral parsial; yaitu,
du v
v u
dv u
. Dengan
d f
dv
n
ˆ
dan
x i
e u
2
, maka
1
ˆ
n
f v
dan
d e
x i
du
x i 2
2
, maka diperoleh
d e
f x
i f
e d
e f
x i
n n
x i
x i
n 2
1 1
2 2
ˆ 2
ˆ ˆ
.
Karena
x
f untuk nilai x yang besar maka kita peroleh
d e
f x
i d
e f
x i
n x
i n
2 1
2
ˆ 2
ˆ
. Catatan: Integral parsial mereduksi banyaknya turunan f satu demi satu
n
f menjadi
1
n
f . Kita juga memperoleh faktor
x i
2
. Dengan mengulang proses tersebut
1
n
kali, kita memperoleh
d e
f x
i d
e f
x i
n x
i n
2 2
ˆ 2
ˆ
n
x i
2
ℱ
−1
x fˆ
. 6.
Dengan menggunakan definisi transformasi Fourier, kita mempunyai ℱ
dx
e a
x f
a x
f
x i
2
. Misal,
a x
s
, sehingga
a s
x
dan
ds dx
. Kita peroleh ℱ
ds
e s
f s
f
a s
i
2
ds
e e
s f
a i
s i
2 2
ds
e s
f e
s i
a i
2 2
a i
e
2
ℱ f
. 7.
Dengan menggunakan definisi transformasi Fourier, kita mempunyai
ℱ
dx
e bx
f bx
f
x i
2
.
Misal,
bx t
, sehingga
b t
x
dan
b dt
dx
. Kita peroleh
ℱ
b
dt e
t f
t f
b t
i
2
b
dt e
t f
b t
i
2
dt
e t
f b
b t
i
2
1
b 1
ℱ f
b
.
8. Diketahui:
x
f untuk
x
, kita peroleh ℱ
dx
e x
f f
x i
2
2 2
2
dx e
x f
dx e
x f
dx e
x f
x i
x i
x i
Misal,
2 i
s
, maka dengan definisi transformasi Laplace diperoleh
ℱ
dx e
x f
f
sx
ℒ
s f
= ℒ
2 i
f .
Dengan pengetahuan tentang deret Fourier dan transformasi Fourier pada subbab sebelumnya, selanjutnya akan dibahas mengenai transformasi
Fourier Diskrit yang merupakan topik utama dari tulisan ini.
3.3. Transformasi Fourier Diskrit
Transformasi Fourier dan deret Fourier digunakan untuk menganalisis sinyal-sinyal kontinyu seperti grafik pada Gambar 3.2. Tetapi, sinyal-sinyal
yang ada dalam kebanyakan aplikasi saat ini merupakan sinyal Diskrit, Gambar 3.3, seperti sinyal yang berasal dari pemutar CDDVD.
Gambar 3.2. Sinyal Kontinu
Gambar 3.3. Sinyal Diskrit
Berikut definisi dari transformasi Fourier Diskrit.
3.3.1. Definisi Transformasi Fourier Diskrit
Berdasarkan pada Definisi 3.5, diasumsikan fungsi yang diberikan itu terbatas misalnya, f mungkin mewakili gambar yang memiliki batas-
batas yang terdefinisi dengan baik atau, f diasumsikan nol di luar beberapa interval terbatas. Maka, untuk saat ini diasumsikan bahwa
x
f untuk
2 A
x
, A banyaknya grid. Transformasi Fourier pada fungsi dengan batas tertentu tersebut diberikan oleh
2 2
2 2
ˆ
A A
dx e
x f
dx e
x f
f
x i
x i
3.10
Integral tersebut yang akan diaproksimasi secara numerik. Interval integrasi
2 ,
2 A A
dibagi menjadi N subinterval
dengan panjang N
A x
. Diasumsikan N genap, dengan banyaknya grid N+1 sama dengan banyaknya titik yang didefinisikan oleh titik-titik
x n
x
n
untuk 2
: 2 N
N n
. Dengan demikian titik-titik gridnya ialah
2 ,
, ,
, 2
2 2
A x
x A
x
N N
. Kemudian, diasumsikan bahwa fungsi f terdefinisi pada titik-titik grid
tersebut. Integran dari persamaan 3.10 sebagai
x i
e x
f x
g
2
,
dan terapkan aturan trapesium untuk mengaproksimasi integral 3.10:
1
1
2 2
2 2
2 2
2 2
N N
A A
n n
A g
x g
A g
x dx
x g
.
Diasumsikan
2 2
A g
A g
, sehingga aproksimasi aturan trapesium dapat ditulis
. ˆ
2 2
2 2
2 2
1 2
1
N N
n A
A N
N
n x
i n
n n
e x
f N
A x
g x
dx x
g f
Aproksimasi dari
fˆ
dapat dihitung untuk setiap . Karena
aproksimasi
fˆ
bergantung pada nilai , maka harus ditentukan banyaknya
nilai yang digunakan untuk aproksimasi dan yang mana saja nilai-nilai
tersebut. Dibutuhkan nilai-nilai sampel
n
x f
untuk menentukan aproksimasi
ˆ f
, dan sebaliknya. Karena N nilai dari
n
x f
digunakan dalam aproksimasi aturan trapesium, maka ada N nilai juga untuk
pada aproksimasi
ˆ f
.
Hubungan Kebalikan
N A
dan
N x
1
3.11
Hubungan kebalikan mengaitkan antara domain spasial dan domain frekuensi. Dua hubungan kebalikan ini saling bergantung dependent. Pada
domain spasial dengan interval
2 ,
2 A
A
titik-titik grid dinyatakan dengan
x n
x
n
dan jara k antar titik gridnya Δx. Sedangkan pada domain
frekuensi dengan interval
2 ,
2
titik-titik grid dinyatakan dengan
k
k
dan jarak antar titik gridnya Δ. Diasumsikan terdapat N titik pada kedua domain tersebut.
Andaikan semua modus sinus dan kosinus memiliki periode bulat pada
2 ,
2 A
A
. Gelombang dengan periode terbesar satu periode penuh pada
2 ,
2 A
A
disebut sebagai modus dasar. Gelombang ini juga memiliki frekuensi 1A periode per satuan panjang. Frekuensi ini merupakan
frekuensi terendah pada
2 ,
2 A
A
dan dinotasikan dengan
A 1
,
dan ini akan menjadi jarak antar titik grid pada domain frekuensi. Karena terdapat N titik grid pada domain frekuensi
2 ,
2
dengan jarak antar titik grid Δ, sama halnya pada domain spasial di mana
x N
A
, maka
pada domain frekuensi .
N
Dengan mengkombinasikan dua
pernyataan,
A 1
dan
N
, maka diperoleh hubungan kebalikan yang pertama, yaitu
A N
N
atau
N A
. Hubungan kebalikan yang pertama ini menyatakan bahwa jarak interval
pada domain spasial berbanding terbalik dengan jarak interval pada domain frekuensi. Dengan kata lain, jika A bertambah, ini mengakibatkan periode
pada domain spasial bertambah panjang dan frekuensi Δ menurun, bila Δ
menurun maka jarak interval pada domain frekuensi juga menurun. Telah diketahui bahwa pada domain spasial
2 ,
2 A
A
dibagi menjadi N
subinterval grid dengan jarak antar grid Δx dan x
N A
. Dengan mengkombinasikan dua pernyataan,
A 1
dan
x N
A
, maka
diperoleh hubungan kebalikan yang kedua, yaitu
1 x
N A
atau
N x
1
.
Hubungan kebalikan yang kedua ini menyatakan bahwa jarak antar titik-titik grid pada kedua domain berbanding terbalik.
Dengan hubungan kebalikan, aturan aproksimasi trapesium sebelumnya dapat diselesaikan dengan langkah yang lebih singkat. Misalkan
n
f untuk menotasikan nilai-nilai sampel
n
x f
untuk 2
: 1
2 N
N n
.
Untuk mengakprosimasi
fˆ
pada titik-titik grid frekuensi A
k k
k
,
k n
x
disederhanakan menjadi
