Transformasi Fourier Diskrit 2 Dimensi

Seperti pada kasus 1 dimensi, sifat invers bergantung pada ortogonalitas. Pertama, akan ditunjukkan ortogonalitas dari vektor jk ω dengan nk N mj M jk mn    ω . Perhatikan hasil kali dalam Diskrit dua modus dengan frekuensi   k j, dan   , k j ,   . , 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1                      M M N N M M N N m n nk N mj M nk N mj M m n k j mn jk mn k j jk     ω ω ω ω Dengan sifat perkalian eksponensial b a N b N a N      diperoleh             . ˆ ˆ 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 j k N j j M N M m n k k n N j j m M m n k k n N j j m M m n nk N mj M nk N mj M M M N N M M N N M M N N                                              Dengan sifat ortogonalitas dua dimensi tersebut, dapat ditunjukkan bahwa 3.20 dan 3.21 berinvers satu sama lain. Misalkan,  mn f � −1    mn jk F         2 2 2 2 1 1 N N M M k nk N mj M jk j F   dan  jk F �    jk mn f           2 2 2 2 1 1 1 N N M M n nk N mj M mn m f MN   . Sehingga dapat ditunjukkan bahwa, � −1 � �  � −1 �                                                        2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 N N M M N N M M N N N N M M M M N N M M k nk N mj M k k N j j M j k k j j k nk N mj M k k k N j j M k j j j k nk N mj M jk j f MN f MN F                                2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ 1 1 1 1 1 k n j m MN k k n k N j m j M j k k j j N M N N M M N N M M f MN                          Penjumlahan   j m  dan   k n  pada persamaan terakhir di atas tidak bernilai nol tetapi jika j m  dan k n  maka persamaan terakhir tersebut menjadi � −1 � � mn mn f f MN MN   1 . Dengan menggunakan langkah-langkah yang sama dapat ditunjukkan juga � � −1 � jk F  . � � −1 � � �                                                          2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 N N M M N N M M N N N N M M M M N N M M n nk N mj M nk N mj M m k k j j n nk N mj M k nk N mj M k j j m n nk N mj M mn m F MN F MN f MN                                k k j j MN n k k n N j j m M m k k j j N M N N M M N N M M F MN                      2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ 1 1 1 1 1     Penjumlahan   j j  dan   k k  pada persamaan terakhir di atas tidak bernilai nol tetapi jika j j  dan k k  maka persamaan terakhir tersebut menjadi � � −1 � jk jk F F MN MN   1 . Sama halnya dengan transformasi Fourier Diskrit 1 dimensi, transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi juga mempunyai bentuk alternatif, yaitu: Definisi 3.12 Jika diberikan suatu input N M  array mn f , maka          1 1 1 N n nk n mj M mn M m jk f MN F   , 3.23 dengan 1 :   M j dan 1 :   N k . Ada beberapa sifat dalam TFD 2 dimensi yang mengikuti sifat-sifat dasar TFD 1 dimensi, yaitu: Misal � merupakan transformasi Fourier Diskrit dua dimensi N M  , maka 1. � periodik: �      N k M j mn f , �   jk mn f . �   N k M j mn f   ,                  2 2 2 2 1 1 1 N N M M n N k n N M j m M mn m f MN                                               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 N N M M N N M M N N M M N N M M n nk N mj M mn m n n i m i nk N mj M mn m n nN N mM M nk N mj M mn m n nN N nk N mM M mj M mn m f MN e e f MN f MN f MN                     �   jk mn f . 2. � bersifat linear: �   jk jk jk mn mn G F g f        ,  dan  konstanta. �   jk mn mn g f                  2 2 2 2 1 1 1 N N M M n nk N mj M mn mn m g f MN       . 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 jk jk n nk N mj M mn m n nk N mj M mn m n nk N mj M mn nk N mj M mn m G F g MN f MN g f MN N N M M N N M M N N M M                                                     Dengan cara yang sama dapat dibuktikan pula: 3. Pergeseran: �   jk k n N j m M jk n n m m F f ,        . 4. Rotasi: �   , k k j j jk mn nk N mj M F f        . Transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi merupakan pemetaan dari N M  nilai mn f ke N M  nilai jk F . Oleh karena itu, transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi dapat dinyatakan sebagai perkalian dari suatu matriks dengan M elemen baris dan N elemen kolom dengan matriks M M  dan matriks N N  . Definisi 3.13 Transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi pada Definisi 3.12 dapat dihitung sebagai   T N M W f W F 2  2 , di mana                                            1 1 1 2 1 1 2 4 2 1 2 1 1 M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M                          W dan                                            1 1 1 2 1 1 2 4 2 1 2 1 1 N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N                          W merupakan matriks Fourier. Contoh 3.8 Hitung transformasi Fourier Diskrit 2-dimensi dari        11 7 6 5 2 1 f . Diketahui: 2  M dan 3  N sehingga     1 sin cos 2 2 2             i e e i i M dan     2 3 2 1 3 2 sin 3 2 cos 3 2 3 i i e i N             . Matriks Fouriernya adalah                 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1      W , untuk 1 :  m dan 1 :  j , dan                               1 3 2 3 2 3 1 3 4 3 2 3 3 2 3 1 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1              W , untuk 2 :  n dan 2 :  k . Berdasarkan definisi 3.13, maka transformasi Fourier Diskrit 2 dimensinya adalah                                                                                   1 3 2 3 2 3 1 3 1 3 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 3 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 2 1 1 1 1 1 6 5 5 16 9 7 6 1 1 1 1 1 1 11 5 7 2 6 1 16 9 7 6 1 1 1 1 1 1 3 1 11 7 6 5 2 1 1 1 1 2 1                 T T W f W F 2                           1 3 2 3 2 3 1 3 1 3 2 3 2 3 1 3 6 5 5 6 5 5 16 16 9 7 16 9 7 32 6 1         . 1443 , 0833 , 1443 , 0833 , 6667 , 2 0104 , 1 9167 , 0104 , 1 9167 , 3333 , 5 8660 , 5 , 8660 , 5 , 16 0622 , 6 5 , 5 0622 , 6 5 , 5 32 6 1                             i i i i i i i i

3.3.4. Transformasi Fourier Diskrit pada Kompresi Sinyal

Bila diberikan suatu sampel sinyal x dengan elemen-elemen   t k f x k   , 1    N k untuk beberapa fungsi f yang terdefinisi pada   1 , , dengan N t 1   . Berikut tahapan kompresi dengan menggunakan transformasi Fourier Diskrit: 1. Tentukan X , Transformasi Fourier Diskrit dari sinyal x . 2. Tentukan suatu nilai ambang batas threshold yang disimbolkan dengan c antara 1   c . 3. Tentukan   k N k X M 1 max     . 4. Definisikan  X ~ ℂ � dengan komponen        . jika , , jika , ~ cM X cM X X X k k k k Tahap 2 sampai tahap 4 merupakan tahapan di mana frekuensi- frekuensi yang tidak signifikan dieliminasi, yaitu dengan membuat nol setiap koefisien Fourier X yang berada di bawah nilai ambang batas. Vektor X ~ akan menjadi vektor sinyal yang terkompresi. Bila terdapat banyak elemen-elemen ~  k X , maka X ~ akan mudah untuk dikompresi. 5. Tentukan x ~ , invers transformasi Fourier Diskrit dari X ~ . Tahapan ini merupakan tahapan dekompresi. Vektor x ~ merupakan vektor sinyal yang terkompresi. Vektor x ~ tersebut harus mengaproksimasi x . Untuk mengetahui hasil kompresi tersebut baik atau tidak, hitung kesalahan relatifnya dengan rumus 100 ~    x x x relatif kesalahan . Semakin kecil persentase galat relatif yang diperoleh, maka kompresi citra digital asli yang dihasilkan semakin baik. Contoh 3.9 Misal diberikan fungsi   2 2 t t t f   yang merepresentasikan suatu sinyal, didefinisikan pada interval tertutup   1 , dengan 256  N . Grafik fungsi f digambarkan pada Gambar 3.7 Kiri. Grafik TFD dari f   k F , yang dinyatakan dengan pasangan   N F k k 2 , dengan 128 127    k , digambarkan pada Gambar 3.7 Kanan. Gambar 3.7. Kiri Grafik fungsi   2 2 t t t f   dan Kanan Grafik TFD dari f . 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 t f t = t - t 2 2 -100 -50 50 100 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 k TF D f Pilih sebuah nilai ambang batas threshold, misal 001 .  c . Kemudian, hitung   k k F M 255 max    , diperoleh 5 . 8  M . Dengan nilai ambang batas tersebut, maka dapat diperoleh suatu vektor baru, yaitu F ~ , merupakan vektor yang akan menjadi sinyal yang terkompresi. Dari vektor F ~ dengan menggunakan definisi 3.8 diperoleh , ~ f merupakan vektor dari sinyal yang terkompresi. Kemudian dihitung kesalahan relatifnya dengan rumus . 1,36 1,35999661 100 ~      f f f relatif kesalahan Dari tingkat kesalahan relatif tersebut dapat disimpulkan bahwa sinyal hasil kompresi serupa dengan sinyal aslinya. Gambar 3.8. Sinyal asli kiri dan sinyal terkompresi kanan. Hasil dari kompresi sinyal dengan transformasi Fourier Diskrit adalah sebagai berikut, 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 Sinyal asli 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 Sinyal Terkompresi Dari hasil tersebut dapat dihitung besarnya presentase kompresi, yaitu . 53 , 44 100 2048 1136 1 100 asli sinyal resolusi si terkompre sinyal resolusi 1 Presentase                    Artinya, sinyal asli terkompresi sebesar 44.53.

BAB IV APLIKASI TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT

Pada bab ini akan dibahas mengenai aplikasi transformasi Fourier Diskrit pada kompresi citra digital beraras keabu-abuan. Pertama-tama akan dibahas mengenai citra diskrit dan citra beraras keabu-abuan.

4.1. Citra Diskrit

Citra diskrit atau citra digital merupakan suatu array yang berisi nilai- nilai real maupun komplek yang direpresentasikan dengan deretan bit tertentu. Citra digital dapat didefinisikan sebagai fungsi   y x f , berukuran M baris dan N kolom   N M  , dengan x dan y adalah koordinat spasial, dan amplitudo f di koordinat   y x, yang merupakan tingkat keabu-abuan dari citra. Citra diskrit atau digital dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut: . 1 , 1 1 , 1 , 1 1 , 1 1 , 1 , 1 1 , 1 , ,                    N M f M f M f N f f f N f f f       f

4.2. Citra Beraras Keabu-abuan

Citra beraras keabu-abuan dimodelkan sebagai suatu fungsi bernilai riil   y x g , yang terdefinisi pada suatu bidang 2 dimensi, yaitu  . Nilai