Deret Fourier TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT

    . , 2 2 2 2 2 2 k j A dx e e dx x x A A A A A kx i A jx i k j k j             ω ω ω ω Untuk mencari koefisien k c , diasumsikan bahwa fungsi f dengan periode A merupakan jumlahan dari deret Fourier, sehingga . 2      j A jx i j e c x f  Kedua ruas persamaan ini dikalikan dengan   A kx i e A  2 1  dan asumsikan pengintegralan suku demi suku terhadap   2 , 2 A A  diperbolehkan,       k k j A x k j i j j A x k j i j j A kx i c dx e A c dx e c A dx e x f A A A A A A A                                   2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 Dengan sifat ortogonalitas, A 1 dikali integral bernilai nol kecuali saat k j  . Satu-satunya suku yang tersisa dalam deret di ruas kanan bila k j  ialah . 1 2 2 2     A A dx e x f A c A kx i k  Contoh 3.2 Perhatikan fungsi berikut              . jk 1 jk 1 x x x f   Tentukan deret Fourier dari f . Diketahui:   2 A , maka  2  A . Maka koefisien dari deret Fouriernya adalah                                            k i e k i k i k i e k i e k i e dx e dx e dx e dx e x f A c ik ik x k i x k i x ik x k i x k i A x k i k A A               1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2          k i e k i ik   2 2 2 1                              genap. jika ganjil jika 2 cos 1 1 1 k k k i k k i k e i i i k i e ik ik        Sehingga deret Fourier dari f adalah     . 1 2 2 2 1 2 2 2             n x n i k A kx i k e n i e c     Definisi 3.3 Misal f adalah fungsi bernilai riil dengan periode A. Maka deret Fourier yang berasosiasi dengan f merupakan deret trigonometri                       1 1 2 sin 2 cos 2 ~ k k k k A kx b A kx a a x f   , dengan   , 2 2 2    A A dx x f A a 3.2            2 2 2 cos 2 A A dx A kx x f A a k  3.3 untuk k = 1, 2, ..., dan            2 2 2 sin 2 A A dx A kx x f A b k  3.4 untuk k = 1, 2, ... Contoh 3.3 Misal,          lainnya. , 1 jika 1 x x f Hitung deret Fourier dari f pada interval 2 2    x . Diketahui: 2 2  A , maka 4  A . Maka koefisien deret Fouriernya adalah     2 1 2 1 1 2 1 4 2 1 1 2 2        x dx dx x f a . Untuk 1  k     k k kx k dx kx dx x k x f a k       2 sin 2 sin 1 2 cos 2 1 4 2 cos 4 2 1 1 2 2                          , ketika k genap,   2 sin  k  maka  k a , sedangkan ketika 1 2   n k ganjil,     n k 1 2 sin    , sehingga kita peroleh     ,... 1 , , 1 2 , 1 2 1       n n k n a n k  .         , 1 2 cos 1 1 2 cos 2 cos 1 2 sin 2 1 4 2 sin 4 2 1 1 2 2                                k k k k k kx k dx kx dx x k x f b k                                          3 4 1 , 3 4 ketika 1 2 1 , 2 4 ketika 1 4 1 , 1 4 ketika , 4 ketika m b m k m b m k m b m k b m k k k k k    dengan ,... 1 ,  m . Jadi, deret Fourier dari f adalah                        1 1 4 2 sin 4 2 cos 2 k k k k kx b kx a a x f   dengan n n b a , yang diberikan di atas. Jika f merupakan suatu fungsi bernilai riil, bentuk riil dari deret Fourier dapat diturunkan dari bentuk kompleksnya dan sebaliknya. Pertama, uraikan bentuk kompleks deret Fourier ke dalam suku-suku positif dan negatif:                 1 1 2 2 2 ~ k k A kx i k A kx i k k A kx i k e c e c e c e c x f              1 1 2 2 k k A kx i k A kx i k e c c e c   . 3.5 Jika f merupakan fungsi bernilai riil, maka k k c c   karena     k A kx i A kx i k c dx e x f A dx e x f A c A A A A          2 2 2 2 2 2 1 1   . Oleh karena itu, 3.5 menjadi           1 2 1 2 ~ k A kx i k k A kx i k e c e c c x f   . Karena   z z z Re 2   untuk setiap  z ℂ, persamaan ini dapat ditulis sebagai            1 2 Re 2 ~ k A kx i k e c c x f  . 3.6 Hubungan antara k c dan   k k b a , dapat diturunkan dengan menggunakan rumus Euler, sehingga diperoleh:     2 1 1 2 2 2 2 a dx x f A dx e x f A c A A A A        .                                   2 2 2 2 2 sin 2 cos 1 1 2 A A A A dx A kx i A kx x f A dx e x f A c A kx i k        . 1 untuk , 2 1 2 1 2 2 1 2 sin 2 cos 1 2 2 2 2                                              k ib a ib a A A b A i a A A dx A kx x f i dx A kx x f A k k k k k k A A A A   Dengan menggunakan persamaan 3.6, kita peroleh   , 2 sin 2 cos 2 2 sin 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos Re 2 2 sin 2 cos 2 Re 2 2 Re 2 ~ 1 1 1 1 1 1 2                                                                                                                                                 k k k k k k k k k k k k k k k k A kx i k A kx b A kx a a A kx b A kx a a A kx b A kx a i A kx b A kx a a A kx i A kx ib a a e c c x f            yang merupakan bentuk riil dari deret Fourier f . Selanjutnya akan ditunjukkan kekonvergenan dari deret Fourier. Sebelum membahas hal tersebut, kita berikan definisi berikut. Definisi 3.4  Limit kiri dan kanan dari f di titik x didefinisikan sebagai berikut. Limit kiri :     h x f x f h     0 lim . Limit kanan:     h x f x f h     0 lim .  Fungsi f dikatakan terdiferensial kiri dan kanan di x jika limitnya ada:       h x f h x f x f h      0 lim dan       h x f h x f x f h      0 lim . Teorema 3.2. Kekonvergenan Deret Fourier Misal f merupakan fungsi yang periodik dan kontinyu sepotong-sepotong. Jika x adalah titik di mana f terdiferensial kiri dan kanan tetapi tidak kontinyu. maka deret Fourier dari f di x konvergen ke     2    x f x f . Bukti: Bukti dapat dilihat pada buku Albert Boggess: A First Course in Wavelets with Fourier Analysis, hal.70, tahun 2001 . Pada subbab selanjutnya akan dibahas mengenai transformasi Fourier.

3.2. Transformasi Fourier

Transformasi Fourier merupakan bentuk kontinyu dari deret Fourier. Transformasi Fourier menguraikan suatu sinyal yang terdefinisi pada sebuah interval waktu yang tak berhingga ke dalam suatu komponen dengan frekuensi , di mana  merupakan bilangan riil atau kompleks. Definisi 3.5 Diberikan fungsi f terdefinisi dalam interval -, dan mempunyai sifat,         dx x f , 3.7 maka fˆ dengan           dx e x f f x i    2 ˆ , 3.8 fˆ disebut Transformasi Fourier dari f dan              d e f x f x i 2 ˆ , 3.9 disebut sebagai invers Transformasi Fourier fˆ       dan 1   i merupakan satuan imajiner. Contoh 3.4 Diberikan fungsi   x e x f   . Tunjukkan fungsi tersebut memenuhi 3.7. Diketahui:         , , x x x x x , maka             , , x e x e e x f x x x . Jadi,                                          2 1 1 e e e e e e dx e dx e dx e dx e x x x x x x Selain fungsi pada Contoh 3.4, terdapat fungsi-fungsi lainnya yang mempunyai sifat tersebut, misal, fungsi kepadatan peluang, fungsi probabilitas kontinyu, dan sebagainya. Dari sifat fungsi f , maka fungsi fˆ juga memenuhi 3.7, berarti fˆ terdefinisi dengan baik pada - ,.         ˆ ˆ 2 2             dx e x f f dx e x f f x i x i             integral untuk segitiga n ketaksamaa sifat 2 2             dx e x f dx e x f x i x i         1 . 2          x i e dx x f   Fungsi output transformasi fˆ didefinisikan pada domain frekuensi atau domain transformasi, sedangkan fungsi input f didefinisikan pada domain spasial jika x merupakan koordinat spasial, atau dalam domain waktu jika f adalah fungsi yang bergantung pada waktu spasial. Contoh 3.5 Misal,   1  x f pada interval      x . Maka transformasi Fourier dari f adalah           dx e x f f x i    2 ˆ                   . 2 sin 2 sin 2 2 1 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                                  i i i i i e e i e i dx e i i x i x i Gambar 3.1. Grafik fungsi f pada interval    ,  kiri dan fungsi fˆ pada interval    ,  kanan. Selanjutnya akan dibahas mengenai sifat-sifat dasar dari transformasi Fourier.

3.2.1. Sifat-sifat Dasar Transformasi Fourier