F. Matriks Tridiagonal
Pada bagian ini akan dibahas mengenai definisi matriks tridiagonal dan contohnya.
Definisi 2.10
Misalkan . Matriks
� = ∈ ℝ
×
disebut matriks tridiagonal jika elemen-elemen yang berada pada selain diagonal utama dan dua diagonal
berdekatan bernilai nol, yaitu
= jika | − | , , ∈ { , , … , }
matriks tersebut juga sering disebut tiga diagonal. Untuk penjelasan lebih jelasnya dapat dilihat pada buku karangan Süli dan Mayers 2007.
Contoh 2.9
Berikut ditunjukan beberapa matriks
= , =
, = .
Dari ketiga matriks di atas, matriks tridiagonal ditunjukan oleh matriks dan . Matriks bukan matriks tridiagonal karena
≠ dan ≠ . Matriks adalah
matriks identitas. Matriks memenuhi definisi matriks tridiagonal karena =
= . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
BAB III
MODEL PERGERAKAN LAPISAN FLUIDA
Pada bab ini akan dibahas tentang pemodelan pergerakan lapisan fluida, penurunan gerak fluida satu dimensi, serta metode volume hingga dan metode
beda hingga untuk model pergerakan lapisan fluida.
A. Penurunan Persamaan Gerak Lapisan Fluida
Persamaan gerak fluida pada kasus ini dideskripsikan dengan persamaan panas seperti yang dijelaskan oleh Caldwell dan Ng Douglas 2004. Hal ini
dikarenakan gerakan fluida seperti menjalar dari sumber gerakan. Plat atas yang ditarik secara konstan adalah sumber gerakan awal, kecepatan fluida yang
bersentuhan langsung dengan plat sama dengan kecepatan plat yang ditarik secara konstan tersebut, sedangkan kecepatan fluida yang berada jauh dari plat atas
tersebut memiliki kecepatan yang lebih kecil dari pada kecepatan fluida yang
bersentuhan langsung dengan plat yang ditarik.
Persamaan panas dapat juga disebut sebagai persamaan difusi. Persamaan panas dapat diformulasikan dengan merumuskan persamaan aliran panas
Haberman, 2004. Misalkan kawat penampang berorientasi terhadap arah seperti yang diilustrasikan pada Gambar 3.1. Jumlah energi panas per satuan
volume sebagai variabel yang tidak diketahui disebut kepadatan energi panas. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 3.1 Kawat satu dimensi dengan energi panas yang mengalir masuk
dan keluar. Di sini, adalah luas penampang kawat, dan
∅ , adalah energi panas yang lewat di penampang kawat pada posisi dan waktu .
Asumsikan pada setiap waktu , suhu di dalam kawat pada posisi seragam yaitu
, , tetapi berbeda bila dibandingkan suhu penampang kawat posisi yang lain. Akan dicari distribusi suhu penampang kawat pada setiap posisi dan pada
setiap waktu , yaitu , , ∀ , .
Misalkan konstanta yang menyatakan berapa banyak energi yang
dibutuhkan oleh satu unit massa suatu benda untuk menaikkan suhu sebesar 1 derajat. Segmen kawat dari ke
+ ∆ mempunyai massa: � = �,
= � ∗ � = � ∗ ∗ ∆ , dengan
� adalah kepadatan kawat, adalah massa, dan � merupakan volume kawat. Sehingga untuk menaikan suhu segmen kawat sebesar 1 derajat dibutuhkan
energi sebanyak � ∗ ∗ ∗ ∆ . Apabila suhunya naik dari 0 ke
, maka energi yang dibutuhkan sebesar
� ∗ ∗ ∗ ∆ ∗ , . Jadi, total energi panas
pada segmen tersebut untuk adalah
= lim
∆ →∞
∑ � ∗ ∗ ∗ ∆ ∗ , ,
atau
∅ + ∆ , ∅ ,
= +
∆ = 0
= ∫ � ∗ ∗ ∗ ,
+∆
.
Fluks Panas
Fluks panas adalah laju perubahan energi panas yang melewati suatu penampang. Fluks dapat dihitung dengan cara:
Fluks = �
� = �
� ∫ � ∗ ∗ ∗ ,
+∆
= ∫ � ∗ ∗ ∗ �
, �
+∆
3.1
atau dengan cara: Fluks = ∅ , − ∅ + ∆ , = − [∅ + ∆ , − ∅ , ].
3.2 Karena panas menjalar dari benda bersuhu tinggi ke rendah dan banyak
energi berbanding dengan perbedaan suhu di antara 2 titik Hukum Newton Pendinginan maka:
∅ , = − �
, �
. 3.3
Substitusi persamaan 3.3 ke persamaan 3.2 didapat Fluks = −
− �
+ ∆ , �
+ �
, �
= �
+ ∆ , �
− �
, �
= ∫
� �
+∆
� ,
� 3.4
Dari persamaan 3.1 dan 3.4 didapat ∫ � ∗ ∗ ∗
� ,
�
+∆
= ∫
� �
+∆
� ,
�
∫ � ∗ ∗
� � − ∗
� �
+∆
=
� ∗ ∗ �
� − ∗ �
� =
atau �
� = � �
�
� � =
� �
3.5 dengan
= � ⁄ adalah koefisien difusi.
Pada persamaan gerak fluida, koefisien difusi diganti dengan yang
berarti kekentalan fluida. Pada kasus pergerakan lapisan fluida, persamaan 3.5 diberikan subskrip minyak dan air guna membedakan antara persamaan gerak
untuk minyak dan persamaan gerak untuk air, seperti pada persamaan 1 dan persamaan 2.
Persamaan 3.5 merupakan persamaan diferensial parsial parabolik. Hal ini dikarenakan bagian utama persamaan diferensialnya berbentuk:
� � = ,
sehingga det
= atau dengan kata lain salah satu nilai eigen dari persamaan tersebut bernilai 0. Di sini,
= =
s eperti yang dijelaskan pada subbab “D. Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial
Orde Dua”.
B. Masalah Pergerakan Fluida
Kategori