Berikut adalah solusi aliran tunak yang dihasilkan dengan mensubstitusikan
persamaan 3.24, 3.25, dan 3.26 ke persamaan 3.14 dan 3.19:
ai
=
i yak i yak
+
ai
, ,
3.27
i yak
=
ai i yak
+
ai
+
i yak
−
ai i yak
+
ai
, ,
3.28
dengan
ai
adalah kecepatan air,
i yak
adalah kecepatan minyak,
ai
menyatakan kekentalan air dan
i yak
menyatakan kekentalan minyak. Solusi di atas akan digunakan dalam perhitungan simulasi numeris dengan
MATLAB.
D. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs
Pada bagian ini dibahas mengenai skema metode volume hingga, perhitungan flux secara numeris dalam metode volume hingga dan solusi numeris metode
volume hingga Lax-Friedrichs.
1. Skema Metode Volume Hingga
Persamaan diferensial parsial hukum kekekalan berbentuk
�
+ =
atau ditulis �
� , +
� �
, = . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Skema metode volume hingga berdasar pada pendiskretan domain pada ruang ke dalam interval, seperti ditunjukkan dalam Gambar 3.2.
Gambar 3.2.Ilustrasi diskretisasi domain ruang.
Di sini ∆ = −
−
atau ∆ =
+
−
−
. Domain waktu didiskretkan menjadi
= ∙ ∆ dengan
= , , , , …. Misalkan � adalah nilai pendekatan rata-rata volume kuantitas
, dalam interval ke-
i
pada waktu , yaitu:
� ≈
∆
∫ ,
�+ �−
. Misalkan pula
−
adalah pendekatan dari rata-rata fluksdebit material , di titik
−
, yaitu
−
≈ ∆ ∫
−
,
�
�+
�
�
. Bentuk integral dari hukum kekekalan diberikan oleh:
� ��
∫ ,
�+ �−
= − [
+
, −
−
, ],
dengan nilai-nilai pendekatan diperoleh untuk
�
+ = , yaitu
−1 +1
− 3
2 +
3 2
+ 1
2 −
1 2
�
+
− � ∆
= −
+
−
−
∆ atau dapat ditulis menjadi
�
+
= � −
∆� ∆
+
−
−
. Persamaan di atas merupakan skema volume hingga bagi
�
+ = . Skema
metode volume hingga tersebut konsisten dengan skema metode beda hingga karena
�
+
− � ∆
= −
+
−
−
∆ dapat ditulis menjadi
�
+
− � ∆
+
+
−
−
∆ =
yang merupakan suatu bentuk diskret dari
�
+ = .
2. Perhitungan FluksSecara Numeris dalam Metode Volume Hingga
Diberikan persamaan diferensial parsial dengan bentuk hukum kekekalan
�
+ = .
Misal � ≈
, dan
−
≈
−
, , seperti telah dijelaskan pada bagian Skema Metode Volume Hingga di muka.Skema metode volume hingga
untuk persamaan di atas adalah �
+
= � − ∆
∆
+
−
−
. Diketahui
� merupakan nilai kuantitas numeris di titik dan pada waktu .Oleh karena itu,fluks di titik pada waktu diketahui, yaitu
≈ ,
≈ � .
Metode Stabil dan Tidak Stabil
Metode numeris dikatakan stabil apabila galat atau
error
yang muncul disetiap iterasi tidak membesar terlalu cepat pada iterasi-iterasi berikutnya. Jika
galat yang muncul pada suatu iterasi membesar menuju tak hingga maka metode tersebut dikatakan tidak stabil. Teori tentang kestabilan tidak akan dibahas pada
skripsi ini. Teori kestabilan dapat dilihat dalam buku-buku referensi misalnya LeVeque 1992,2002.
1. Flukstak stabil
Akan didefinisikan rata-rata fluks pada titik
−
berdasarkan pada �
−
dan � , sebagai berikut:
−
= �
−
, � = [ �
−
+ � ]. Dengan demikian, skema metode volume hingga menjadi
�
+
= � − ∆
∆
+
−
−
menjadi �
+
= � − ∆
∆ [ �
+
+ � ] − [ �
−
+ � ] �
+
= � −
∆� ∆
[ �
+
− �
−
] . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Akan tetapi, skema metode volume hingga ini tidak stabil. 2.
Fluks Lax-Friedrichs Skema Lax-Friedrichs adalah skema yang memodifikasi skema metode
volume hingga di atas, dengan � =
�
+
+ �
−
sehingga skema Lax-Friedrichsmenjadi �
+
= �
+
+ �
−
−
∆� ∆
[ �
+
− �
−
] . Skema Lax-Friedrichs ini stabil untuk
∆ yang cukup kecil.
3. Solusi Numeris Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs
