Skema Metode Beda Hingga untuk Model Pergerakan Lapisan Fluida

1. Skema Metode Beda Hingga untuk Model Pergerakan Lapisan Fluida

Persamaan 3.10 dan 3.11 tidak dapat diselesaikan secara terpisah, karena terdapat beberapa kondisi yang saling berkaitan satu dengan yang lainnya. Dengan menggunakan skema implisit, persamaan gerak fluida untuk air pada persamaan 3.10 dan persamaan gerak fluida untuk minyak pada persamaan 3.11 dapat ditulis menjadi: ai + − ai ∆ = ai ai + + − ai + + ai − + ∆ , untuk = , , , … , , 3.31 i yak + − i yak ∆ = i yak i yak + + − i yak + + i yak − + ∆ , untuk = , + , + , … , − , 3.32 Persamaan 3.31 dan 3.32 dapat ditulis ulang menjadi: ai ∆ ai − + − ai ∆ + ∆ ai + + ai ∆ ai + + = − ∆ ai , untuk = , , , … , , 3.33 i yak ∆ i yak − + − i yak ∆ + ∆ i yak + + i yak ∆ i yak + + = − ∆ i yak , untuk = , + , + , … , − . 3.34 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Untuk posisi di = dan syarat awal ai , = ai + = , persamaan 3.33 dapat ditulis menjadi: − ai ∆ + ∆ ai + + ai ∆ ai + = − ∆ ai 3.35 Pada posisi batas antara minyak dan air = dan = , persamaan 3.33 dan 3.34 menjadi ai ∆ ai − + − ai ∆ + ∆ ai + + ai ∆ ai + + = − ∆ ai , 3.36 i yak ∆ i yak − + − i yak ∆ + ∆ i yak + + i yak ∆ i yak + + = − ∆ i yak . 3.37 Kondisi pada posisi batas dapat dijabarkan menjadi: i yak � i yak � | = = ai � ai � | = , 3.38 ai ai + + − ai − + ∆ = μ i yak i yak + + − i yak − + ∆ . 3.39 Persamaan 3.38 dapat ditulis sebagai: ai + + = i yak ai i yak + + − i yak − + + ai − + . 3.40 Substitusi persamaan 3.40 ke persamaan 3.36, didapat: ai ∆ ai − + − ai ∆ + ∆ ai + + i yak ∆ i yak + + − i yak − + = − ∆ ai . 3.41 Jumlahkan persamaan 3.37 dengan persamaan 3.41 sehingga didapat: ai ∆ v ai − + − ai ∆ + ∆ ai + − i yak ∆ + ∆ i yak + + i yak ∆ i yak + + = − ∆ ai − ∆ i yak . 3.42 Karena ai + = i yak + , maka persamaan 3.42 dapat ditulis menjadi: ai ∆ ai − + − ai + i yak ∆ + ∆ i yak + + i yak ∆ i yak + + = − ∆ ai − ∆ i yak . 3.43 Saat = + persamaan 3.34 menjadi: i yak ∆ i yak + − i yak ∆ + ∆ i yak + + + i yak ∆ i yak + + = − ∆ i yak + . 3.44 Pada plat atas = − , persamaan 3.34 dapat ditulis menjadi: i yak ∆ i yak − + − i yak ∆ + ∆ i yak − + = − ∆ i yak + − i yak ∆ i yak + . 3.45 Karena i yak , = i yak + = , maka: i yak ∆ i yak − + − i yak ∆ + ∆ i yak − + = − ∆ i yak + − i yak ∆ . 3.46 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Persamaan 3.33, 3.34, 3.35, 3.43, 3.44 dan 3.46 adalah persamaan yang mewakili semua titik diantara 0 sampai 10. Keenam persamaan merupakan sistem tridiagonal yang dapat diselesaikan dengan menggunakan perintah \ pada MATLAB. Misalkan: b = ai ∆ , c = ai ∆ + ∆ , d = i yak ∆ , e = i yak ∆ + ∆ , dan f = ai + i yak ∆ + ∆ contoh membentuk sistem tridiagonal dengan ∆ = adalah sebagai berikut: = [ − − − − − − ] , ̅ = [ ai ai ai i yak i yak i yak ] , ̅ = [ − ∆ ai − ∆ ai − ∆ ai − ∆ ai − ∆ i yak − ∆ i yak − ∆ i yak ] . Sistem tridiagonal di atas merupakan penyelesaian pada metode beda hingga. Dengan variasi ∆ yang berbeda akan terbentuk sistem tridiagonal yang besarnya berbeda pula. Semakin kecil ∆ maka semakin besar sistem tridiagonalnya. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Sistem tridiagonal akan diselesaikan dengan menggunakan perintah \ pada MATLAB. 2. Solusi Numeris Metode Beda Hingga untuk Masalah Pergerakan Lapisan Fluida. Hasil simulasi pergerakan lapisan fluida dengan metode beda hingga dengan menggunakan program MATLAB ditunjukkan dalam Gambar 3.4 sampai dengan Gambar 3.9. Simulasi ini dilakukan untuk beberapa nilai ∆ = , , . , . , . , . dan ∆ = . ∗ ∆ . Untuk jarak kedua plat adalah 10 cm dan waktu 50 detik. Gambar 3.4. Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk ∆ = dengan metode beda hingga. Gambar 3.5. Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk ∆ = dengan metode beda hingga. Gambar 3.6. Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk ∆ = . dengan metode beda hingga. Gambar 3.7. Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk ∆ = . dengan metode beda hingga. Gambar 3.8. Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk ∆ = . dengan motode beda hingga. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Gambar 3.9. Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk ∆ = . dengan metode beda hingga. Terlihat pada gambar-gambar hasil simulasi untuk metode beda hingga bahwa terjadi patahan pada saat = . Hal ini terjadi karena diketahui hubungan di titik perbatasan antara minyak dan air yang sudah dijelaskan sebelumnya. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 51 BAB IV ANALISIS HASIL SIMULASI Pada bab ini akan dibahas mengenai hasil simulasi numeris untuk metode beda hingga dan metode volume hingga Lax-Friedrichs. Simulasi numeris dilakukan dengan menggunakan MATLAB dengan jarak antara plat bawah dan plat atas adalah 10 cm, dan plat atas ditarik dengan kecepatan konstan 7 cms. Galat atau error dihitung dengan menggunakan rumus Galat = ∑| ek ak − e i | = dengan ek ak adalah nilai eksak di titik , e i adalah nilai numeris di titik , dan adalah banyaknya data yang ada di domain ruang. Menghitung galat saja masih belum cukup, seberapa cepat suatu metode konvergen juga harus diperhatikan. Untuk mengetahui seberapa cepat konvergen dari simulasi ini, dihitung dengan menggunakan rumus: Perbandingan Galat = + Dengan + merupakan galat pada titik + dan merupakan galat pada titik + . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

A. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs