Solusi Analitis Masalah Pergerakan Lapisan Fluida Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs

C. Solusi Analitis Masalah Pergerakan Lapisan Fluida

Masalah pergerakan lapisan fluida sangat sulit diselesaikan secara analitis untuk kasus aliran tak tunak. Akan tetapi, penyelesaian numeris dapat dibandingkan dengan solusi analitis untuk kasus aliran tunak. Aliran tak tunak adalah kondisi dimana komponen aliran berubah terhadap waktu, dan aliran tunak adalah kondisi dimana komponen aliran tidak berubah terhadap waktu. Untuk kasus aliran tunak, solusi analitis tidak bergantung terhadap waktu. Dengan demikian, untuk kasus aliran tunak, solusi analitis ai , = ai dan i yak , = i yak . Dalam kasus aliran tunak persamaan 3.10 menjadi � ai � = , , 3.12 ai = . 3.13 Persamaan 3.12 memiliki penyelesaian ai = + .Karena ai = maka = , sehingga penyelesaian untuk persamaan 3.12 adalah ai = , . 3.14 � ai � = Persamaan 3.11 untuk kasus aliran tunak dapat ditulis menjadi � i yak � = , , 3.15 i yak = , 3.16 i yak = ai , 3.17 i yak � i yak � | = = ai � ai � | = . 3.18 Persamaan 3.15 menghasilkanpenyelesaian: i yak = + , , 3.19 � i yak � = dan pada titik batas yakni persamaan 3.16 dan 3.17 ditulis menjadi + = 3.20 dan + = . 3.21 Selanjutnya karena ai � = dan i yak � = maka persamaan 3.18 berlaku i yak = ai . 3.22 Eliminasi persamaan 3.20 dan 3.21 sehingga mendapat = − . 3.23 Substitusi persamaan 3.23 ke persamaan 3.22 akan menghasilkan = ai i yak + ai , 3.24 substitusikan pula persamaan 3.24 ke persamaan 3.22 sehingga didapat = i yak i yak + ai , 3.25 substitusikan persamaan 3.24 dan 3.25 ke persamaan 3.21 didapat = i yak − ai i yak + ai . 3.26 Berikut adalah solusi aliran tunak yang dihasilkan dengan mensubstitusikan persamaan 3.24, 3.25, dan 3.26 ke persamaan 3.14 dan 3.19: ai = i yak i yak + ai , , 3.27 i yak = ai i yak + ai + i yak − ai i yak + ai , , 3.28 dengan ai adalah kecepatan air, i yak adalah kecepatan minyak, ai menyatakan kekentalan air dan i yak menyatakan kekentalan minyak. Solusi di atas akan digunakan dalam perhitungan simulasi numeris dengan MATLAB.

D. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs

Pada bagian ini dibahas mengenai skema metode volume hingga, perhitungan flux secara numeris dalam metode volume hingga dan solusi numeris metode volume hingga Lax-Friedrichs.

1. Skema Metode Volume Hingga

Persamaan diferensial parsial hukum kekekalan berbentuk � + = atau ditulis � � , + � � , = . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Skema metode volume hingga berdasar pada pendiskretan domain pada ruang ke dalam interval, seperti ditunjukkan dalam Gambar 3.2. Gambar 3.2.Ilustrasi diskretisasi domain ruang. Di sini ∆ = − − atau ∆ = + − − . Domain waktu didiskretkan menjadi = ∙ ∆ dengan = , , , , …. Misalkan � adalah nilai pendekatan rata-rata volume kuantitas , dalam interval ke- i pada waktu , yaitu: � ≈ ∆ ∫ , �+ �− . Misalkan pula − adalah pendekatan dari rata-rata fluksdebit material , di titik − , yaitu − ≈ ∆ ∫ − , � �+ � � . Bentuk integral dari hukum kekekalan diberikan oleh: � �� ∫ , �+ �− = − [ + , − − , ], dengan nilai-nilai pendekatan diperoleh untuk � + = , yaitu −1 +1 − 3 2 + 3 2 + 1 2 − 1 2 � + − � ∆ = − + − − ∆ atau dapat ditulis menjadi � + = � − ∆� ∆ + − − . Persamaan di atas merupakan skema volume hingga bagi � + = . Skema metode volume hingga tersebut konsisten dengan skema metode beda hingga karena � + − � ∆ = − + − − ∆ dapat ditulis menjadi � + − � ∆ + + − − ∆ = yang merupakan suatu bentuk diskret dari � + = .

2. Perhitungan FluksSecara Numeris dalam Metode Volume Hingga

Diberikan persamaan diferensial parsial dengan bentuk hukum kekekalan � + = . Misal � ≈ , dan − ≈ − , , seperti telah dijelaskan pada bagian Skema Metode Volume Hingga di muka.Skema metode volume hingga untuk persamaan di atas adalah � + = � − ∆ ∆ + − − . Diketahui � merupakan nilai kuantitas numeris di titik dan pada waktu .Oleh karena itu,fluks di titik pada waktu diketahui, yaitu ≈ , ≈ � . Metode Stabil dan Tidak Stabil Metode numeris dikatakan stabil apabila galat atau error yang muncul disetiap iterasi tidak membesar terlalu cepat pada iterasi-iterasi berikutnya. Jika galat yang muncul pada suatu iterasi membesar menuju tak hingga maka metode tersebut dikatakan tidak stabil. Teori tentang kestabilan tidak akan dibahas pada skripsi ini. Teori kestabilan dapat dilihat dalam buku-buku referensi misalnya LeVeque 1992,2002. 1. Flukstak stabil Akan didefinisikan rata-rata fluks pada titik − berdasarkan pada � − dan � , sebagai berikut: − = � − , � = [ � − + � ]. Dengan demikian, skema metode volume hingga menjadi � + = � − ∆ ∆ + − − menjadi � + = � − ∆ ∆ [ � + + � ] − [ � − + � ] � + = � − ∆� ∆ [ � + − � − ] . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Akan tetapi, skema metode volume hingga ini tidak stabil. 2. Fluks Lax-Friedrichs Skema Lax-Friedrichs adalah skema yang memodifikasi skema metode volume hingga di atas, dengan � = � + + � − sehingga skema Lax-Friedrichsmenjadi � + = � + + � − − ∆� ∆ [ � + − � − ] . Skema Lax-Friedrichs ini stabil untuk ∆ yang cukup kecil.

3. Solusi Numeris Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs

Masalah pergerakan lapisan fluida dapat diselesaikan dengan menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs. Diberikan persamaan lapisan fluida 3.10 dan 3.11 yaitu ∂ ai � = ai � ai � , atau dapat ditulis ai � + − ai ai = 3.29 dan � i yak � = i yak � i yak � , atau i yak� + − i yak i yak = . 3.30 Persamaan 3.29 mempunyai skema metode volume hingga PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI � + = � − ∆� ∆ + − − . Jadi, jika diketahui persamaan 3.29 maka didapat = ai dan = − ai ai � .Sekarang akan dicari fluks + dan − dari persamaan 3.29, yaitu: + = [ � + + � ] − ∆ ∆ � + − � = [ − ai ai � + + − ai ai � ] − ∆ ∆ ai + − ai = − ai [ ai � + + ai � ] − ∆ ∆ ai + − ai , − = [ � + � − ] − ∆ ∆ � + − � = [ − ai ai � + − ai ai � − ] − ∆ ∆ ai − ai − = − ai [ ai � + ai � − ] − ∆ ∆ ai − ai − . Persamaan 3.30 juga mempunyai skema metode volume hingga � + = � − ∆� ∆ + − − . Jadi, jika diketahui persamaan 3.30 maka didapat = i yak dan = − i yak i yak � .Sekarang akan dicari fluks + dan − dari persamaan 3.30, yaitu: + = [ � + + � ] − ∆ ∆ � + − � PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI = [ − i yak i yak � + + − i yak i yak � ] − ∆ ∆ i yak + − i yak = − i yak [ i yak � + + i yak � ] − ∆ ∆ i yak + − i yak , − = [ � + � − ] − ∆ ∆ � + − � = [ − i yak i yak � + − i yak i yak � − ] − ∆ ∆ i yak − i yak − = − i yak [ i yak � + i yak � − ] − ∆ ∆ i yak − i yak − . Hasil simulasi penyelesaian masalah pergerakan lapisan fluida dengan metode volume hingga Lax-Friedrichs dengan menggunakan perangkat lunak MATLAB ditunjukkan oleh Gambar 3.3. Pada hasil simulasi pergerakan lapisan fluida diberikan nilai ai = dan i yak = , program dijalankan dengan ∆ = . , ∆ = . ∗ ∆ , dan = . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Gambar 3.3. Hasil simulasi penyelesaian masalah pergerakan lapisan fluida dengan metode volume hingga saat = . Terlihat pada gambar bahwa terjadi patahan pada saat = . Hal ini terjadi karena diketahui hubungan di titik perbatasan antara minyak dan air yang sudah dijelaskan sebelumnya.

E. Metode Beda Hingga untuk Model Pergerakan Lapisan Fluida

Pada bagian ini dibahas mengenai skema metode beda hingga untuk model pergerakan lapisan fluida, dan solusi numeris metode beda hingga untuk model pergerakan lapisan fluida. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

1. Skema Metode Beda Hingga untuk Model Pergerakan Lapisan Fluida

Persamaan 3.10 dan 3.11 tidak dapat diselesaikan secara terpisah, karena terdapat beberapa kondisi yang saling berkaitan satu dengan yang lainnya. Dengan menggunakan skema implisit, persamaan gerak fluida untuk air pada persamaan 3.10 dan persamaan gerak fluida untuk minyak pada persamaan 3.11 dapat ditulis menjadi: ai + − ai ∆ = ai ai + + − ai + + ai − + ∆ , untuk = , , , … , , 3.31 i yak + − i yak ∆ = i yak i yak + + − i yak + + i yak − + ∆ , untuk = , + , + , … , − , 3.32 Persamaan 3.31 dan 3.32 dapat ditulis ulang menjadi: ai ∆ ai − + − ai ∆ + ∆ ai + + ai ∆ ai + + = − ∆ ai , untuk = , , , … , , 3.33 i yak ∆ i yak − + − i yak ∆ + ∆ i yak + + i yak ∆ i yak + + = − ∆ i yak , untuk = , + , + , … , − . 3.34 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Untuk posisi di = dan syarat awal ai , = ai + = , persamaan 3.33 dapat ditulis menjadi: − ai ∆ + ∆ ai + + ai ∆ ai + = − ∆ ai 3.35 Pada posisi batas antara minyak dan air = dan = , persamaan 3.33 dan 3.34 menjadi ai ∆ ai − + − ai ∆ + ∆ ai + + ai ∆ ai + + = − ∆ ai , 3.36 i yak ∆ i yak − + − i yak ∆ + ∆ i yak + + i yak ∆ i yak + + = − ∆ i yak . 3.37 Kondisi pada posisi batas dapat dijabarkan menjadi: i yak � i yak � | = = ai � ai � | = , 3.38 ai ai + + − ai − + ∆ = μ i yak i yak + + − i yak − + ∆ . 3.39 Persamaan 3.38 dapat ditulis sebagai: ai + + = i yak ai i yak + + − i yak − + + ai − + . 3.40 Substitusi persamaan 3.40 ke persamaan 3.36, didapat: ai ∆ ai − + − ai ∆ + ∆ ai + + i yak ∆ i yak + + − i yak − + = − ∆ ai . 3.41 Jumlahkan persamaan 3.37 dengan persamaan 3.41 sehingga didapat: ai ∆ v ai − + − ai ∆ + ∆ ai + − i yak ∆ + ∆ i yak + + i yak ∆ i yak + + = − ∆ ai − ∆ i yak . 3.42 Karena ai + = i yak + , maka persamaan 3.42 dapat ditulis menjadi: ai ∆ ai − + − ai + i yak ∆ + ∆ i yak + + i yak ∆ i yak + + = − ∆ ai − ∆ i yak . 3.43 Saat = + persamaan 3.34 menjadi: i yak ∆ i yak + − i yak ∆ + ∆ i yak + + + i yak ∆ i yak + + = − ∆ i yak + . 3.44 Pada plat atas = − , persamaan 3.34 dapat ditulis menjadi: i yak ∆ i yak − + − i yak ∆ + ∆ i yak − + = − ∆ i yak + − i yak ∆ i yak + . 3.45 Karena i yak , = i yak + = , maka: i yak ∆ i yak − + − i yak ∆ + ∆ i yak − + = − ∆ i yak + − i yak ∆ . 3.46 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Persamaan 3.33, 3.34, 3.35, 3.43, 3.44 dan 3.46 adalah persamaan yang mewakili semua titik diantara 0 sampai 10. Keenam persamaan merupakan sistem tridiagonal yang dapat diselesaikan dengan menggunakan perintah \ pada MATLAB. Misalkan: b = ai ∆ , c = ai ∆ + ∆ , d = i yak ∆ , e = i yak ∆ + ∆ , dan f = ai + i yak ∆ + ∆ contoh membentuk sistem tridiagonal dengan ∆ = adalah sebagai berikut: = [ − − − − − − ] , ̅ = [ ai ai ai i yak i yak i yak ] , ̅ = [ − ∆ ai − ∆ ai − ∆ ai − ∆ ai − ∆ i yak − ∆ i yak − ∆ i yak ] . Sistem tridiagonal di atas merupakan penyelesaian pada metode beda hingga. Dengan variasi ∆ yang berbeda akan terbentuk sistem tridiagonal yang besarnya berbeda pula. Semakin kecil ∆ maka semakin besar sistem tridiagonalnya. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Sistem tridiagonal akan diselesaikan dengan menggunakan perintah \ pada MATLAB. 2. Solusi Numeris Metode Beda Hingga untuk Masalah Pergerakan Lapisan Fluida. Hasil simulasi pergerakan lapisan fluida dengan metode beda hingga dengan menggunakan program MATLAB ditunjukkan dalam Gambar 3.4 sampai dengan Gambar 3.9. Simulasi ini dilakukan untuk beberapa nilai ∆ = , , . , . , . , . dan ∆ = . ∗ ∆ . Untuk jarak kedua plat adalah 10 cm dan waktu 50 detik. Gambar 3.4. Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk ∆ = dengan metode beda hingga. Gambar 3.5. Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk ∆ = dengan metode beda hingga. Gambar 3.6. Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk ∆ = . dengan metode beda hingga. Gambar 3.7. Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk ∆ = . dengan metode beda hingga. Gambar 3.8. Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk ∆ = . dengan motode beda hingga. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Gambar 3.9. Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk ∆ = . dengan metode beda hingga. Terlihat pada gambar-gambar hasil simulasi untuk metode beda hingga bahwa terjadi patahan pada saat = . Hal ini terjadi karena diketahui hubungan di titik perbatasan antara minyak dan air yang sudah dijelaskan sebelumnya. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 51 BAB IV ANALISIS HASIL SIMULASI Pada bab ini akan dibahas mengenai hasil simulasi numeris untuk metode beda hingga dan metode volume hingga Lax-Friedrichs. Simulasi numeris dilakukan dengan menggunakan MATLAB dengan jarak antara plat bawah dan plat atas adalah 10 cm, dan plat atas ditarik dengan kecepatan konstan 7 cms. Galat atau error dihitung dengan menggunakan rumus Galat = ∑| ek ak − e i | = dengan ek ak adalah nilai eksak di titik , e i adalah nilai numeris di titik , dan adalah banyaknya data yang ada di domain ruang. Menghitung galat saja masih belum cukup, seberapa cepat suatu metode konvergen juga harus diperhatikan. Untuk mengetahui seberapa cepat konvergen dari simulasi ini, dihitung dengan menggunakan rumus: Perbandingan Galat = + Dengan + merupakan galat pada titik + dan merupakan galat pada titik + . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

A. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs

Pada Bab sebelumnya telah dibahas tentang solusi numeris untuk masalah pergerakan lapisan fluida dengan metode volume hingga Lax-Friedrichs. Solusi yang didapat adalah hasil siulasi dengan program MATLAB. Simulasi ini menggunakan ∆ = . , ∆ = . ∗ ∆ dan = dengan nilai ai = dan i yak = . Grafik simulasi ditunjukkan pada Gambar 3.3. Terlihat pada gambar bahwa solusi numeris mendekati solusi eksak. Namun masih terdapat ruang antara solusi numeris dan solusi eksak yang didapat, dengan kata lain masih terdapat galat. Berikut merupakan galat solusi numeris untuk masalah pergerakan lapisan fluida menggunakan metode volume hingga Lax- Friedrichs, seperti dirangkum pada Tabel 4.1, untuk beberapa variansi nilai ∆ . Tabel 4.1. Galat hasil simulasi metode volume hingga Lax-Friedrichs ∆� Galat atau error Perbandingan Galat 1 0.7463 0.5 0.7197 0.96435 0.25 0.6604 0.91760 0.125 0.3752 0.56814 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Dari Tabel 4.1 terlihat bahwa semakin kecil ∆ semakin kecil juga galat yang dihasilkan. Ketika diambil ∆ yang sangat kecil maka galat yang dihasilkan akan semakin kecil. Hal ini dikarenakan banyaknya langkah pada ruang di sumbu . Simulasi pada metode volume hingga Lax-Friedrichs dalam skripsi ini berhenti pada saat ∆ = . karena perhitungan yang sangat lama. Walaupun berhenti pada saat ∆ = . , galat pada metode ini sudah mendekati 0 dan perbandingan galatnya adalah 0.56814 yang berarti kecepatan konvergensi metode ini adalah 0.5 dan sudah cukup baik. Ilustrasi galat secara grafik ditunjukkan pada Gambar 4.1. Gambar 4.1. Ilustrasi geometris galat metode volume hingga Lax-Friedrichs. Terlihat pada Gambar 4.1 bahwa semakin besar ∆ maka semakin besar juga galat yang akan muncul. Kelebihan dari metode ini adalah komputasi yang cukup mudah. Kekurangan dari metode ini adalah untuk ∆ yang semakin kecil,diperlukan ∆ yang juga semakin kecil agar perhitungan stabil metodenya stabil, sehingga waktu perhitungan menjadi sangat lama.

B. Metode Beda Hingga