Asumsi Regresi Linier Berganda Metode Kuadrat Terkecil MKT

2.5 Analisis Regresi Linier Berganda

Dalam perkembangannya, terdapat dua jenis regresi yang sangat terkenal, yaitu regresi linier sederhana dan regresi linier berganda. Regresi linier sederhana digunakan untuk menggambarkan hubungan antara suatu variabel bebas X dengan satu variabel tak bebas Y dalam bentuk persamaan linier sederhana. � + � 1 � 1 i = 1,2, …, n 2.12 Regresi linier berganda merupakan perluasan dari regresi linier sederhana. Perluasannya terlihat dari banyaknya variabel bebas pada model regresi tersebut. Bentuk umum persamaan regresi linier berganda dapat dinyatakan secara statistik sebagai berikut: � � = � + � 1 � 1 � + � 2 � 2 � + ⋯ + � � � �� + ɛ � 2.13 dengan: � � = variabel tak bebas � � = variabel bebas � , ⋯, � � = parameter regresi ɛ � = variabel gangguan

2.5.1 Asumsi Regresi Linier Berganda

Dalam model regresi linier berganda ada beberapa asumsi yang harus dipenuhi, asumsi tersebut adalah: 1. Nilai rata-rata kesalahan pengganggu nol, yaitu E � � = 0, untuk i= 1, 2, …, n 2. Varian � � = E � � 2 = � 2 , sama untuk semua kesalahan pengganggu asumsi heterokedastisitas 3. Tidak ada autokorelasi antara kesalahan pengganggu, berarti kovarian � � , � � = 0, � ≠ � 4. Variabel bebas � 1 , � 2 , … , � � , konstan dalam sampling yang terulang dan bebas terhadap kesalahan pengganggu � � . 5. Tidak ada multikolinieritas dalam variabel bebas X. 6. � � ~ � 0; � 2 , artinya kesalahan pengganggu mengikuti distribusi normal dengan rata-rata 0 dan varian � 2 .

2.5.2 Metode Kuadrat Terkecil MKT

Metode kuadrat terkecil merupakan suatu metode yang paling banyak digunakan untuk menduga parameter-parameter regresi. Pada model regresi linier berganda juga digunakan metode kuadrat terkecil untuk menduga parameter. Biasanya metode kuadrat terkecil ini diperoleh dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat. Misalkan model yang akan diestimasi adalah parameter dari persamaan dengan n pengamatan, maka diperoleh: � � = � + � 1 � 1 � + � 2 � 2 � + ⋯ + � � � �� + ɛ � � � = � + � 1 � 1 � + � 2 � 2 � + ⋯ + � � � �� + ɛ � ⋮ � � = � + � 1 � 1 � + � 2 � 2 � + ⋯ + � � � �� + ɛ � Persamaan-persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks: � = �� + ɛ 2.14 dengan: � = � � 1 � 2 � 3 � 4 � � = � 1 � 11 � 11 ⋯ � 11 1 � 11 � 11 ⋯ � 11 ⋮ 1 ⋮ � 11 ⋮ ⋯ ⋮ � 11 ⋯ � 11 � � = � � � � � � ɛ = � ɛ 1 ɛ 1 ɛ 1 ɛ 1 � Untuk mendapatkan penaksir-penaksir MKT bagi �, maka dengan asumsi klasik ditentukan dua vektor �̂ dan �̂ sebagai: �̂ = � � 1 � 1 � 1 � 1 � �̂ = � � 1 � 1 � 1 � 1 � Persamaan hasil estimasi dari persamaan 2.14 dapat ditulis sebagai: � = ��̂ + ɛ atau � = � − ��̂ 2.15 Karena tujuan MKT adalah meminimumkan jumlah kuadrat dari kesalahan, yaitu ∑ � � 2 � �=1 = minimum, maka: � � � 2 = � � 2 � �=1 + � � 2 + ⋯ + � � 2 = [ � 1 � 1 … � 1 ] � � 1 � 1 � 1 � 1 � = � 2.16 jadi, � � � 2 � �=1 = �′� = � − ��̂′� − ��̂ = � ′ � − �̂ ′ � ′ � − � ′ ��̂ + �̂ ′�′��̂ Oleh karena �̂ ′ � ′ � adalah skalar, maka matriks transposenya adalah: ��̂ ′ � ′ �� ′ = � ′ ��̂ jadi, � ′ � = � ′ � − 2�̂ ′ � ′ � + �̂ ′�′��̂ 2.17 Untuk menakar parameter �̂,maka � ′ � harus diminimumkan terhadap �̂, maka: � � � 2 � �=1 = � ′ � − 2�̂ ′ � ′ � + �̂ ′�′��̂ � ��̂ ′ �� � � 2 � �=1 � = � ′ � − 2�̂ ′ � ′ � + �̂ ′� ′ ��̂ = 0 atau: � ′ ��̂ = �′� �̂ = �′� −1 �′� dengan ketentuan det �′� ≠ 0 2.18

2.5.3 Sifat Penduga Kuadrat Terkecil