Analisis Regresi Komponen Utama Untuk Mengatasi Masalah Multikolinieritas

SKRIPSI

LEONARDO SILALAHI

070803049

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2011

ANALISIS REGRESI KOMPONEN UTAMA UNTUK MENGATASI MASALAH MULTIKOLINIERITAS

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

LEONARDO SILALAHI 070803049

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2011

PERSETUJUAN

Judul : ANALISIS REGRESI KOMPONEN UTAMA

UNTUK MENGATASI MASALAH

MULTIKOLINIERITAS

Kategori : SKRIPSI

Nama : LEONARDO SILALAHI

Nomor Induk Mahasiswa : 070803049

Program Studi : SARJANA (SI) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di Medan, Juni 2011

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Djakaria Sebayang, M.Si. Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si. NIP. 195112271985031002 NIP. 195303031983031002

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Dr. Tulus, M.Si. NIP: 196209011988031002

PERNYATAAN

ANALISIS REGRESI KOMPONEN UTAMA UNTUK MENGATASI

MASALAH MULTIKOLINIERITAS

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juni 2011

LEONARDO SILALAHI 070803049

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan anugrah yang dilimpahkanNya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan.

Skripsi ini merupakan salah satu syarat yang harus dipenuhi dan diselesaikan oleh seluruh mahasiswa Fakultas FMIPA Departemen Matematika. Pada skripsi ini penulis mengambil judul skripsi tentang Analisis Regresi Komponen Utama Untuk

Mengatasi Masalah Multikolinieritas.

Dalam penyusunan skripsi ini banyak pihak yang membantu, sehingga dengan segala rasa hormat penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc. selaku Dekan FMIPA USU.

2. Bapak Prof. Dr. Tulus M.Si dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si selaku ketua dan sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU.

3. Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si. selaku dosen dan pembimbing I yang berkenan dan rela mengorbankan waktu, tenaga dan pikiran guna memberikan petunjuk dan bimbingannya dalam penulisan skripsi ini.

4. Drs. Djakaria Sebayang, M.Si. selaku dosen dan pembimbing II yang juga berkenan dan rela mengorbankan waktu, tenaga dan pikiran guna memberikan petunjuk dan bimbingannya dalam penulisan skripsi ini.

5. Bapak Prof . Dr. Tulus, M.Si dan Drs. Ujian Sinulingga selaku komisi penguji atas masukan dan saran yang telah diberikan demi perbaikan skripsi ini.

6. Seluruh Staf pengajar departemen matematika dan pegawai FMIPA USU

7. Alm Bapak U. Silalahi, Ibunda tercinta R.S. br Manurung yang penulis sayangi. Terima kasih atas segala pengertian, kesabaran, dan kasih sayang yang telah diberikan serta dukungan selama penulis masih dibangku perkuliahan hingga akhirnya menyelesaikan tugas ini.

8. Saudara-Saudara ku, K’Lenni Silalahi, Amd, K’Lestarina Silalahi, Spd, B’Lamhot

Silalahi, Sth, K’Lusiana Silalahi, Spsi serta adik ku Lorencius Silalahi. Terima kasih buat kasih saying motivasi serta semangat yang selalu diberikan kepada

penulis “you are my spirit”.

9. Terima kasih buat Opung ku Biv. R. br Gultom, buat doa serta kasih sayang yang setiap saat diberikan kepada penulis.

Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada teman-teman yang banyak membantu penulis dalam perkuliahan hingga pada penyelesaian skripsi ini. Buat Enrico, Erbin, Magdalena, Rolina, Dewi, Imelda, Desri, Riris, Jojor, Siska serta semua teman-teman satu satmbuk 2007, buat kawan-kawan pengurus HMM juga buat junior

2008, 2009, hingga “adik kandung” 2010 yang telah memberi semangat, penulis

ucapkan terima kasih. Terima kasih juga kepada seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu yang telah banyak membantu penulis dalam menyelesaikan tulisan ini.

Penulis juga menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini. Oleh karena itu, penulis meminta saran dari pembaca guna menyempurnakan tulisan ini.

Demikian yang dapat penulis sampaikan, atas perhatian serta kerjasamanya penulis ucapkan terima kasih. Semoga tulisan ini bermanfaat bagi yang membutuhkan.

Medan, Juni 2011 Penulis

ABSTRAK

Multikolinieritas merupakan suatu masalah yang serius pada regresi linier berganda, dimana antar variable bebas saling berkorelasi. Masalah multikolinieritas menyebabkan penggunaan Metode Kuadrat Terkecil dalam menduga parameter terganggu, sehingga dalam pengujian hipotesis memberikan hasil yang tidak valid. Adanya masalah multikolinieritas dapat dideteksi dengan nilai korelasi dan faktor inflasi ragam. Pada penelitian ini digunakan analisis regresi komponen utama sebagai suatu metode untuk mengatasi masalah multikolinieritas pada regresi linier berganda. Berdasarkan hasil penelitian ini melalui metode analisis komponen utama dihasilkan dua variable baru (komponen utama) yang bersifat saling bebas atau tidak ada multikolinieritas, yang didasarkan pada nilai eigen lebih besar dari satu. Masing-masing komponen tersebut mempunyai nilai eigen 4.452 dan 1.049 serta menjelaskan 91.683% keragaman dari total keragaman variabel asal. Komponen utama tersebut kemudian diregresikan dengan peubah bebas melalui metode kuadrat terkecil yang disebut regresi komponen utama. Persamaan regresi dengan variable baku Z menunjukkan bahwa nilai T-hitung masing-masing variable lebih besar dari T-tabel. Berdasarkan pengujian koefisien regresi, analisis regresi komponen utama memberikan hasil yang lebih baik daripada analisis regresi linier berganda.

THE PRINCIPAL COMPONENT REGRESSION ANALYSIS FOR SOLVING MULTICOLLINEARITY

ABSTRACT

Multicolinearity is a seriously problem in multiple linear regression, that the dependent variable having correlation each other. Multicollinearity cause of using Ordinary Least Square Methods is not correct to estimate the parameter, so in test hypothesis give the result is not valid. Multicolinearity problem can be detected by correlation value and variance inflation factor. In this research the principal component regression analysis is used for solving multicolinearity in multiple linear regression. The result of this research, by principal component methods is gotten two new variables (principal component) that each other is dependent or not having multicolinearity based the eigen value more than one. Each component having the eigen value 4.452 and 1.049 and eksplain varians 91.683% from total varaians origin variable. The principal component then be regressed with dependent variable by Ordinary Least Square Methods that called principal component regression. Regression model with standart variable Z is showing that count value more than T-table. According test the regression coefficient, principal component regression analysis give the result better than multiple linier regression analysis.

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak vi

Abstract vii

Daftar Isi viii

Daftar Tabel x

Bab 1 Pendahuluan 1

1.1Latar Belakang 1

1.2Perumusan Masalah 3

1.3Pembatasan Masalah 3

1.4Tinjauan Pustaka 4

1.5Tujuan Penelitian 4

1.6Manfaat Penelitian 5

1.7Metodologi Penelitian 5

Bab 2 Landasan Teori 6

2.1Aljabar Matriks 6

2.1.1 Definisi 6

2.1.2 Jenis-jenis Matriks 8

2.1.3 Operasi Matriks 10

2.2Nilai Eigen dan Vektor Eigen 13

2.3Matriks Korelasi 15

2.4Analisis Regresi Linier Berganda 18

2.4.1 Asumsi Regresi Linier Berganda 18

2.4.2 Metode Kuadrat Terkecil 19

2.4.3 Sifat Penduga Kuadrat Terkecil 21

2.5Uji Regresi Linier 22

2.6Koefisien Determinasi 23

2.7Multikolinieritas 24

2.7.1 Pendeteksian Multikolinieritas 25

2.7.2 Pengaruh Multikolinieritas 26

2.8Analisis Komponen Utama 27

2.8.1 Menentukan Komponen Utama 28

2.8.1.1Komponen Utama Berdasarkan Matriks Kovariansi 28 2.8.1.2Komponen Utama Berdasarkan Matriks Korelasi 32 2.8.2 Kriteria Pemilihan Komponen Utama 33

2.8.3 Kontribusi Komponen Utama 34

Bab 3 Pembahasan 35

2.1Regresi Komponen Utama 35

2.3Ilustrasi Regresi Komponen Utama Mengatasi Multikolinieritas 38 3.3.1 Analisis Dengan Regresi Linier Berganda 39

3.3.2 Pendeteksian Multikolinieritas 40

3.3.3 Analisis Dengan Regresi Komponen Utama 42 3.3.4 Uji Signifikansi Koefisien Regresi Variabel Baku 46 Bab 4 Kesimpulan dan Saran

4.1Kesimpulan 47

4.2Saran 48

Daftar Pustaka 49

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 3.1 Data Gas Mileage pada 30 Mobil 38

Tabel 3.2 Uji Signifikansi Koefisien Regresi Linier Berganda 40

Tabel 3.3 Nilai Korelasi Data Gas Mileage 41

Tabel 3.4 Nilai Faktor Variansi Inflasi 41

Tabel 3.5 Nilai Eigen, Proporsi Total Variansi dan Proporsi Variansi Kumulatif 43 Tabel 3.6 Koefisien Komponen Utama (Vektor Eigen) 43

Tabel 3.7 Skor Faktor Komponen Utama 44

Tabel 3.8 UJi Signifikansi Koefisien Regresi Komponen Utama 45 Tabel 3.9 Nilai Varian dan T-Hitung Variabel Bebas Z 46

ABSTRAK

Multikolinieritas merupakan suatu masalah yang serius pada regresi linier berganda, dimana antar variable bebas saling berkorelasi. Masalah multikolinieritas menyebabkan penggunaan Metode Kuadrat Terkecil dalam menduga parameter terganggu, sehingga dalam pengujian hipotesis memberikan hasil yang tidak valid. Adanya masalah multikolinieritas dapat dideteksi dengan nilai korelasi dan faktor inflasi ragam. Pada penelitian ini digunakan analisis regresi komponen utama sebagai suatu metode untuk mengatasi masalah multikolinieritas pada regresi linier berganda. Berdasarkan hasil penelitian ini melalui metode analisis komponen utama dihasilkan dua variable baru (komponen utama) yang bersifat saling bebas atau tidak ada multikolinieritas, yang didasarkan pada nilai eigen lebih besar dari satu. Masing-masing komponen tersebut mempunyai nilai eigen 4.452 dan 1.049 serta menjelaskan 91.683% keragaman dari total keragaman variabel asal. Komponen utama tersebut kemudian diregresikan dengan peubah bebas melalui metode kuadrat terkecil yang disebut regresi komponen utama. Persamaan regresi dengan variable baku Z menunjukkan bahwa nilai T-hitung masing-masing variable lebih besar dari T-tabel. Berdasarkan pengujian koefisien regresi, analisis regresi komponen utama memberikan hasil yang lebih baik daripada analisis regresi linier berganda.

THE PRINCIPAL COMPONENT REGRESSION ANALYSIS FOR SOLVING MULTICOLLINEARITY

ABSTRACT

Multicolinearity is a seriously problem in multiple linear regression, that the dependent variable having correlation each other. Multicollinearity cause of using Ordinary Least Square Methods is not correct to estimate the parameter, so in test hypothesis give the result is not valid. Multicolinearity problem can be detected by correlation value and variance inflation factor. In this research the principal component regression analysis is used for solving multicolinearity in multiple linear regression. The result of this research, by principal component methods is gotten two new variables (principal component) that each other is dependent or not having multicolinearity based the eigen value more than one. Each component having the eigen value 4.452 and 1.049 and eksplain varians 91.683% from total varaians origin variable. The principal component then be regressed with dependent variable by Ordinary Least Square Methods that called principal component regression. Regression model with standart variable Z is showing that count value more than T-table. According test the regression coefficient, principal component regression analysis give the result better than multiple linier regression analysis.

Bab 1

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Regresi merupakan suatu teknik statistika yang dapat digunakan untuk menggambarkan hubungan fungsional antara suatu variabel tak bebas (respon) dengan satu atau beberapa variabel bebas (deterministik). Menurut Drapper and Smith (1992) analisis regresi merupakan metode analisis yang dapat digunakan untuk menganalisis data dan mengambil kesimpulan yang bermakna tentang hubungan ketergantungan variabel terhadap variabel lainnya.

Analisis regresi yang sering digunakan dalam pemecahan suatu permasalahan adalah regresi linier. Dalam perkembangannya terdapat dua jenis regresi yang sangat terkenal, yaitu regresi linier sederhana dan regresi linier berganda. Regresi linier sederhana digunakan untuk menggambarkan hubungan antara satu variabel bebas (X) dengan satu variabel tak bebas (Y). Sedangkan jika variabel bebas (X) yang digunakan lebih dari satu, maka persamaan regresinya adalah persamaan regresi linier berganda.

Secara umum persamaan regresi linier dengan k variabel bebas dinyatakan dengan :

+ + + … + +

dengan :

Y = variable tak bebas (respon)

= variable bebas (deterministik) , …, = parameter regresi

Parameter regresi pada persamaan diatas dicari penduganya dengan menggunakan metode kuadrat terkecil (MKT). Penduga yang dihasilkan oleh MKT bersifat BLUE (best linear unbiased estimation) apabila asumsi–asumsi pada analisis regresi dipenuhi, yang disebut dengan asumsi klasik. Asumsi klasik regresi linier tersebut adalah nilai variabel bebas (X) tetap pada sampel berulang dan bebas terhadap kesalahan pengganggu, nilai rata-rata kesalahan pengganggu adalah nol, homoskedastisitas sama untuk setiap observasi, tidak ada otokorelasi antar kesalahan pengganggu dan tidak ada multikolinieritas diantara variabel bebas.

Salah satu dari asumsi yang harus dipenuhi untuk melakukan pengujian hipotesis terhadap parameter pada analisis regresi linier berganda adalah tidak terjadi multikolinieritas diantara variabel bebas. Jika terdapat multikolinieritas di dalam regresi linier berganda maka akan mengakibatkan penggunaan MKT dalam menduga parameter terganggu. Meskipun MKT dapat digunakan tetapi galat yang dihasilkan akan menjadi besar, variansi dan kovariansi parameter tidak terhingga. Sehingga parameter yang dihasilkan tidak bersifat BLUE lagi.

Menurut Montgomery dan Peck (dalam naftali, 2007) adanya multikolinieritas dalam analisis regresi linier berganda disebabkan oleh berbagai hal antara lain metode pengumpulan data yang digunakan, kendala model pada populasi yang diamati, spesifikasi model, dan penentuan jumlah variabel bebas yang lebih banyak dari jumlah observasi. Oleh karena itu, dalam suatu penelitian harus benar-benar diperhatikan metode, model, spesifikasi model dan jumlah variabel bebas yang digunakan.

Ada beberapa cara yang dapat digunakan untuk mengatasi masalah multikolinieritas, diantaranya ialah :

1. Penambahan data baru yang bertujuan untuk memperkecil standar error. Namun penambahan data baru seringkali hannya memberikan efek penanggulangan yang kecil pada masalah multikolinieritas.

2. Mengeluarkan suatu variabel atau beberapa variabel bebas yang terlibat hubungan kolinier, namun prosedur ini akan mengurangi obyek penelitian yang diangkat sehingga menyebabkan kesalahan spesifikasi. Kesalahan

spesifikasi terjadi karena salah dalam menentukan variabel yang tepat/benar dalam suatu model regresi.

3. Analisis regresi komponen utama, pada analisis regresi komponen utama semua peubah bebas masuk ke dalam model, tetapi sudah tidak terjadi multikolinieritas karena sudah dihilangkan pada tahap analisis komponen utama.

Dari beberapa cara mengatasi masalah multikolinieritas, analisis regresi komponen utama merupakan cara yang sangat ampuh (Drapper and Smith, 1981). Berdasarkan hal tersebut maka peneliti tertarik untuk melakukan penelitian terhadap suatu kasus yang mengalami masalah multikolinieritas dan metode untuk mengatasi masalah multikolinieritas ini, yaitu dengan menggunakan analisis regresi komponen utama. Penelitian ini dibuat berupa tulisan yang diberi judul “Analisis Regresi Komponen

Utama Untuk Mengatasi Masalah Multikolinieritas”.

1.2Perumusan Masalah

Multikolinieritas merupakan masalah yang serius dalam menduga parameter pada analisis regresi linier berganda. Multikolinieritas menyebabkan ketidakstabilan pada parameter dugaan, pengujian hipotesis menjadi kurang kuat (less powerfull), artinya yang seharusnya ditolak menjadi diterima atau sebaliknya. Oleh karena itu pada penelitian ini akan dibahas bagaimana cara mengatasi masalah multikolinieritas menggunakan analisis regresi komponen utama.

1.3Pembatasan Masalah

Peneliti membatasi permasalahan yang akan membahas mengenai masalah multikolinieritas yang terjadi pada analisis regresi linier berganda dan menganggap bahwa asumsi klasik yang lain tetap terpenuhi.

1.4Tinjauan Pustaka

Montgomery (1976) mengatakan pendugaan parameter regresi dengan menggunakan metode kuadrat terkecil adalah dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat (JKG) dimana JKG dirumuskan sebagai berikut :

∑ ∑

Supranto, J (1992) dalam bukunya mengatakan istilah multikolinieritas merupakan

hubungan linier yang sempurna atau pasti diantara variabel–variabel bebas dalam model regresi linier berganda. Istilah kolinieritas sendiri berarti hubungan linier tunggal, sedangkan multikolinieritas menunjukkan adanya lebih dari satu hubungan linier yang sempurna.

Gasperz (1991) dalam bukunya mengatakan permasalahan terjadinya multikolinieritas diantara penjelas yang banyak maka teknik pendugaan berdasarkan metode kuadrat terkecil (MKT) menjadi tidak tepat karena akan menimbulkan konsekuensi yang serius. Maka analisis yang tepat adalah model regresi komponen utama.

Drapper and Smith (1981) dalam bukunya mengatakan cara lain yang digunakan

untuk mengatasi masalah multikolinieritas dan merupakan cara yang sangat ampuh adalah dengan regresi komponen utama.

Haris (2008) dalam penelitiannya mengenai multikolinieritas pada data produk

domestik regional bruto (PDRB) seluruh wilayah propinsi di Indonesia, mengatakan analisis dengan regresi komponen utama cukup efektif dalam mengatasi multikolinieritas.

1.5Tujuan penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah menggunakan analisis regresi komponen utama untuk mengatasi masalah multikolinieritas pada analisis regresi linier berganda, sehingga diperoleh model persamaan regresi yang lebih baik.

1.6Manfaat penelitian

Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat bagi pembaca untuk lebih

mengetahui mengenai masalah mutikolinieritas dan cara mengatasinya. Serta memberikan suatu solusi untuk mengatasi masalah multikolinieritas bagi peneliti

yang menggunakan analisis regresi linier berganda untuk menganalisis penelitian pada berbagai bidang ilmu, seperti penelitian-penelitian di bidang sosial, ekonomi, pertanian dll.

1.7Metodologi Penelitian

Penelitian ini dibuat berdasarkan studi literatur dan kepustakaan dan mengikuti langkah-langkah sebagai berikut :

1. Terlebih dahulu menjelaskan konsep dasar matriks, analisis regresi linier berganda, multikolinieritas, serta analisis komponen utama.

2. Mendeteksi keberadaan multikolinieritas.

3. Menguraikan penyelesaian masalah multikolinieritas menggunakan analisis regresi komponen utama. Dengan langkah sebagai berikut :

a. Melakukan tahap analisis komponen utama untuk menghilangkan gejala multikolinieritas.

b. Menentukan komponen utama yang masuk dalam model c. Menduga parameter analisis regresi komponen utama

d. Melakukan transformasi menjadi model regresi linier berganda.

4. Menyelesaikan contoh kasus yang mengandung multikolinieritas. Dalam hal ini digunakan software SPSS sebagai pengelolah data.

Bab 2

LANDASAN TEORI

2.1Aljabar Matriks 2.1.1 Definisi

Matriks

Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang, dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom dan baris

serta dibatasi tanda “[ ]” atau “( )”.

Sebuah matriks dinotasikan dengan simbol huruf besar seperti A, X, atau Z dan sebagainya. Sebuah matriks A yang berukuran m baris dan n kolom dapat ditulis sebagai berikut :

[

]

Atau juga dapat ditulis :

A = [ ] i= 1, 2,…, m ; j= 1, 2,…, n

Contoh :

Disebut matriks A dengan 2 baris dan 3 kolom. Jika A sebuah matriks, maka digunakan untuk menyatakan elemen yang terdapat di dalam baris i dan kolom j

[ ] i = 1, 2 j = 1, 2, 3

Skalar

Suatu skalar adalah besaran yang hannya memiliki nilai, tetapi tidak memiliki arah.

Vektor Baris

Suatu matriks yang hannya terdiri dari satu baris dan n kolom disebut vektor baris.

[ ] disebut vektor baris Vektor Kolom

Suatu matriks yang hannya terdiri dari m baris dan satu kolom disebut vektor kolom.

[ ] disebut vektor kolom

Kombinasi Linier

Vektor w merupakan kombinasi linier dari vektor – vektor jika terdapat skalar sehingga berlaku :

, (2.1)

Jika vektor maka disebut persamaan homogen dan disebut vektor yang bebas linier, yang mengakibatkan tetapi jika ada bilangan yang tidak semuanya sama dengan nol, maka disebut vektor yang bergantung linier.

2.1.2 Jenis-jenis Matriks

Matriks kuadrat adalah matriks yang memiliki baris dan kolom yang sama banyak. Dalam suatu matriks kuadrat, elemen–elemen disebut elemen diagonal utama.

[

]

Matriks Diagonal

Matriks kuadrat [ ] dinamakan matriks diagonal jika semua elemen diluar diagonal utama adalah nol, dan paling tidak satu elemen pada diagonal pokok . Jumlah elemen – elemen diagonal utama suatu matriks kuadrat A disebut trace A ditulis

∑ ,

[

]

Matriks Simetris

Suatu matriks kuadrat [ ] disebut matriks simetris jika elemen dibawah diagonal utama merupakan cermin dari elemen diatas diagonal utama. Matriks simetris jika artinya .

Contoh :

[

] Matriks Identitas

Matriks A disebut matriks identitas dan biasa diberi simbol I.

Matriks Nol

Matriks nol adalah suatu matriks dengan semua elemennya mempunyai nilai nol. Biasanya diberi simbol , dibaca matriks nol.

Matriks Elementer

Suatu matriks nxn dikatakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks identitas nxn yakni dengan melakukan operasi baris elementer tunggal.

Matriks Segitiga

Matriks suatu matriks bujur sangkar dikatakan segitiga bawah (lower triangular) jika untuk i < j dan matriks suatu matriks bujur sangkar dikatakan segitiga atas (upper triangular) jika untuk i > j.

Contoh :

Segitiga bawah [

], segitiga atas [

]

Matriks Singular

Matriks kuadrat [ ] dikatakan singular jika semua elemen pada salah satu baris atau kolom adalah nol atau jika semua kofaktor dari elemen suatu baris atau kolom sama dengan nol. Untuk melihat kesingularan suatu matriks adalah dengan menghitung determinan matriks tersebut. Apabila determinannya sama dengan nol maka matriks tersebut singular.

Matriks Ortogonal

Matriks kuadrat [ ] dikatakan dapat didiagonalisasi secara orthogonal jika terdapat mtriks orthogonal P sehingga berlaku Matriks orthogonal

didefinisikan sebagai matriks kuadrat yang inversnya sama dengan transposenya, sehingga :

Maka P adalah matriks orthogonal

2.1.3 Operasi Matriks

Perkalian Matriks dengan Skalar

Jika [ ] adalah matriks mxn dan k adalah suatu skalar, maka hasil kali A dengan

k adalah [ ] matriks mxn dengan (1 )

Perkalian Matriks dengan Matriks

Jika adalah matriks mxp dan adalah matriks pxn maka hasil kali dari matriks A dan matriks B yang ditulis dengan AB adalah C matriks mxn. Secara matematik dapat ditulis sebagai berikut :

∑ (1 ) (2.2)

Penjumlahan Matriks

Jika adalah matriks mxn dan adalah matriks mxn maka penjumlahan matriks dari matriks A dan matriks B yang ditulis dengan dengan :

(i= 1, 2, …, m; j= 1, 2, …, n).

Pengurangan Matriks

Jika adalah matriks mxn dan adalah matriks mxn maka pengurangan matriks dari matriks A dan matriks B yang ditulis dengan dengan : (i= 1, 2, …, m; j= 1, 2, …, n).

Transpose Suatu Matriks

Jika adalah matriks mxn maka matriks nxm dengan dan (1 ) disebut dengan transpose dari matriks A.

Matriks mxn yang umum dapat ditulis :

[

] [ ]

maka

[

]

Determinana Matriks

Misalkan adalah matriks nxn. Fungsi determinan dari A ditulis dengan det (A) atau |A|. Secara matematiknya ditulis :

Det (A) = |A| = ∑

Dengan merupakan himpunan S = {1, 2, …, n}.

Teorema

Jika adalah matriks nxn yang mengandung sebaris bilangan nol, maka det(A) = 0. Anton (2004, hal: 97)

Contoh :

[

] | |

Teorema

Jika A adalah matriks segitiga nxn, maka det(A) adalah hasil kali elemen – elemen pada diagonal utama, yaitu det(A) = Anton (2004, hal: 98)

Contoh :

[

] maka det(A) = (2)(4)(-5)(3) = -120

Jika A adalah sebarang matriks kuadrat, maka det(A) = det(AT). Anton (2004, hal: 97)

Teorema

Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang ordonya sama, maka det(AB) = det(A)(B). Anton (2004, hal: 108)

Contoh :

det(A)(B) = (1)(-23) = -23 det(AB) = -23

Sehingga det (AB) = det (A) det (B)

Invers Matriks

Misalkan A matriks nxn disebut non singular (invertible) jika terdapat matriks B maka

AB = BA = I

Matriks B disebut invers dari A. jika tidak terdapat matriks B maka matriks A disebut singular (non-invertible).

Secara umum invers matriks A adalah :

Adjoint matriks A adalah suatu matriks yang elemen-elemennya terdiri dari semua elemen-elemen kofaktor matriks A, dengan adalah kofaktor elemen-elemen

. Sehingga dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut : [

]

dengan :

Sifat – sifat invers :

a. Jika A adalah matriks non singular, maka A-1 adalah non singular dan

b. Jika A dan B adalah matriks non singular, maka AB adalah non singular dan

c. Jika A adalah matriks non singular maka

2.2Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Jika A adalah matriks nxn, maka vektor tak nol X di dalam Rn dinamakan vektor eigen (eigenvector) dari A jika AX adalah kelipatan skalar dari X yakni :

AX = (2.3)

Untuk suatu skalar . Skalar dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A dan X

dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan .

Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran nxn, dari persamaan (2.3) dapat ditulis kembali sebagai suatu persamaan homogen :

(2.4)

Dengan I adalah matriks identitas yang berordo sama dengan matriks A, dalam catatan matriks :

[

], [

], X =

[ ]

AX = X AX =

( = 0 X | | Untuk memperoleh nilai

| | (2.5)

|

|

n buah akar

Jika nilai eigen disubstitusi pada persamaan maka solusi dari vektor eigen adalah (2.6)

Jadi apabila matriks mempunyai akar karakteristik dan ada kemungkinan bahwa diantaranya mempunyai nilai yang sama, bersesuaian dengan akar-akar karakteristik ini adalah himpunan vektor–vektor karakteristik yang orthogonal (artinya masing-masing nilai akar karakteristik akan memberikan vektor karakteristik) sedemikian sehingga :

Tanpa menghilangkan sifat umum, vektor-vektor tersebut bisa dibuat normal (standar) sedemikian rupa sehingga untuk semua i, suatu himpunan vektor-vektor orthogonal yang telah dibuat normal (standar) disebut orthogonal set.

Apabila X merupakan matriks nxn, dimana kolom – kolomnya terdiri dari vektor-vektor dan kemudian bisa ditulis dengan dua syarat sebagai berikut :

1. jika

jika

2. sehingga

Matriks yang mempunyai sifat demikian dinamakan matriks orthogonal.

Definisi :

Misalkan matriks nxn.

Determinan [

]

Dikatakan karakteristik polinom dari A.

Dikatakan persamaan karakteristik dari A.

2.3Matriks korelasi

Matriks korelasi adalah matriks yang didalamnya terdapat korelasi-korelasi. Andaikan

X adalah matriks data, ̅ adalah matriks rata-rata dan ∑ adalah matriks ragam peragam.

Dengan: ̅

̅ [ ̅ ̅ ̅ ] [ ] _[ ] [ ]

̅ (2.7)

̅ dihitung dari matriks data yang dikalikan dengan vektor 1 dan konstanta

Selanjutnya, persamaan (2.7) dikalikan dengan vektor , sehingga dihasilkan matriks ̅

̅ [

̅ ̅

̅ ̅ ̅ ̅

̅ ̅ ̅

] (2.8)

Kurangkan matriks X dengan persamaan matriks (2.8) yang menghasilkan matriks baku dinotasikan dengan V

[ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

] (2.9)

Matriks adalah perkalian silang antara matriks (2.9) dengan matriks transposenya

[ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ] [ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ] karena ( ) ( ) Sehingga didapat (2.10)

Persamaan (2.10) menunjukan dengan jelas hubungan operasi perkalian matriks data X dengan ( ) dan transpose matriks data. Jika S telah diketahui dari persamaan (2.10), maka S dapat dihubungkan ke matriks korelasi dengan cara :

1. Menghitung Matriks ∑

_∑ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ( ̅ ) ̅ ( ̅ ) ( ̅ )( ̅ ) ( ̅ ) ∑ [ ̅ ̅ ̅ ̅ ( ̅ ) ̅ ( ̅ ) ̅ ( ̅ ) ( ̅ ) ] ∑ [ ]

2. Menghitung matriks baku yang isinya adalah simpangan baku, dengan asumsi

dihasilkan sehingga dapat ditulis kedalam bentuk matriks sebagai berikut :

[ √ √ √ ]

3. Menghitung invers dari matriks deviasi dengan cara ( )

[ √ √ √ ]

Maka dapat dihasilkan matriks korelasi dengan rumus ( ) ∑( )

[ √ √ √ ] [ ] [ √ √ √ ] [ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ ] [ ] dengan :

∑ ( _√ ̅ ) ( _√ ̅ ) (2.11)

Untuk menghasilkan

̅ √ ̅ √ ̅ ̅ √ √

̅ √ ̅ √ ( ̅ )( ̅ ) √ √ Dan untuk ̅ √ ̅ √ ̅ ̅ √ √ ̅ √ ̅ √ ̅ ( ̅ ) √ √ ̅ √ ̅ √ ̅ ( ̅ ) √ √

2.4Analisis Regresi Linier Berganda

Dalam perkembangannya terdapat dua jenis regresi yang sangat terkenal, yaitu regresi linier sederhana dan regresi linier berganda. Regresi linier sederhana digunakan untuk menggambarkan hubungan antara suatu variabel bebas (X) dengan satu variabel tak bebas (Y) dalam bentuk persamaan linier sederhana.

(2.12)

Regresi linier berganda merupakan perluasan dari regresi linier sederhana. Perluasannya terlihat dari banyaknya variabel bebas pada model regresi tersebut. Bentuk umum regresi linier berganda dapat dinyatakan secara statistik sebagai berikut:

= + + + … + + (2.13)

dengan :

= variabel tak bebas = variabel bebas

, …, = parameter regresi = variabel gangguan

Dalam model regresi linier berganda ada beberapa asumsi yang harus dipenuhi, asumsi tersebut adalah :

1. Nilai rata-rata kesalahan pengganggu nol, yaitu untuk I = 1, 2, …, n 2. Varian sama untuk semua kesalahan pengganggu (asumsi

homokedastisitas)

3. Tidak ada otokorelasi antara kesalahan pengganggu, berarti kovarian

4. Variabel bebas , konstan dalam sampling yang terulang dan bebas terhadap kesalahan pengganggu .

5. Tidak ada multikolinieritas diantara variabel bebas X.

6. artinya kesalahan pengganggu mengikuti distribusi normal dengan rata-rata 0 dan varian

2.4.2 Metode Kuadrat Terkecil (MKT)

Metode kuadrat terkecil merupakan suatu metode yang paling banyak digunakan untuk menduga parameter-parameter regresi. Pada model regresi linier berganda juga digunakan metode kuadrat terkecil untuk menduga parameter. Biasanya penduga kuadrat terkecil ini diperoleh dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat. Misalkan model yang akan diestimasi adalah parameter dari persamaan dengan n pengamatan, maka diperoleh :

= + + + … + + = + + + … + +

= + + + … + +

Persaman-persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks :

Y = X + (2.14)

[ ] [

] [ ] [ ]

Untuk mendapatkan penaksir-penaksir MKT bagi , maka dengan asumsi klasik ditentukan dua vektor ̂ ̂ sebagai :

̂ [ ̂

̂ ̂ ]

̂ [ ]

Persamaan hasil estimasi dari persamaan (2.14) dapat ditulis sebagai : Y = X ̂ +

atau

̂ (2.15)

Karena tujuan MKT adalah meminimumkan jumlah kuadrat dari kesalahan, yaitu ∑ minimum

maka :

∑

[

] (2.16)

jadi,

∑

̂ ̂

̂ ̂ ̂ ̂

Oleh karena ̂ adalah skalar, maka matriks transposenya adalah :

( ̂ ) ̂

jadi,

Untuk menaksir parameter ̂ maka harus diminimumkan terhadap ̂ maka :

∑ ̂ ̂ ̂

̂ (∑ ) ̂ ̂ ̂

̂

atau :

̂

̂ _{dengan ketentuan (2.18)}

2.4.3 Sifat Penduga Kuadrat terkecil

Menurut Sembiring (2003) metode kuadrat terkecil memiliki beberapa sifat yang baik. Untuk menyelidiki sifatnya, pandang kembali model umum regresi linier pada persamaan (2.14). disini dianggap bahwa bebas satu sama lain dan

Dengan demikian maka dan . Jadi sifat penduga kuadrat terkecil adalah :

1. Takbias

Jika ( ̂) maka ̂ adalah penduga tak bias untuk

Akan ditunjukkan bahwa ̂ adalah penduga linier tak bias dari . Dari persamaan (2.15) diketahui :

̂

₎

_(2.19)

dengan

( ̂)

2. Varian Minimum

Jika maka matriks kovarian untuk ̂ diberikan oleh Jika dan maka penduga kuadrat terkecil ̂ mempunyai varian minimum diantara semua penduga tak bias linier.

Bukti :

( ̂) [( ̂ ( ̂) ̂ ( ̂) )]

=

_(2.20)

2.5 Uji Regresi Linier

Pengujian nyata regresi adalah sebuah pengujian untuk menentukan apakah ada hubungan linier antara variabel tidak bebas Y dan variabel bebas

Uji yang digunakan adalah uji menggunakan statistik F berbentuk :

(2.21)

dengan :

JKR = Jumlah Kuadrat Regresi JKS = Jumlah Kuadrat Sisa

= derajat kebebasan JKR

= Derajat kebebasan JKS Dalam uji hipotesis, digunakan daerah kritis :

ditolak jika dengan :

Selanjutnya, jika model regresi layak digunakan akan dilakukan lagi uji terhadap koefisien-koefisien regresi secara terpisah untuk mengetahui apakah koefisien tersebut layak dipakai dalam persamaan atau tidak.

Rumusan hipotesis untuk menguji parameter regresi secara parsial adalah sebagai berikut :

artinya koefisien regresi ke–j tidak signifikan atau variabel bebas ke-j

tidak berpengaruh nyata terhadap Y.

artinya koefisien regresi ke-j signifikan atau variabel bebas ke-j

berpengaruh nyata terhadap Y.

Statistik uji yang digunakan untuk menguji parameter regresi secara parsial adalah:

( ̂) ̂

√ ̂ (2.23)

Jika | ( ̂ )| > maka ditolak yang artinya variabel bebas ke- j

berpengaruh nyata terhadap Y.

2.6 Koefisien Determinasi ( )

Koefisien determinasi adalah nilai yang menunjukkan seberapa besar nilai variabel Y

dijelaskan oleh variable X. Koefisien determinasi merupakan salah satu patokan yang biasa digunakan untuk melihat apakah suatu model regresi yang dicocokkan belum atau sudah memadai, yang dinotasikan dengan R2. Koefisien determinasi ini hannya menunjukkan ukuran proporsi variansi total dalam respon Y yang diterangkan oleh model yang dicocokkan (Walpole dan Myers, 1995)

Nilai koefisien determinasi ( ) dapat diperoleh dengan rumus :

Nilai R2 yang mendekati 0 (nol) menunjukkan bahwa data sangat tidak cocok dengan model regresi yang ada. Sebaliknya, jika nilai R2 mendekati 1 (satu) menunjukkan bahwa data cocok terhadap model regresi. Dapat disimpulkan bahwa nilai R2 yang diperoleh sesuai dengan yang dijelaskan masing-masing faktor yang tinggal di dalam regresi. Hal ini mengakibatkan bahwa yang dijelaskan hannyalah disebabkan faktor yang mempengaruhinya saja. Besarnya variansi yang dijelaskan penduga sering dinyatakan dalam persen. Persentase variansi penduga tersebut adalah

2.7 Multikolinieritas

Istilah multikolinieritas pertama kali diperkenalkan oleh Ragnar Frisch pada tahun

1934, yang menyatakan bahwa multikolinieritas terjadi jika adanya hubungan linier

yang sempurna (perfect) atau pasti (exact) diantara beberapa atau semua variabel bebas dari model regresi berganda (Rahardiantoro 2008).

Maksud dari adanya hubungan linier antar sesama variable adalah : Misalkan terdapat k variable bebas . Hubungan linier yang sempurna/pasti terjadi jika berlaku hubungan berikut :

(2.25)

Dimana merupakan bilangan konstan dan tidak seluruhnya nol atau paling tidak ada satu yang tidak sama dengan nol, yaitu

Jika terdapat korelasi sempurna diantara sesama variabel bebas, sehingga nilai koefisien korelasi diantara sesama variabel ini sama dengan satu, maka konsekuensinya adalah koefisien-koefisien regresi menjadi tidak dapat ditaksir, nilai standar eror setiap koefisien regresi menjadi tak hingga.

Pada analisis regresi, multikolinieritas dikatakan ada apabila beberapa kondisi berikut dipenuhi :

1. Dua variable berkorelasi sempurna (oleh karena itu vektor–vektor yang menggambarkan variabel tersebut adalah kolinier).

2. Dua variabel bebas hampir berkorelasi sempurna yaitu koefisien korelasinya mendekati .

3. Kombinasi linier dari beberapa variabel bebas berkorelasi sempurna atau mendekati sempurna dengan variable bebas yang lain.

4. Kombinasi linier dari satu sub-himpunan variabel bebas berkorelasi sempurna dengan suatu kombinasi linier dari sub-himpunan variabel bebas yang lain.

2.7.1 Pendeteksian Multikolinieritas

Ada beberapa cara untuk mengetahui ada tidaknya multikolinieritas, yaitu : 1. Nilai korelasi (korelasi antar peubah bebas).

Prosedur ini merupakan pendeteksian yang paling sederhana dan paling mudah. Jika nilai korelasi antar peubah ( ) melebihi 0,75 diduga terdapat gejala multikolinieritas.

[

]

∑ ( _√ ̅ ) ( _√ ̅ ) (2.26)

Untuk menghasilkan

2. Faktor Variansi Inflasi (Variance Inflation Factor, VIF).

VIF adalah elemen-elemen diagonal utama dari invers matriks korelasi. VIF digunakan sebagai kriteria untuk mendeksi multikolinieritas pada regresi linier berganda yang melibatkan lebih dari dua variabel bebas. Nilai VIF lebih besar dari 10 mengindikasikan adanya masalah multikolinieritas yang serius.

VIF untuk koefisien regresi –j didefinisikan sebagai berikut :

(2.27)

dengan :

= Koefisien determinasi antar dengan variabel bebas lainnya (j = 1, 2, …, p)

2.7.2 Pengaruh Multikolinieritas

Koefisien regresi penduga ̂ yang diperoleh dengan metode kuadrat terkecil mempunyai banyak kelemahan apabila terjadi multikolinieritas diantara variabel bebas, yaitu :

1. Variansi ̂ Besar

Apabila determinan dari matriks , akibatnya variansi akan semakin besar sehingga penduga kuadrat terkecil tidak efisien karena memiliki ragam dan peragam yang besar. Dalam kasus multikolinieritas penduga kuadrat tekecil tetap tak bias karena sifat ketakbiasan tidak ditentukan oleh asumsi tidak adanya multikolinieritas, hannya akibat multikolinieritas penduga memiliki ragam yang besar dan tidak dapat lagi disebut sebagai penduga yang memiliki sifat linier, tak bias, dan mempunyai varian minimum atau yang disebut BLUE (best linier unbiased estimator).

2. Selang Kepercayaan Penduga Lebih Lebar

Dalam situasi multikolinieritas antara variabel-variabel bebas dalam model regresi linier mengakibatkan variansi penduga kuadrat terkecil menjadi besar sehingga menghasilkan galat baku yang lebih besar, akibatnya selang kepercayaan bagi parameter model regresi menjadi lebih besar.

3. Nilai Statistik-t yang Tidak Nyata

Multikolinieritas yang mengakibatkan galat baku penduga kuadrat terkecil menjadi lebih besar, maka statistik t yang didefinisikan sebagai rasio antara koefisien penduga dan galat baku koefisien penduga menjadi lebih kecil. Akibatnya meningkatkan besarnya peluang menerima hipotesis yang salah (kesalahan akan meningkat), karena suatu hipotesis yang seharusnya ditolak tetapi berdasarkan pengujian hipotesis diputuskan untuk diterima, sebagai konsekuensi nilai statistik t yang tidak nyata.

4. Nilai Koefisien Determinasi (R2) yang Tinggi Tetapi Beberapa Nilai Statistik-t

Tidak Nyata

Dalam kasus adanya multikolinieritas, maka akan ditemukan beberapa koefisien regresi yang secara individual tidak nyata berdasarkan uji statistik

t-student. Namun, koefisien determinasi (R2) dalam situasi yang demikian mungkin tinggi sekali serta berdasarkan uji koefisien regresi keseluruhan berdasarkan uji F akan ditolak hipotesis nol, bahwa

2.8 Analisis Komponen Utama

Analisis komponen utama merupakan teknik statistik yang dapat digunakan untuk mereduksi sejumlah variabel asal menjadi beberapa variabel baru yang bersifat orthogonal dan tetap mempertahankan total keragaman dari variabel asalnya.

Analisis komponen utama bertujuan untuk mengubah dari sebagian besar variabel asli yang digunakan yang saling berkorelasi satu dengan yang lainnya, menjadi satu set variabel baru yang lebih kecil dan saling bebas (tidak berkorelasi lagi), dan merupakan kombinasi linier dari variabel asal. Selanjutnya variabel baru ini dinamakan komponen utama (principal component). secara umum tujuan dari analisis komponen utama adalah mereduksi dimensi data sehingga lebih mudah untuk menginterpretasikan data-data tersebut.

Analisis komponen utama bertujuan untuk menyederhanakan variabel yang diamati dengan cara menyusutkan dimensinya. Hal ini dilakukan dengan menghilangkan korelasi variabel melalui transformasi variabel asal ke variabel baru yang tidak berkorelasi.

Variabel baru ( ) disebut sebagai komponen utama yang merupakan hasil transformasi dari variable asal yang modelnya dalam bentuk catatan matriks adalah:

dengan :

A adalah matriks yang melakukan transformasi terhadap variabel asal

sehingga diperoleh vektor komponen . Penjabarannya adalah sebagai berikut :

[ ]

[

]

[ ]

2.8.1 Menentukan Komponen Utama

Komponen utama dapat ditentukan melalui matriks ragam peragam (∑) dan matriks korelasi dari . Matriks kovarian ∑ digunakan untuk membentuk komponen utama apabila semua variabel yang diamati mempunyai satuan pengukuran yang sama. Sedangkan, matriks Korelasi digunakan apabila variabel yang diamati tidak mempunyai satuan pengukuran yang sama. Variabel tersebut perlu dibakukan, sehingga komponen utama berdasarkan matriks korelasi ditentukan dari variabel baku.

2.8.1.1Komponen Utama Berdasarkan Matriks Kovarian (∑)

Dipunyai matriks kovarian ∑ dari p buah variable Total varian dari variabel–variabel tersebut didefinisikan sebagai ∑ ∑ yaitu penjumlahan dari unsur diagonal matriks ∑. Melalui matriks kovarian ∑ bisa diturunkan akar ciri-akar cirinya yaitu dan vektor ciri–vektor cirinya

Komponen utama pertama dari vektor berukuran px1,

adalah kombinasi linier linier terbobot variabel asal yang dapat menerangkan keragaman terbesar.

Komponen utama pertama dapat dituliskan sebagai :

(2.29)

dengan :

dan Varian dari komponen utama pertama adalah :

∑ ∑

∑ (2.30)

Vektor pembobot adalah vektor normal, Koefisien adalah unsur-unsur dari vektor ciri yang berhubungan dengan akar ciri terbesar yang diturunkan dari matriks kovarian ∑ dipilih sedemikian sehingga mencapai maksimum dengan kendala . Menggunakan teknik pemaksimuman berkendala lagrange diperoleh persamaan :

∑

Fungsi ini mencapai maksimum jika turunan parsial pertama terhadap sama dengan nol.

∑ atau ∑ (2.31)

Persamaan (2.31) dipenuhi oleh dan yang merupakan pasangan akar ciri dan vektor ciri matriks ∑ Akibatnya ∑ Oleh karena itu varian ∑ harus maksimum, maka adalah akar ciri yang terbesar dari matriks ∑ dan adalah vektor ciri yang bersesuaian dengan

Komponen utama kedua adalah kombinasi linier terbobot variabel asal yang tidak berkorelasi dengan komponen utama pertama, serta memaksimumkan sisa kovarian data setelah diterangkan oleh komponen utama pertama. Komponen utama kedua dapat dituliskan sebagai :

dengan :

dan

Vektor pembobot adalah vektor normal yang dipilih sehingga keragaman komponen utama kedua maksimum, serta orthogonal terhadap vektor pembobot dari komponen utama pertama. Agar varian dari komponen utama kedua maksimum, serta antara komponen utama kedua tidak berkorelasi dengan komponen utama pertama, maka vektor pembobot dipilih sedemikian sehingga tidak berkorelasi dengan varian komponen utama kedua ( ) adalah :

∑ ∑

∑ (2.33)

Varian tersebut akan dimaksimumkan dengan kendala dan cov

∑ Karena adalah vektor ciri dari ∑ dan ∑ adalah matriks simetrik, maka :

∑ ∑ ∑

Kendala ∑ dapat dituliskan sebagai Jadi fungsi Lagrange yang dimaksimumkan adalah :

∑ (2.34)

Fungsi ini mencapai maksimum jika turunan parsial pertama terhadap sama dengan nol, diperoleh

∑ ∑ (2.35)

Jika persamaan (2.35) dikalikan dengan maka diperoleh

∑ ∑ ∑

∑

∑

Oleh karena ∑ maka Dengan demikian persamaan (2.35) setelah diturunkan terhadap menjadi

∑

∑ (2.36)

Jadi dan merupakan pasangan akar ciri dan vektor ciri dari matriks varian kovarian ∑ Seperti halnya penurunan pada pencarian , akan diperoleh bahwa

adalah vektor ciri yang bersesuaian dengan akar ciri terbesar kedua dari matriks ∑ Secara umum komponen utama ke-j dapat dituliskan sebagai :

(2.37)

dengan :

dan

vektor pembobot diperoleh dengan memaksimumkan keragaman komponen utama ke-j, yaitu :

∑ (2.38)

dengan kendala :

serta untuk .

Dengan kendala ini, maka akar ciri dapat diinterpretasikan sebagai ragam komponen utama ke- j serta sesama komponen utama tidak berkorelasi.

Vektor pembobot yang merupakan koefisien pembobot variabel asal bagi komponen utama ke-j diperoleh dari matriks peragam ∑ yang diduga dengan matriks S berikut :

2.8.1.2Komponen Utama Berdasarkan Matriks Korelasi ( )

Jika variabel yang diamati tidak mempunyai satuan pengukuran yang sama, maka variabel tersebut perlu dibakukan sehingga komponen utama ditentukan dari variabel baku (Vincent gasperz, 1991). Variabel asal perlu ditransformasi ke dalam variabel baku Z, dalam catatan matriks adalah :

(2.40)

dengan :

Z = variabel baku

= matriks simpangan baku dengan unsur diagonal utama = variabel pengamatan

= nilai rata-rata pengamatan

Dengan, Nilai harapan , dan ragamnya ∑

Dengan demikian, komponen–komponen utama dari Z dapat ditentukan dari vektor ciri yang diperoleh melalui matriks korelasi yang diduga dengan matriks , dimana vektor pembobot diperoleh dengan memaksimumkan keragaman komponen utama ke-j dengan kendala :

serta untuk .

Semua formula yang telah diturunkan berdasarkan variabel-variabel

dengan matriks ∑ akan berlaku untuk peubah-peubah dengan matriks

Sehingga diperoleh komponen utama ke-j dengan menggunakan variable baku yaitu :

(2.41)

dengan :

= komponen utama ke- j

= vektor ciri ke- j

Ragam komponen utama ke-j adalah sama dengan akar ciri ke-j, serta antara komponen utama ke-i dan komponen utama ke- j tidak berkorelasi untuk .

Untuk meregresikan komponen utama dengan variabel bebas, maka perlu dihitung skor komponen dari setiap pengamatan. Untuk komponen utama yang diturunkan dari matriks korelasi , maka skor komponen utama dari unit pengamatan ke-i ditentukan sebagai berikut :

(2.42)

dengan :

= vektor pembobot komponen utama ke-r

= vektor skor baku dari variabel yang diamati pada pengamatan ke-i

2.8.2 Kriteria Pemilihan Komponen Utama

Salah satu tujuan dari analisis komponen utama adalah mereduksi dimensi data asal yang semula, terdapat p variable bebas menjadi k komponen utama . Kriteria pemilihan k yaitu :

1. Didasarkan pada akar ciri yang lebih besar dari satu, dengan kata lain hannya komponen utama yang memiliki akar ciri lebih besar dari satu yang dilibatkan dalam analisis regresi komponen utama.

2. Proporsi kumulatif keragaman data asal yang dijelaskan oleh k komponen utama minimal 80%, dan proporsi total variansi populasi bernilai cukup besar.

2.8.3 Kontribusi Komponen Utama

Kontribusi komponen utama yang diturunkan dari matriks kovarian dan matriks korelasi adalah sebagai berikut:

Proporsi total variansi populasi yang dijelaskan oleh komponen utama ke-j

berdasarkan matriks kovarian adalah :

∑ dengan (2.43)

Jadi kontribusi (dalam persentase) masing–masing komponen utama ke-j

terhadap total varian x adalah :

∑ x 100% (2.44)

Sedangkan, proporsi total variansi populasi yang dijelaskan oleh komponen utama ke-j berdasarkan matriks korelasi, yaitu komponen yang dihasilkan berdasarkan variable-variabel yang telah dibakukan (Z) adalah :

(2.45)

dengan :

= Akar ciri terbesar ke-j dari matriks korelasi R

= Trace matriks R yang merupakan jumlah diagonal utama matriks R, yang tidak lain sama dengan banyaknya variabel yang diamati, atau sama dengan jumlah semua akar ciri yang diperoleh dari matriks R.

Jadi kontribusi (dalam persentase) masing–masing komponen utama ke-j

terhadap total varian x adalah :

Bab 3

PEMBAHASAN

3.1Regresi Komponen Utama

Regresi komponen utama adalah teknik yang digunakan untuk meregresikan komponen utama dengan variabel tak bebas melalui metode kuadrat terkecil. Tahap pertama pada prosedur regresi komponen utama yaitu menentukan komponen utama yang merupakan kombinasi linier dari beberapa variabel X, dan tahap kedua adalah variabel tak bebas diregresikan pada komponen utama dalam sebuah model regresi linier.

Persamaan regresi komponen utama berdasarkan matriks kovarian pada dasarnya hampir sama dengan persamaan regresi komponen utama berdasarkan matriks korelasi yaitu variabel diganti dengan variabel baku

. Kedua persamaan tersebut digunakan sesuai dengan pengukuran variabel-variabel yang diamati.

Apabila diberikan notasi sebagai banyaknya komponen utama yang dilibatkan dalam analisis regresi komponen utama, di mana k lebih kecil daripada banyaknya variabel penjelas asli X, yaitu sejumlah p ( )

Maka Bentuk umum persamaan regresi komponen utama adalah :

(3.1)

dengan :

= variabel tak bebas

= variabel komponen utama

Komponen utama merupakan kombinasi linier dari variabel Z ;

(3.2)

dengan :

= komponen utama

= koefisien komponen utama = variabel baku

Komponen utama dalam persamaan (3.2) disubstitusikan ke dalam persamaan regresi komponen utama (3.1), maka diperoleh :

̂ (3.3)

dengan :

= ̅

= (3.4)

3.2Uji Koefisien Regresi Komponen Utama

Pengujian koefisien regresi adalah sebuah pengujian untuk menentukan apakah variabel bebas berpengaruh nyata terhadap variabel terikat. Pengujian Akan dilakukan terhadap koefisien-koefisien regresi secara terpisah untuk mengetahui apakah koefisien tersebut layak dipakai dalam persamaan atau tidak.

Rumusan hipotesis untuk menguji parameter regresi secara parsial adalah sebagai berikut :

artinya koefisien regresi ke–j tidak signifikan atau variabel bebas ke-j

artinya koefisien regresi ke-j signifikan atau variabel bebas ke-j

berpengaruh nyata terhadap Y.

Untuk menguji signifikansi koefisien regresi dilakukan dengan menggunakan uji t-student dengan statistik uji :

_√ (3.5)

dengan :

_∑

(3.6)

sedangkan :

∑ ̅ atau

(3.7)

dengan :

= parameter ke-i

= ragam galat regresi komponen utama

= koefisien komponen utama

= nilai eigen ke-i

Jika | ( ̂)| > maka ditolak yang artinya variabel bebas ke- j

berpengaruh nyata terhadap Y.

Setelah koefisien diuji keberartiannya, persamaan regresi linier berganda (3.3) yang terdapat variable baku Z ditransformasi menjadi variabel X sebagai variabel bebasnya, maka model regresinya adalah :

̂ (3.8)

dengan :

̂ = variabel bebas

= parameter regresi = variabel bebas asal

3.3Ilustrasi Regresi Komponen Utama Mengatasi Multikolinieritas

Sebagai teladan penggunaan analisis regresi komponen utama untuk mengatasi masalah multikolinieritas, berikut ini akan dibahas suatu contoh kasus yang memiliki multikolinieritas diantara variabel–variabel bebasnya. Data yang akan dibahas adalah data yang tertera dalam tabel berikut :

Tabel 3.1 Data Gas Mileage Pada 30 Mobil dan Faktor–faktor yang Mempengaruhinya.

No Y

1 16.9 8 350 155 4.360 14.9 1

2 15.5 8 351 142 4.054 14.3 1

3 19.2 8 267 125 3.605 15.0 1

4 18.5 8 360 150 3.940 13.0 1

5 30.0 4 98 68 2.155 16.5 0

6 27.5 4 134 95 2.560 14.2 0

7 27.2 4 119 97 2.300 14.7 0

8 30.9 4 105 75 2.230 14.5 0

9 20.3 5 131 103 2.830 15.9 0

10 17.0 6 163 125 3.140 13.6 0

11 21.6 4 121 115 2.795 15.7 0

12 16.2 6 163 133 3.410 15.8 0

13 20.6 6 231 105 3.380 15.8 0

14 20.8 6 200 85 3.070 16.7 0

15 18.6 6 225 110 3.620 18.7 0

16 18.1 6 258 120 3.410 15.1 0

17 17.0 8 305 130 3.840 15.4 1

18 17.6 8 302 129 3.725 13.4 1

19 16.5 8 351 138 3.955 13.2 1

20 18.2 8 318 135 3.830 15.2 1

21 26.5 4 140 88 2.585 14.4 0

23 34.1 4 86 65 1.975 15.2 0

24 35.1 4 98 80 1.915 14.4 0

25 27.4 4 121 80 2.670 15.0 0

26 31.5 4 89 71 1.990 14.9 0

27 29.5 4 98 68 2.135 16.6 0

28 28.4 4 151 90 2.670 16.0 0

29 28.8 6 173 115 2.595 11.3 1

30 26.8 6 173 115 2.700 12.9 1

Sumber : Bovas Abraham dan Johannes Ledolter 1983

Keterangan :

Y = Gas Mileage mil per galon = Jumlah silinder

= pertukaran mesin dalam inch3

= Daya kuda

= Berat dalam 1000 pon = Percepatan dalam detik

= Tipe/jenis mesin (straight [1]; V [0])

3.3.1 Analisis Dengan Regresi Linier Berganda

Analisa regresi dengan metode kuadrat terkecil persamaan (2.18) menghasilkan persaman regresi sebagai berikut : (perhitungan pada lampiran A)

Tabel 3.2 Uji Signifikansi Koefisien Regresi Linier Berganda

Variabel Koefisien Regresi

SE. Koefisien T- Hitung VIF

Konstanta 60.530 5.051 11.984

-1.874 0.810 -2.315 17.398

0.041 0.016 2.514 21.631

-0.074 0.043 -1.717 12.482

-7.950 2.881 -2.760 41.175

-0.265 0.358 -0.741 2.601

3.601 1.559 2.309 5.739

Dengan taraf nyata maka ( pada lampiran E)

Berdasarkan uji signifikansi koefisien regresi secara parsial dimana terdapat variabel yang | ( ̂ )| < yaitu variabel bebas dan . Hal ini menyebabkan bahwa diterima yang berarti terdapat variabel bebas ( dan ) yang tidak berpengaruh nyata terhadap variabel terikat (Y).

3.3.2 Pendeteksian Multikolinieritas

Untuk pendeteksian adanya multikolinieritas ada beberapa cara yang dapat digunakan antara lain :

1. Nilai Korelasi

Dengan menggunakan persamaan (2.26) maka didapatkan nilai korelasi masing-masing variabel yang dijelaskan pada tabel berikut.

Tabel 3.3 Nilai Korelasi Data Gas Mileage Antar Variabel Bebas

Variabel

1.000 0.944 0.872 0.914 -0.243 0.826

0.944 1.000 0.862 0.945 -0.219 0.750

0.872 0.862 1.000 0.905 -0.321 0.710

0.914 0.945 0.905 1.000 -0.60 0.632

-0.243 -0.219 -0.321 -0.60 1.000 -0.460

0.826 0.750 0.710 0.632 -0.460 1.000

(perhitungan pada lampiran B)

Berdasarkan nilai korelasi diatas terdapat korelasi antar variabel yang melebihi 0.75. Hal ini mengindikasikan bahwa terdapat multikolinieritas.

2. Faktor Variansi Inflasi (VIF)

Dengan menggunakan persamaan (2.27) maka didapatkan nilai VIF masing-masing variabel bebas yang dijelaskan pada tabel berikut.

Tabel 3.4 Nilai Faktor Variansi Inflasi (VIF)

Variabel VIF

17.398 21.631

12.482

41.175

2.601

5.739 (perhitungan pada lampiran B)

3.3.3 Analisis Dengan Regresi Komponen Utama

Setelah dideteksi bahwa data gas mileage pada tabel (3.1) mengalami masalah multikolinieritas pada variabel bebasnya maka data tersebut akan dianalisis menggunakan analisis regresi komponen utama.

Karena skala pengukuran dari setiap variabel yang diamati tidak sama, maka variabel tersebut ditransformasikan ke dalam variabel baku Z (persamaan 2.40). Kemudian akan dianalisis dengan analisis Komponen utama yang ditentukan berdasarkan pada matriks korelasi.

Correlation Matrix

Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6

Correlation Z1 1.000

Z2 .944 1.000

Z3 .872 .862 1.000

Z4 .914 .945 .905 1.000

Z5 -.243 -.219 -.321 -.060 1.000

Z6 .826 .750 .710 .632 -.460 1.000 (lampiran B)

Untuk menegetahui variabel komponen utama berdasarkan matriks korelasi, terlebih dahulu dihitung nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian, dengan menggunakan persamaan (2.5) dan (2.46) maka diperoleh nilai eigen, serta proporsi total variansinya seperti pada tabel berikut.

Tabel 3.5 Nilai Eigen, Proporsi Total Variansi dan Proporsi Variansi Kumulatif

Komponen Nilai eigen Proporsi total variansi (%)

Proporsi variansi kumulatif (%)

1 4.452 74.194 74.194

2 1.049 17.490 91.683

3 0.313 5.212 96.896

4 0.127 2.113 99.008

5 0.044 0.740 99.748

6 0.015 0.252 100

(perhitungan pada lampiran C)

Berdasarkan kriteria pemilihan komponen utama maka komponen yang terpilih adalah komponen utama pertama dan kedua karena memiliki nilai eigen lebih besar dari 1 serta proporsi keragaman oleh kedua komponen utama tersebut telah mampu menjelaskan 91.683 % keragaman dari variabel asal.

Setelah nilai eigen diketahui maka dengan menggunakan persamaan (2.6) dapat dihitung nilai vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen, dimana vektor eigen merupakan koefisien komponen utama. Hasil perhitungan diperoleh seperti pada tabel berikut.

Tabel 3.6 Koefisien Komponen Utama (Vektor Eigen)

Variabel Komponen Utama

0.219 0.086

0.216 0.137

0.210 0.030

0.208 0.306

-0.078 0.873

0.191 -0.265

Berdasarkan persamaan (3.2) maka persamaan komponen utama adalah :

(3.9)

Untuk meregresikan komponen utama dengan variabel bebas, maka dihitung skor komponen dari setiap pengamatan. Untuk komponen utama yang diturunkan dari matriks korelasi , berdasarkan persamaan (2.42) maka didapatkan skor komponen utama dari unit pengamatan ke-i seperti pada tabel berikut :

Tabel 3.7 Skor Faktor Komponen Utama

No Skor Faktor_ Skor Faktor_ Y

1 1.70228 0.60753 16.9

2 1.54272 0.09749 15.5

3 1.03797 0.18401 19.2

4 1.66528 -0.71909 18.5

5 -1.24829 0.48353 30.0

6 -0.70264 -0.65481 27.5

7 -0.82532 -0.48318 27.2

8 -1.04513 -0.68118 30.9

9 -0.52515 0.55179 20.3

10 0.07596 -0.58698 17.0

11 -0.58464 0.36170 21.6

12 0.10044 0.87574 16.2

13 0.02682 0.93247 20.6

14 -0.34701 1.27640 20.8

15 -0.03371 2.79528 18.6

16 0.25797 0.57765 18.1

17 1.21520 0.59110 17.0

18 1.27463 -0.67969 17.6

19 1.54104 -0.61835 16.5

21 -0.74830 -0.52154 26.5

22 0.12599 0.59012 21.9

23 -1.28319 -0.40562 34.1

24 -1.10843 -0.88249 35.1

25 -0.86508 -0.15788 27.4

26 -1.20717 -0.57010 31.5

27 -1.25958 0.53568 29.5

28 -0.76794 0.50634 28.4

29 0.37355 -2.75705 28.8

30 0.31772 -1.73932 26.8

(perhitungan pada lampiran C)

Skor komponen utama tersebut kemudian diregresikan dengan variabel bebas

Y dengan metode kuadrat terkecil. Adapun model regresi komponen utama dengan dua komponen adalah : (perhitungan pada lampiran E)

̂ (3.10)

dengan :

̅

Tabel 3.8 Uji Signifikansi Koefisien Regresi Komponen Utama

Komponen Utama

Koefisien Regresi

SE. Koefisien T- Hitung VIF

Konstanta 23.273 0.488 47.730

-4.834 0.496 -9.747 1

-2.458 0.496 -4.955 1

Dengan taraf nyata maka ( lampiran E) Koefisien Komponen utama dan sudah signifikan serta nilai VIF adalah 1, ini menunjukkan bahwa sudah tidak ada lagi masalah multikolinieritas.

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.9) ke persamaan (3.10) maka didapat Model regresi linier berganda yang melibatkan variabel Z yang merupakan hasil transformasi dari variabel W sebagai variabel bebas. Hasil transformasi ditunjukkan pada persamaan (3.11) berikut :

̂ 3.3.4 Uji Signifikansi Koefisien Regresi Komponen Utama Variabel Baku

Koefisien regresi pada persamaan (3.11) akan diuji secara parsial. Berdasarkan persamaan (3.6) dan (3.7) maka didapatkan nilai varian dan T-Hitung masing–masing variabel bebas Z seperti pada tabel berikut.

Tabel 3.9 Nilai Varian dan T-Hitung Variable Bebas Z

Variabel Koefisien Regresi Varian T-Hitung

-1.270 0.011 -115.455

-1.381 0.014 -98.643

-1.089 0.009 -121.000

-1.758 0.026 -67.615

-1.769 0.071 -24.915

-0.272 0.023 -11.826

Dengan taraf nyata maka ( lampiran E)

Berdasarkan uji signifikansi koefisien regresi secara parsial, didapatkan bahwa semua | ( ̂ )| > Hal ini menyebabkan ditolak sehingga dapat disimpulkan bahwa semua variabel bebas Z berpengaruh secara nyata terhadap variabel terikat (Y).

Maka dengan menggunakan persamaan (2.40), persamaan (3.11) akan diubah kebentuk semula. Persamaan yang terdapat variable Z ditransformasi menjadi variabel

X sebagai variabel bebasnya dengan

.

Sehingga diperoleh model regresi dengan variabel bebas X yaitu :

Bab 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

1. Analisis regresi komponen utama merupakan suatu metode yang dapat mengatasi masalah multikolinieritas pada analisis regresi berganda. Pada analisis regresi komponen utama semua variabel bebas masuk kedalam model, tetapi sudah tidak terjadi multikolinieritas karena sudah dihilangkan pada tahap analisis komponen utama.

2. Pada tahap analisis komponen utama berdasarkan matriks korelasi dihasilkan dua buah komponen utama yang saling bebas (tidak ada korelasi) yang menjelaskan 91.683% keragaman dari total keragaman variabel asal dengan nilai akar ciri masing-masing 4.452 dan 1.049.

3. Nilai T-hitung masing-masing variable baku Z lebih besar dari T-tabel, sehingga berdasarkan uji signifikan koefisien secara parsial semua variabel pada regresi komponen utama berpengaruh nyata terhadap variable terikat (Y), hal ini menjadi ukuran bahwa model regresi komponen utama merupakan model yang tepat untuk analisis data.

4. Melalui analisis regresi komponen utama diperoleh persamaan regresi yang sudah tepat untuk analisis data yaitu :

̂

4.2 Saran

Multikolinieritas merupakan masalah yang dapat menimbulkan model yang diperoleh kurang baik untuk analisis, untuk itu multikolinieritas harus terlebih dulu diatasi. Salah satu cara adalah dengan menggunakan analisis komponen utama. Agar masalah multikolinieritas ini dapat teratasi dengan lebih tepat maka perlu dilakukan kajian terhadap metode–metode lain yang juga dapat mengatasi masalah multikolinieritas. Oleh karena itu, disarankan kepada peneliti selanjutnya agar menggunakan metode yang lain untuk mengatasi masalah multikolinieritas serta membandingkannya dengan metode ini dengan melihat kelebihan dan kekurangan masing-maasing metode.

DAFTAR PUSTAKA

Abraham, Bovas and Ledolter Johannes. 1983. Statistical Methods for Forecasting.

New York : John Wiley and Son Inc.

Anton, Howard. 1987. Aljabar Linier Elementer. Edisi Kelima. Jakarta : Erlangga.

Bakti, Haris.2008. Analisis Regresi Komponen Utama Untuk Mengatasi Masalah Multikolinieritas Dalam Analisis Regresi Linier Berganda. Diakses tanggal 8 april 2011

Chatterjee, Samprit and Price, Bertram. 1977. Regression Analysis by Example.

Second Edition. New York : University New York.

Drapper. N.R. and Smith. 1981. Applied Regression Analysis. Second Edition. New York : John Wiley and Son Inc.

Gasperz, Vincent. 1991. Ekonometrika Terapan. Jilid 2. Bandung : Tarsito.

Gujarati, Damodar. 1995. Ekonometrika Dasar. Terjemahan Sumarno. Jakarta : Erlangga

Lungan, Richard. 2006. Aplikasi Statistika dan Hitung Peluang. Yogyakarta : Graha Ilmu

Naftali, Y. 2007. Regresi dan Multikolinieritas Dalam Regresi.

http://yohanli.wordpress.com/category/science/ Diakses tanggal 15 Februari, 2011.

Sembiring, R.K. 2003. Analisis Regresi. Bandung : ITB Bandung

Sigit, Nugroho. Regresi Ridge Untuk Mengatasi Multikolinieritas. e-Jurnal Statistika. Diakses tanggal 15 Februari, 2011

Supranto, J. 1984. Ekonometrik. Jilid 2. Jakarta : LPFE Universitas Indonesia.

Supranto, J. 2004. Analisis Multivariat. Jakarta : Rineka Cipta.

Walpole, R.E. dan R.H. Myers. 1995. Ilmu Pelua ng dan Statistik Untuk Insnyiur dan Ilmuwan. Terjemahan Edisi Keempat. Bandung : ITB Bandung.

21 -0.74830 -0.52154 26.5

22 0.12599 0.59012 21.9

23 -1.28319 -0.40562 34.1

24 -1.10843 -0.88249 35.1

25 -0.86508 -0.15788 27.4

26 -1.20717 -0.57010 31.5

27 -1.25958 0.53568 29.5

28 -0.76794 0.50634 28.4

29 0.37355 -2.75705 28.8

30 0.31772 -1.73932 26.8

(perhitungan pada lampiran C)

Skor komponen utama tersebut kemudian diregresikan dengan variabel bebas Y dengan metode kuadrat terkecil. Adapun model regresi komponen utama dengan dua komponen adalah : (perhitungan pada lampiran E)

̂ (3.10) dengan :

̅

Tabel 3.8 Uji Signifikansi Koefisien Regresi Komponen Utama

Komponen Utama

Koefisien Regresi

SE. Koefisien T- Hitung VIF

Konstanta 23.273 0.488 47.730

-4.834 0.496 -9.747 1

-2.458 0.496 -4.955 1

Dengan taraf nyata maka ( lampiran E) Koefisien Komponen utama dan sudah signifikan serta nilai VIF adalah 1, ini menunjukkan bahwa sudah tidak ada lagi masalah multikolinieritas.

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.9) ke persamaan (3.10) maka didapat Model regresi linier berganda yang melibatkan variabel Z yang merupakan hasil

3.3.4 Uji Signifikansi Koefisien Regresi Komponen Utama Variabel Baku

Koefisien regresi pada persamaan (3.11) akan diuji secara parsial. Berdasarkan persamaan (3.6) dan (3.7) maka didapatkan nilai varian dan T-Hitung masing–masing variabel bebas Z seperti pada tabel berikut.

Tabel 3.9 Nilai Varian dan T-Hitung Variable Bebas Z

Variabel Koefisien Regresi Varian T-Hitung

-1.270 0.011 -115.455

-1.381 0.014 -98.643

-1.089 0.009 -121.000

-1.758 0.026 -67.615

-1.769 0.071 -24.915

-0.272 0.023 -11.826

Dengan taraf nyata maka ( lampiran E)

Berdasarkan uji signifikansi koefisien regresi secara parsial, didapatkan bahwa semua | ( ̂ )| > Hal ini menyebabkan ditolak sehingga dapat disimpulkan bahwa semua variabel bebas Z berpengaruh secara nyata terhadap variabel terikat (Y).

Maka dengan menggunakan persamaan (2.40), persamaan (3.11) akan diubah kebentuk semula. Persamaan yang terdapat variable Z ditransformasi menjadi variabel

X sebagai variabel bebasnya dengan

.

Sehingga diperoleh model regresi dengan variabel bebas X yaitu :

Bab 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

1. Analisis regresi komponen utama merupakan suatu metode yang dapat mengatasi masalah multikolinieritas pada analisis regresi berganda. Pada analisis regresi komponen utama semua variabel bebas masuk kedalam model, tetapi sudah tidak terjadi multikolinieritas karena sudah dihilangkan pada tahap analisis komponen utama.

2. Pada tahap analisis komponen utama berdasarkan matriks korelasi dihasilkan dua buah komponen utama yang saling bebas (tidak ada korelasi) yang menjelaskan 91.683% keragaman dari total keragaman variabel asal dengan nilai akar ciri masing-masing 4.452 dan 1.049.

3. Nilai T-hitung masing-masing variable baku Z lebih besar dari T-tabel, sehingga berdasarkan uji signifikan koefisien secara parsial semua variabel pada regresi komponen utama berpengaruh nyata terhadap variable terikat (Y), hal ini menjadi ukuran bahwa model regresi komponen utama merupakan model yang tepat untuk analisis data.

4. Melalui analisis regresi komponen utama diperoleh persamaan regresi yang sudah tepat untuk analisis data yaitu :

4.2 Saran

Multikolinieritas merupakan masalah yang dapat menimbulkan model yang diperoleh kurang baik untuk analisis, untuk itu multikolinieritas harus terlebih dulu diatasi. Salah satu cara adalah dengan menggunakan analisis komponen utama. Agar masalah multikolinieritas ini dapat teratasi dengan lebih tepat maka perlu dilakukan kajian terhadap metode–metode lain yang juga dapat mengatasi masalah multikolinieritas. Oleh karena itu, disarankan kepada peneliti selanjutnya agar menggunakan metode yang lain untuk mengatasi masalah multikolinieritas serta membandingkannya dengan metode ini dengan melihat kelebihan dan kekurangan masing-maasing metode.

DAFTAR PUSTAKA

Abraham, Bovas and Ledolter Johannes. 1983. Statistical Methods for Forecasting. New York : John Wiley and Son Inc.

Anton, Howard. 1987. Aljabar Linier Elementer. Edisi Kelima. Jakarta : Erlangga.

Bakti, Haris.2008. Analisis Regresi Komponen Utama Untuk Mengatasi Masalah Multikolinieritas Dalam Analisis Regresi Linier Berganda. Diakses tanggal 8 april 2011

Chatterjee, Samprit and Price, Bertram. 1977. Regression Analysis by Example. Second Edition. New York : University New York.

Drapper. N.R. and Smith. 1981. Applied Regression Analysis. Second Edition. New York : John Wiley and Son Inc.

Gasperz, Vincent. 1991. Ekonometrika Terapan. Jilid 2. Bandung : Tarsito.

Gujarati, Damodar. 1995. Ekonometrika Dasar. Terjemahan Sumarno. Jakarta : Erlangga

http://yohanli.wordpress.com/category/science/ Diakses tanggal 15 Februari, 2011.

Sembiring, R.K. 2003. Analisis Regresi. Bandung : ITB Bandung

Sigit, Nugroho. Regresi Ridge Untuk Mengatasi Multikolinieritas. e-Jurnal Statistika. Diakses tanggal 15 Februari, 2011

Supranto, J. 1984. Ekonometrik. Jilid 2. Jakarta : LPFE Universitas Indonesia.

Supranto, J. 2004. Analisis Multivariat. Jakarta : Rineka Cipta.

Walpole, R.E. dan R.H. Myers. 1995. Ilmu Pelua ng dan Statistik Untuk Insnyiur dan Ilmuwan. Terjemahan Edisi Keempat. Bandung : ITB Bandung.