Persamaan Navier-Stokes Persamaan Turbulensi

12 hasil yang akurat dalam memprediksi kondisi turbulensi dan angin untuk menghitung transpor udara, penyebaran kimia, biologis, dan bahan nuklir. Fluent juga banyak diterima secara luas dalam dunia tekhnik karena kemampuannya menyelesaikan masalah dispersi kimia dengan mengangkat isu geometri dan teori-teori fisika dalam model Camelli 2004; Corrier 2005. Fluent banyak digunakan oleh berbagai industri, antara lain industri pertambangan, petrokimia, otomotif, dan biomedikal. Hal ini dikarenakan Fluent memiliki kemampuan yang luas dalam menganalisis berbagai macam kasus aliran fluida. Kemampuan yang dimiliki oleh Fluent antara lain: • Model mixing-plane untuk memodelkan interaksi rotor-stator dan aplikasi mesin turbo • Model dynamic mesh untuk memodelkan domain yang bergerak dan deforming mesh • Multiple reference frame MRF dan sliding mesh untuk pemodelan rangka bergerak • Perubahan fasa untuk peleburan atau solidifikasi • Pemodelan fenomena kavitasi • Percampuran zat dan reaksi kimia, termasuk model pembakaran homogen dan heterogen • Aliran kompresibel dan inkompresibel 2.6 Pendekatan Model 2.6.1 Persamaan Kontinuitas Persamaan kontinuitas merupakan persamaan matematis yang menyatakan jumlah massa yang masuk ke dalam sistem sama jumlahnya dengan jumlah massa yang keluar sistem. Persamaan tersebut diekspresikan dalam bentuk sebagai berikut: = 0 ..… 6 adalah densitas fluida kg m -3 dan merupakan kecepatan fluida m det -1 .

2.6.2 Persamaan Navier-Stokes

Persamaan Navier-Stokes menggambarkan kekekalan momentum pada suatu fluida yang menerapkan Hukum II Newton tentang pergerakan fluida. Solusi numerik dari persamaan Navier-Stokes untuk kasus aliran turbulen cukup sulit karena untuk mendapatkan hasil yang stabil diperlukan mesh yang halus sehingga waktu komputasi menjadi cukup lama. Hal tersebut dapat diatasi dengan menggunakan persamaan time- averaged seperti Reynolds-Averaged Navier- Stokes RANS dalam aplikasi Computational Fluid Dynamics CFD. Persamaan RANS ditunjukkan secara matematis pada persamaan 7. Persamaan tersebut memiliki bentuk yang sama dengan persamaan Navier-Stokes dengan kecepatan dan variabel lainnya yang diungkapkan dalam nilai time-averaged. Bentuk tambahan yang muncul pada persamaan ini, , dikenal dengan tegangan Reynolds Reynolds stresses yang muncul akibat adanya kecepatan yang berfluktuasi efek turbulensi. Tegangan Reynolds ini harus dimodelkan agar persamaan RANS tersebut dapat terselesaikan Fluent 2006.

2.6.3 Persamaan Turbulensi

Salah satu pendekatan untuk menyelesaikan tegangan Reynolds pada persamaan RANS adalah dengan menggunakan model-model turbulensi yang berdasarkan pada hipotesis Boussinesq. Hipotesis tersebut menyatakan tegangan Reynolds berbanding lurus dengan gradien kecepatan. Persamaan tersebut ditunjukkan secara matematis pada persamaan 8. Beberapa model turbulensi yang menggunakan hipotesis Boussinesq antara lain model turbulensi Spalart-Allmaras, k-epsilon k- , dan k-omega k- . Kelebihan dari pendekatan ini adalah kebutuhan daya komputasi yang relatif kecil karena model tersebut hanya menggunakan beberapa persamaan seperti pada Spalart-Allmaras satu persamaan, k- dua persamaan, dan k- dua persamaan. Sebaliknya, kekurangan dari pendekatan ini adalah bahwa hipotesis tersebut mengasumsikan viskositas turbulen merupakan besaran isotropic scalar yang mana hal tersebut tidak sepenuhnya benar Fluent 2006. Selain pendekatan tersebut, terdapat beberapa model turbulensi lainnya yaitu Reynolds Stress Model RSM, dan Large Eddy Simulation LES. RSM mendekati persamaan RANS dengan menyelesaikan persamaan transport untuk tegangan Reynolds bersama-sama dengan persamaan laju disipasi Tuakia 2008. Model ini cukup baik karena 13 + + 2 3 + ….. 7 = + 2 3 + ….. 8 = + 1 + + + ….. 9 keterangan: = produksi dari viskositas turbulen m 2 det -1 = destruksi dari viskositas turbulen yang terjadi di daerah dekat dinding karena halangan dinding dan damping viskos m 2 det -1 dan = konstanta = viskositas kinematik m 2 det -1 = viskositas dinamik Pa det = penambahan dari sumber lain ditentukan oleh pengguna hasil dari perhitungannya lebih akurat dibandingkan dengan model yang hanya menggunakan satu atau dua persamaan saja, tetapi tentu saja RSM akan membutuhkan daya komputasi yang jauh lebih besar karena model ini menggunakan empat persamaan transpor pada aliran 2D dan tujuh persamaan transpor pada aliran 3D. Begitu juga dengan LES, model ini juga membutuhkan daya komputasi yang sangat besar. Pusaran fluida vortex yang besar diselesaikan secara langsung pada LES, sedangkan vortex yang kecil dimodelkan sehingga resolusi mesh yang dibutuhkan lebih kecil dibandingkan dengan persamaan aslinya. Selain komputasi menggunakan model, juga terdapat komputasi yang dilakukan secara langsung. Direct Numerical Simulation DNS merupakan metode komputasi fluida secara langsung. Metode ini membutuhkan daya komputasi yang sangat tinggi karena mesh pada domain komputasi harus dibangun dengan resolusi yang sangat tinggi. Baik LES maupun DNS, keduanya tidak praktis digunakan dalam aplikasi teknis secara umum karena kebutuhan daya komputasinya yang sangat besar. Berdasarkan uraian di atas, persamaan turbulensi yang cukup efisien dalam hal waktu komputasi adalah Spalart-Allmaras. Variabel transpor di dalam Spalart- Allmaras , adalah sama untuk viskositas kinematik turbulen kecuali di daerah dekat dinding. Persamaan transpor untuk ditunjukkan pada persamaan 9. Viskositas turbulen, t, dihitung dari: = ….. 10 fungsi damping viskos, , didapat dari persamaan: = + ….. 11 merupakan fraksi mol, didapat dari persamaan: …..12 Produksi turbulen, , dimodelkan sebagai berikut: = ….. 13 + ….. 14 dan = 1 1 + ….. 15 C b1 dan adalah konstanta, d merupakan jarak dari dinding, dan S merupakan ukuran skalar dari perubahan tensor. Destruksi turbulen dimodelkan sebagai berikut: = ….. 16 14 = 1 + + ….. 17 = + ….. 18 …..19 = + 1 + ….. 20 konstanta : • C b1 = 0.1355 • C b2 = 0.622 • = • C v1 = 7.1 • C w2 = 0.3 • C w3 = 2 • = 0.4187 Suatu aliran di sekitar benda dikatakan turbulen apabila bilangan Reynolds Re 4000 Frisch 1995. Persamaan matematis untuk menentukan bilangan Reynolds adalah sebagai berikut: = ….. 21 merupakan bilangan Reynolds, merupakan densitas udara kg m -3 , merupakan kecepatan angin m det -1 , merupakan diameter cerobong m dan merupakan viskositas dinamik udara kg m -1 det -1 . Tabel 3 Kategori aliran berdasarkan bilangan Reynolds Bilangan Reynolds Kategori Aliran Re 2300 Laminar 2300 Re 4000 Transisi Re 4000 Turbulen Sumber: Rott 1990 Menurut Sumer dan Fredsoe 2006, aliran turbulen di sekitar silinder dapat dikategorikan kembali ke dalam beberapa kriteria Tabel 4. Besarnya bilangan Reynolds berpengaruh terhadap terjadinya turbulensi pada aliran tersebut. Semakin besar bilangan Reynolds, maka aliran tersebut akan semakin turbulen, dan sebaliknya. Turbulensi cukup penting peranannya dalam penyebaran dan pencampuran polutan di udara karena dengan adanya turbulensi, polutan akan lebih cepat bercampur dengan udara kemudian akan tercampur dan terdispersi sehingga konsentrasi polutannya akan menjadi lebih rendah. Selain itu, bilangan Reynolds juga akan mempengaruhi pola aliran yang terbentuk di sekitar permukaan silinder dalam hal ini adalah permukaan cerobong. Beberapa fenomena yang dipengaruhi oleh bilangan tersebut antara lain adalah terbentuknya vortex dan terjadinya variasi drag coefficient. Tabel 4 Kategori aliran turbulen di sekitar silinder Bilangan Reynolds Kategori Aliran 300 Re 3× 10 5 Subcritical 3× 10 5 Re 3.5× 10 5 Critical Lower Transition 3.5 × 10 5 Re 1.5× 10 6 Supercritical 1.5× 10 6 Re 4× 10 6 Upper Transition 4 × 10 6 Re Transcritical Semakin besar bilangan Re pada suatu aliran, maka akan semakin besar pula terbentuknya vortex di dalam aliran tersebut, dan sebaliknya. Vortex dapat terjadi pada aliran dengan bilangan Re 40. Pada kondisi ini, permukaan lapisan batas akan terpisah oleh adanya gradien tekanan balik yang terbentuk akibat geometri yang divergen dari aliran disisi belakang silinder sehingga akan membentuk suatu lapisan geser. Selain itu, pada permukaan lapisan geser tersebut juga akan terbentuk vortisitas yang cukup besar. Vortisitas ini menyebabkan lapisan geser tersebut menggulung sehingga membentuk vortex Sumer dan Fredsoe 2006. Hal tersebut secara skematis diilustrasikan pada Gambar 7. Gambar 7 Skema separasi aliran di sekitar silinder 15 Drag coefficient merupakan suatu besaran tanpa satuan yang digunakan untuk mengukur gaya hambat drag dari sebuah objek dalam lingkungan fluida seperti air dan udara Hoerner 1965. Besaran ini juga dapat menunjukkan karakteristik aerodinamis suatu benda jika dilalui aliran fluida. Persamaannya adalah sebagai berikut: = ….. 22 keterangan : F D = gaya hambat drag force = massa jenis fluida kg m -3 = kecepatan angin m det -1 A = luas penampang m 2 C D bukan merupakan konstanta melainkan nilainya bervariasi terhadap kecepatan, bentuk benda, ukuran benda, densitas fluida, dan viskositas fluida. C D juga merupakan fungsi Re, oleh karena itu dalam beberapa penelitian, suatu aliran fluida dengan besaran C D tertentu pada bilangan Reynolds yang sama sering digunakan sebagai besaran pembanding dengan penelitian lain yang telah dilakukan sebelumnya untuk melakukan validasi, melihat apakah simulasi yang telah dibuat sudah benar.

2.6.4 Persamaan Transpor Spesies