Definisi 2.6 Fungsi periodik
Suatu fungsi disebut periodik jika
untuk semua dan
. Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi tersebut.
Browder 1996
Definisi 2.7 Proses Poisson periodik
Proses Poisson periodik adalah proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik.
Mangku 2001
2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik
Fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik merupakan laju dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas dibagi menjadi dua, yaitu fungsi intensitas
lokal dan fungsi intensitas global. Fungsi intensitas lokal merupakan laju dari proses Poisson di titik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global merupakan
rata-rata laju dari proses Poisson pada interval dengan panjang menuju tak hingga. Pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari
suatu proses Poisson di titik s adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari banyaknya kejadian di sekitar titik s. Secara matematis, misalkan
adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol,
, 0 dan S adalah banyaknya kejadian yang terjadi pada
S , maka fungsi intensitas lokal di titik s dapat didekati dengan
7 2`
a
Sedangkan pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas global dari suatu proses Poisson adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari banyaknya
kejadian dalam selang . Secara metematis penduga bagi fungsi intensitas
global pada dapat dinyatakan dengan
7
. Pada proses Poisson periodik, ada beberapa metode nonparametric untuk
menduga fungsi intensitas pada suatu titik yang diberikan, diantaranya adalah metode penduga tipe kernel dan metode penduga titik terdekat nearest neighbor
estimation . Dua metode tersebut telah digunakan untuk menduga secara
konsisten fungsi intensitas lokal dengan periode diketahui Helmers dan Mangku 2000. Selain itu, pembuktian kekonsistenan penduga fungsi intensitas
lokal menggunakan metode titik terdekat serta pembuktian kekonsistenan lemah dan kuat dari penduga yang diperoleh telah dikaji pada Mangku 1999. Ada
metode lain yaitu dengan meniru bentuk umum metode maximum likelihood untuk menduga laju proses Poisson homogen yang dapat diterapkan untuk menduga
fungsi intensitas global b pada proses Poisson periodik Helmers dan Mangku
2000. Fungsi intensitas proses Poisson telah digunakan pada pemodelan laju
tumpahan minyak di Laut Utara Belanda Helmers 1995. Secara komputasi, telah dirumuskan mengenai algoritma dalam menduga fungsi intensitas suatu proses
Poisson dengan tren eksponensial kuadratik dan periodik Helmers dan Zitikis 1999.
Pendugaan fungsi intensitas ini dapat dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu jika periodenya tidak diketahui dan jika periodenya diketahui. Untuk periode
yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitasnya lebih rumit dibandingkan proses dengan periodenya diketahui. Meskipun demikian kekonsistenan penduga
tipe kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik untuk kasus periode tidak diketahui telah dikaji pada Helmers, et al. 2003 dan sifat-sifat
statistiknya telah dikaji pada Helmers, et al. 2005. Adapun untuk periode yang diketahui telah dilakukan kajian tentang perumusan penduga tipe kernel serta
pembuktian dari kekonvergenan lemah dan kuat dari penduga yang diperoleh Mangku 2006a dan pembuktian asymptotic normality dari penduga yang
diperoleh Mangku 2006b. Pemodelan suatu fenomena dengan proses Poisson periodik berkembang
dengan menyertakan suatu komponen tren linear Helmers dan Mangku 2009, maupun menggunakan periodik ganda dalam fungsi intensitasnya Helmers, et al.,
2007. Adapun pendugaan untuk fungsi intensitas globalnya telah dilakukan pada Mangku 2005.
Perumusan penduga fungsi intensitas suatu proses Poisson yang berbentuk perkalian fungsi periodik dengan tren linear beserta sifat-sifat statistiknya telah
dikaji pada Mangku 2011.
BAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN
PERIODIK
3.1 Perumusan Penduga
