BAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN
PERIODIK
3.1 Perumusan Penduga
Misalkan N adalah proses Poisson non-homogen pada interval dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi intensitas diasumsikan
sebuah fungsi periodik dikalikan tren linear. Dengan kata lain, untuk sembarang titik
, fungsi intensitas dapat dituliskan sebagai
dimana adalah fungsi periodik dengan periode diketahui dan a adalah
kemiringan dari tren linear. Kita tidak mengasumsikan suatu bentuk parametrik dari
kecuali bahwa adalah fungsi periodik. Dalam pembahasan ini dikaji proses Poisson pada interval
, bukan pada , karena bernilai taknegatif. Dengan alasan yang sama pada pembahasan ini dibatasi untuk kasus a 0.
Karena adalah fungsi periodik dengan periode
maka tanpa menghilangkan keumumannya, fungsi intensitas dapat dituliskan sebagai berikut
dimana . Sehingga untuk setiap titik
dan semua dengan adalah himpunan bilangan bulat, diperoleh
Misalkan untuk suatu , hanya ada sebuah realisasi
dari proses Poisson N yang terdefinisi pada suatu ruang peluang , ,P dengan fungsi
intensitas seperti pada 3.2 yang diamati pada interval terbatas .
Diasumsikan bahwa s adalah titik Lebesgue dari yaitu 3cA
`0+
d d
` 6`
e lihat Definisi A.26 pada lampiran dan s juga diasumsikan sebagai titik
Lebesgue dari .
Misalkan f 0 adalah suatu fungsi bernilai real, disebut kernel, jika
memenuhi sifat-sifat berikut:
K.1 K merupakan fungsi kepekatan peluang. K.2 K terbatas.
K.3 K memiliki daerah definisi pada Misalkan pula
adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu
g untuk
0 . Dengan notasi di atas, dapat didefinisikan penduga bagi pada titik
sebagai berikut: h
+ ,
-.+
Ide dibalik penyusunan penduga tipe kernel untuk
dapat dijelaskan seperti berikut: Dari 3.2 masalah pendugaan untuk sebuah titik
dapat direduksi menjadi masalah pendugaan untuk titik
. Karena hanya ada satu realisasi dari proses Poisson N, kita memiliki informasi
mengenai nilai tidak diketahui pada interval
. Untuk itu asumsi 3.3 memegang peranan sangat penting untuk proses penyusunan penduga. Misalkan
iR f U j
k dimana menyatakan banyaknya elemen. Oleh karena itu kita peroleh
lR U
, -.+
lR U
, -.+
m Karena diasumsikan
konvergen ke nol dan s merupakan titik Lebesgue dari juga
, maka ruas kanan persamaan di atas menjadi j
Jn-on`
a
Jn-o6`
a
lR U
, -.+
p q
, -.+
j q
, -.+
j q
, -.+
r dimana I menyatakan fungsi indikator. Oleh karena itu, dari 3.9 dapat ditulis
q
, -.+
yang merupakan suatu penduga untuk . Penduga
dapat ditulis sebagai
l
67 7 +
, -.+
Dengan mengganti fungsi
7 2
l
67 7
pada 3.11 dengan fungsi kernel umum K, maka diperoleh penduga pada 3.6.
3.2 Sifat-sifat Statistik
