j q
, -.+
r dimana I menyatakan fungsi indikator. Oleh karena itu, dari 3.9 dapat ditulis
q
, -.+
yang merupakan suatu penduga untuk . Penduga
dapat ditulis sebagai
l
67 7 +
, -.+
Dengan mengganti fungsi
7 2
l
67 7
pada 3.11 dengan fungsi kernel umum K, maka diperoleh penduga pada 3.6.
3.2 Sifat-sifat Statistik
KL
M N O
P Teorema 3.1 Aproksimasi asimtotik bagi bias penduga
Misalkan fungsi intensitas seperti 3.2, terintegralkan lokal dan mempunyai
turunan kedua
11
yang bernilai terhingga di s. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3, dan
memenuhi asumsi g dan
2
0 , maka ssss
I
2
E
2 7
67
E E t
2
untuk 0 .
Bukti:
Dari persamaan 3.6diperoleh ssss
u
+ ,
-.+
v
w ,
-.+
Dengan penggantian peubah, misalkan: x
x Sehingga 3.13 dapat ditulis
ssss y
x z
w
x vx
x
, -.+
e Karena fungsi intensitas memenuhi 3.2, maka diperoleh
ssss y
x z
w
x x
vx
, -.+
x y
x z
x
w
x vx
x
, -.+
g Dapat diperhatikan bahwa
x vx
, -.+
{ h
untuk 0 , sehingga
ssss yyyy
x zzzz
x
w
{ x
y x
z x
w
x { y z k
untuk 0 . Dengan penggantian peubah, misalkan: E
| `
a
E
}| `
a
, maka ruas kanan 3.17 menjadi
E E
w
E { y z E
E
w
E { y z m
untuk 0 .
Dengan menggunakan formula Young untuk deret Taylor diperoleh E
~ E I
E
2 2
_ t
2
r untuk
0 . Dengan mensubstitusikan 3.19 pada suku pertama ruas kanan persamaan 3.18 diperoleh
E ~ E
I E
2 2
_ t
2 w
E
E E
w
E ~ E
E
w
E I
E
2 2
_ E
w
t
2
E E
7 67
1
E E E
7 67
I
2
_ E
2
E E
7 67
t
2
untuk 0 , karena asumsi K.3.
Karena K adalah simetrik maka D E E E
7 67
. Karena K memenuhi K.1 maka
D E E
7 67
. Akhirnya ruas kanan dapat ditulis
I
2
_ E
2
E E
7 67
t
2
untuk 0 . Dengan asumsi
2
0 , suku kedua pada ruas kanan 3.18 adalah
t
2
Sehingga persamaan di atas menjadi ••••
I
2
_ E
2
E E
7 67
t
2
untuk 0 . Dengan demikian Teorema 3.1 terbukti.
Teorema 3.2 Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga
Misalkan fungsi intensitas seperti 3.2 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3, dan
memenuhi asumsi 3.5, maka €B ;
2
34
2 2
E E
7 67
t y 34
2
z untuk
0 , asalkan s adalah titik Lebesgue dari .
Bukti:
Ragam dari dapat diperoleh sebagai
€B ;
2 2
2
€B •
+ ,
-.+
‚ e
Karena , untuk nilai n yang besar dan ƒ „, interval
dan „
„ tidak overlap sehingga untuk semua
ƒ „ Akibatnya peubah acak ;
…6 Jn-o `
a
dan ;
…6 Jn†o `
a
adalah bebas. Sehingga ruas kanan
e dapat dihitung sebagai berikut
2 2
2 2
2
€B
+ ,
-.+ 2
2 2
2 2
ssss
+ ,
-.+ 2
2 2
2 2
K ‡ v
w ,
-.+
g Dengan penggantian peubah, misalkan:
x x Sehingga
g dapat ditulis
2 2
2 2
2
y x
z
w
x vx
x
, -.+
2 2
2 2
y x
z x
w
x
2
vx x
, -.+
h Perhatikan bahwa
x
2
vx 34
{
, -.+
k untuk
0 . Karena K memenuhi K.3 dan dengan mensubstitusikan k
pada h, maka diperoleh
€B ;
2 2
2 2
y x
z x
7 67
34 {
x
2
34
2 2
2
y x
z x
7 67
x { y
2
z m
Karena s adalah titik Lebesgue dan dengan penggantian peubah, misalkan:
E
| `
a
E
}| `
a
, akhirnya diperoleh €B ;
2
34
2 2
E E
7 67
t y 34
2
z r
untuk 0 . Dengan demikian Teorema 3.2 terbukti.
Teorema 3.3 Aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga
Misalkan fungsi intensitas adalah periodik, terintegralkan lokal, dan
mempunyai turunan kedua
11
yang terbatas di titik s. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3,
memenuhi asumsi 3.5 dan
2
0 , maka ˆ‰s ;
2
34
2 2
E E
7 67
e Š I
E
2
E E
7 67
‹
2 Œ
t y 34
2
z t
Œ
untuk 0 .
Bukti:
Perhatikan bahwa •Žp ;
• • ; y‘’ ;
z
2
lihat Definisi A.22 pada lampiran. Dari Teorema 3.1 dan Teorema 3.2 maka diperoleh
•Žp ;
2
34
2 2
E E
7 67
t y 34
2
z • I
2
E
2 7
67
E E t
2
‚
2
2
34
2 2
E E
7 67
I
2
E
2 7
67
E E
2
t y 34
2
z t
Œ
2
34
2 2
E E
7 67
e I E
2 7
67
E E
2 Œ
t y 34
2
z t
Œ
untuk 0 . Dengan demikian Teorema 3.3 terbukti.
BAB 4 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN
PERIODIK
4.1 Sebaran Asimtotik
