Vektor Kontravarian Vektor Kovarian Invarian Tensor Campuran Tensor Simetri dan Antisimetri

2.2.3 Kaidah Penjumlahan

Dalam menuliskan suatu pernyataan seperti kita dapat mempergunakan notasi singkat atau notasi yang lebih singkat lagi , dimana menyetujui suatu kaidah convention bahwa setiap sebuah indeks indeks atas atau bawah diulangi dalam suatu suku tertentu maka ini berarti kita menjumlahkan terhadap indeks tersebut dari 1 sampai n kecuali bila ada pernyataan lain. Inilah yang disebut kaidah penjumlahan.

2.2.4 Klasifikasi Tensor Berdasarkan Hukum Transformasi

Skalar dan vektor dapat dikatakan sebagai kasus khusus dari tensor. Karena tensor adalah objek geometri yang memerlukan uraian lebih dari satu faktor seperti skalar atau tiga faktor seperti pada vektor. Secara umum tensor termasuk didalamnya skalar dan vektor dibedakan berdasarkan penempatan indeksnya. Namun demikian, tensor juga dapat dibedakan berdasarkan hukum transformasi yang dimilikinya.

2.2.4.1 Vektor Kontravarian

Fungsi dalam sistem koordinat disebut vektor kontravarian jika pada suatu transformasi koordinat , sehingga fungsi akan ditransformasikan menjadi dimana merupakan fungsi dalam sistem koordinat Universitas Sumatera Utara disebut komponen vektor kontravarian atau tensor kontravarian rank satu.

2.2.4.2 Vektor Kovarian

Fungsi dalam sistem koordinat disebut vektor kovarian jika pada suatu transformasi koordinat , sehingga fungsi akan ditransformasikan menjadi dimana merupakan fungsi dalam sistem koordinat disebut komponen vektor kovarian atau tensor kovarian rank satu atau order satu.

2.2.4.3 Invarian

Suatu fungsi disebut invarian jika pada suatu transformasi koordinat , sehingga fungsi akan ditransformasikan menjadi Universitas Sumatera Utara

2.2.4.4 Tensor Campuran

Dalam konsep tensor, suatu tensor campuran adalah tensor yang bukan jenis kovarian kuat maupun kontravarian kuat. Fungsi dalam sistem koordinat disebut tensor campuran yang memiliki komponen kontravarian rank satu dan komponen kovarian rank satu. Jika pada suatu transformasi koordinat , maka fungsi ditransformasikan menjadi dimana merupakan fungsi dalam sistem koordinat . Diperoleh yang menyatakan komponen tensor campuran. Dengan menggunakan defenisi dari tensor campuran di atas akan ditunjukkan bahwa juga merupakan suatu tensor campuran. Sekarang perhatikan persamaan transformasi berikut dimana dan . Jadi diketahui bahwa merupakan tensor campuran dengan kontravarian dan kovarian masing-masing ber-rank satu atau biasa dinamakan dengan delta kronecker. Universitas Sumatera Utara

2.2.4.5 Tensor Simetri dan Antisimetri

Misalkan sebarang tensor kontravarian, berlaku 1. Jika maka disebut simetri terhadap pertukaran indeks dan . 2. Jika maka disebut antisimetri terhadap pertukaran indeks dan . Sekarang perhatikan, jika adalah suatu tensor simetri dan adalah suatu tensor antisimetri, maka . Setiap tensor selalu dapat dinyatakan sebagai penjumlahan tensor simetri dengan tensor antisimetri.

2.2.5 Operasi-Operasi Dasar Tensor