2.2.1 Transformasi Koordinat
Misalkan koordinat-koordinat tegak lurus x, y, z dari sebarang titik dinyatakan sebagai fungsi-fungsi sehingga
Andaikan bahwa bentuk di atas dapat dipecahkan untuk dalam
, yakni
Fungsi-fungsi dalam 2.5 dan 2.6 dianggap tunggal dan memiliki turunan-turunan yang kontiniu sehingga kaitan
dengan adalah tunggal.
Diketahui sebuah titik P dengan koordinat-koordinat tegak lurus maka
dari 2.5 kita dapat mengasosiasikan suatu himpunan koordinat-koordinat yang tunggal yang disebut koordinat-koordinat kurvilinier dari P. Himpunan
persamaan 2.5 dan 2.6 mendefenisikan suatu transformasi koordinat.
x
y z
Gambar 2.8 Kurva-kurva dan garis koordinat
Selanjutnya, akan didefenisikan transformasi koordinat menyangkut sistem koordinat lain dengan dimensi yang lebih tinggi. Untuk itu perlu diketahui terlebih dahulu
mengetahui ruang dengan sebarang dimensi dimana kita akan membahas sifat-sifat transformasi daripada ruang tersebut.
P
kurva kurva
kurva
Universitas Sumatera Utara
Sebuah ruang berdimensi n, dimana n adalah sembarang bilangan bulat positif, adalah merupakan himpunan daripada susunan yang teratur,
dan yang memenuhi sifat-sifat daripada sebuah ruang vektor. Komponen sebuah vektor dalam ruang berdimensi n tersebut akan dinyatakan dengan indeks tertentu.
Suatu kurva di dalam sebuah ruang berdimensi n adalah himpunan dari titik-titik x yang memenuhi n buah persamaan, yaitu
, dimana t adalah parameter dan . Jika
dianggap sebagai subruang dari n N maka
ditunjukkan oleh dimana
menyatakan n buah parameter dan
.
Kemudian diberikan sistem koordinat mencakup ruang tersebut, yaitu yang membentuk sistem koordinat di
. Setiap menyatakan titik pada ruang
. Misalkan ada transformasi dari suatu sistem koordinat ke siatem yang lain maka bentuk perubahan koordinatnya dinyatakan sbb:
. . . . . .
. . .
Dengan demikian, diferensial untuk dapat ditulis sebagai berikut:
. . .
. . .
. . .
Universitas Sumatera Utara
Atau dapat juga disederhanakan menjadi
dimana
2.2.2 Koordinat Kurvalinier
Kategori