Tensor Metrik Tensor Konjugat Differensiasi Tensor

2.2.6 Tensor Metrik

A ⇒ B ⇒ Gambar 2.10 Jarak antara dua titik A dan B ditinjau dalam ruang berdimensi α Pada bagian ini jika A dan B adalah dua titik dalam suatu ruang berdimensi n masing- masing dengan vektor kedudukan dengan titik , maka jarak di antara kedua titik tersebut dinyatakan oleh persamaan 2.25 dimana Susunan besaran-besaran dapat disusun menjadi 2.26 Tensor dinamai tensor metrik untuk ruang tersebut. Ruang dengan metrik , di mana 2.27 dikenal dengan sebutan ruang Riemann. Tensor dapat dianggap sebagai sebuah tensor simetri, karena: Universitas Sumatera Utara Karena Maka Yakni bahwa adalah sebuah tensor simetri. Jika , di mana t adalah sebuah parameter, maka atau Yang menyatakan jarak antara dua titik di dalam ruang Riemann tersebut. Sebuah kurva t dinamai kurva nol null curve, jika di dalam sebuah ruang non-Euklidean maka jarak antara dua titik boleh sama dengan 0, walaupun kedua titik tersebut tidak berimpit. Misalnya dalam teori relativitas khusus, setiap elemen jarak akan dinyatakan oleh persamaan 2.29 2.30 Ruang yang bermetrik diatas, dinamai sebuah ruang Minkowski. Elemen garis atau kuadrat metrik jarak memiliki interval yang diklasifikasikan ke 3 kelompok yang berbeda berdasarkan bentuk kurva dan interval kurva itu sendiri. Universitas Sumatera Utara Jika: Kurva Timelike Kurva Spacelike Kurva null Lampiran A.

2.2.7 Tensor Konjugat

Misalkan merupakan tensor metrik dan dinotasikan sebagai determinan dengan elemen-elemen dari sebagai berikut 2.31 maka adalah kontravarian tensor simetri rank dua yang disebut konjugat atau reciprocal tensor dari .

2.2.8 Differensiasi Tensor

Proses differensiasi tensor adalah suatu generalisasi proses differensial yang biasa dikenal sebagai differensial fungsi. Pada analisis tensor dikenal dua jenis differensiasi yang biasa digunakan, yaitu 1. Differensiasi Kovarian 2. Differensiasi Intrinsik Selanjutnya akan dijabarkan differensiasi kovarian yang terkait dengan pembahasan masalah selanjutnya. Untuk itu maka tinjau persamaan transformasi. Dengan mendifferensiasikan terhadap , maka diperoleh persamaan yang berikut: Universitas Sumatera Utara Kita telah perlihatkan bahwa bukanlah suatu tensor dan untuk membentuk tensor dari turunan parsial tersebut maka didefenisikan simbol-simbol Christoffel berikut: 1. Simbol Christoffel yang pertama, yang biasanya dinyatakan dengan notasi yang didefenisikan menurut persamaan 2.32 2. Simbol Christoffel yang kedua, yang biasanya didefenisikan menurut persamaan dan dinyatakan dengan notasi di mana adalah tensor metrik untuk ruang yang bersangkutan ruang Riemann. Jadi 2.33 Adapun hukum transformasi untuk Simbol Christoffel diatas adalah sebagai berikut: Tinjau suatu geodesik, untuk kedua sistem koordinat dalam ruang Riemann. Sekarang ditentukan hubungan antara dengan disubtitusi , kita peroleh Universitas Sumatera Utara Selanjutnya, persamaan di atas dikalikan dengan dan dijumlahkan harga yang sama, Hasil di atas dibandingkan dengan bentuk geodesiknya, tampak bahwa Ini merupakan hukum transformasi untuk . bukan merupakan komponen tensor, sehingga memungkinkan harga bernilai nol pada suatu sistem koordinat tapi bukan pada semua sistem koordinat.

2.2.9 Geodesik