49
BAB III ANALISIS FRAKTAL
Analisis Fraktal dilakukan dengan menggunakan teori Regresi Linear dan Dimensi Fraktal. Langkah awal dari analisis fraktal adalah menentukan dimensi
fraktal dari suatu bangun fraktal. Pada bab ini dibahas dua metode untuk menentukan dimensi fraktal yaitu metode dimensi Hausdorff dan metode dimensi
Kotak. Persamaan garis regresi diperlukan untuk menentukan dimensi fraktal dengan metode dimensi Kotak. Gradien dari persamaan garis regresi inilah yang
menjadi dimensi fraktalnya. Untuk membantu menentukan dimensi fraktal dari citra digital, pada penelitian ini digunakan program yang dibuat dalam MATLAB.
A. Regresi Linear
Penelitian yang melibatkan data statistik ada kalanya membutuhkan untuk diketahuinya hubungan antar variabel. Misalkan variabel
dan variabel , akan diselidiki apakah variabel
yang diperoleh dari penelitian mempunyai hubungan dengan variabel
. Hubungan yang dimaksud adalah seberapa besar pengaruh variabel
terhadap variabel . Pada kasus ini variabel disebut sebagai variabel bebas, dan variabel
adalah variabel terikat. Variabel hasil penelitian yaitu
dan jika direpresentasikan sebagai sebuah titik kemudian digambarkan dalam bidang kartesius akan membentuk suatu pola.
Pola titik-titik yang menyerupai garis lurus atau dengan kata lain mempunyai hubungan linear, disebut dengan Regresi Linear. Regresi Linear membantu
mencari nilai prediksi bagi , sehingga dengan hanya mengetahui nilai akan
dapat diprediksi besar nilai .
Definisi 3.1.1 Walpole, et. al., 2012:396
Persamaan Garis Regresi ditentukan oleh : ̂
dengan dan
adalah koefisien regresi, dan
ditentukan oleh ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ̅
̅ ∑
̅ ∑
∑
̅ ̅
Dengan : banyaknya pengamatan
: nilai variabel pengamatan ke-
: nilai variabel pengamatan ke- ̅ : rata-rata
̅ : rata-rata Sebuah pengamatan tak lepas dari adanya nilai error atau galat. Nilai error
yang dibandingkan dengan data sampel disebut dengan nilai residual. Definisi 3.1.2 memberikan arti bagi nilai residual yang ditentukan oleh nilai
pengamatan dikurangi dengan nilai prediksi. Pada pembahasan berikutnya terutama dalam menentukan dimensi dengan metode Dimensi Kotak
diperlukan sebuah data. Nilai residual memberikan arti seberapa akuratnya prediksi suatu variabel terikat terhadap variabel bebas.
Definisi 3.1.2 Walpole, et. al., 2012:395
Diberikan himpunan data regresi dan persamaan
garis regresi ̂
residual ke- didefinisikan dengan
̂ dan ̂
.
Contoh 3.1.1
Misalkan diberikan data seperti pada tabel 3.1 berikut ini :
Tabel 3.1 Contoh data hasil penelitian
2 5
5 6
8 8
12 15
15 16
Berdasarkan penghitungan diperoleh bahwa persamaan garis regresi dari data 3.1 adalah
̂ . Nilai residual untuk prediksi nilai disajikan pada tabel 3.2 berikut ini :
Tabel 3.2 Nilai residual dari contoh data hasil penelitian
̂ 2
5 3,9048
1,0952 5
6 6,7620
-0,7620 8
8 9,6192
-1,6192 12
15 13,4288
1,5712 15
16 16,2860
-0,2860
B. Dimensi Fraktal
Kategori