D. Sistem Fungsi Iterasi
Konstruksi bangun fraktal tidak cukup dilakukan hanya dengan satu fungsi. Pembentukan konstruksi bangun fraktal membutuhkan banyak
fungsi. Kumpulan fungsi-fungsi yang membentuk suatu bangun fraktal inilah yang disebut dengan Iterated Function System IFS atau Sistem Fungsi
Iterasi. Sistem Fungsi Iterasi atau disingkat SFI terdiri dari himpunan berhingga pemetaan-pemetaan kontraksi. Berikut ini pada definisi 2.4.1
didefinisikan terlebih dahulu tentang invarian titik tetap. Suatu titik dalam ruang metrik yang jika ditransformasikan menghasilkan titik itu sendiri
disebut titik tetap. Selanjutnya pada definisi 2.4.2 menjelaskan tentang pemetaan kontraksi secara umum. Pemetaan kontraksi inilah yang akan
membentuk Sistem Fungsi Iterasi.
Definisi 2.4.1 Barnsley, 1988:73
Misalkan merupakan transformasi pada ruang metrik. Titik
sedemikian sehingga disebut titik tetap.
Contoh 2.4.1
Diketahui suatu pemetaan dengan dan
. Carilah titik tetap
. Jawab :
Misalkan titik tetap dari adalah
maka berlaku .
Selanjutnya diperoleh bahwa yang berarti bahwa
. Sehingga, PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
titik tetap adalah
dan .
Definisi 2.4.2 Barnsley, 1988:75
Transformasi pada ruang metrik disebut kontraktif atau
pemetaan kontraktif jika terdapat sedemikian sehingga
Sebarang bilangan disebut faktor kontraksi
.
Contoh 2.4.1
Misalkan transformasi pada ruang metrik , dengan
adalah metrik Euclid. Pemetaan didefinisikan oleh
, tunjukkanlah bahwa
pemetaan kontraktif. Bukti :
Untuk menunjukkan bahwa adalah pemetaan kontraktif maka perlu
ditunjukkan dengan .
Ambil sebarang titik pada misalkan titik dan . Metrik adalah metrik
Euclid maka PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dengan terbukti
bahwa sehingga,
adalah pemetaan kontraktif.
Berikut ini adalah suatu teorema yang menunjukkan hubungan antara pemetaaan kontraksi dengan titik tetap.
Teorema 2.4.1 Barnsley, 1988:76
Misalkan pemetaan kontraksi pada ruang metrik lengkap .
Maka memiliki tepat satu titik tetap
dan bahkan untuk sebarang titik , barisan
konvergen ke . Atau berlaku
Bukti : Diberikan barisan
dengan dengan dan
. Berdasarkan ketidaksamaan segitiga berlaku adalah pemetaan kontraktif, maka untuk berlaku
Diperoleh PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Maka untuk diperoleh
Untuk setiap dipilih sedemikian sehingga
. Untuk
, diperoleh , sehingga
merupakan barisan Cauchy. Karena lengkap
barisan Cauchy mempunyai titik limit
. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa
adalah titik tetap .
Akan dibuktikan juga bahwa titik tetap adalah tunggal. Misalkan ada titik
tetap lain yaitu dengan
. Karena dan
adalah titik tetap maka dan
.
Diperoleh bahwa , karena dan
maka yang berarti bahwaa
. Terjadi kontradiksi dengan asumsi bahwa
sehingga titik tetap adalah tunggal.
Berikut ini adalah Lemma 2.4.1 yang menyatakan hubungan antara pemetaan kontraksi dengan kekontinuan dari suatu fungsi. Jika
adalah suatu pemetaan kontraksi pada ruang metrik maka
kontinu. Kekontinuan dari suatu fungsi pada ruang metrik
, juga mengakibatkan fungsi yang akan memetakan
kedirinya sendiri. Lemma 2.4.2 menunjukkan hal tersebut. Pada definisi 2.4.2 telah didefinisikan suatu pemetaan kontraksi
pada . Pada Lemma 2.4.3 menunjukkan pemetaan kontraksi pada
sebagai akibat dari Lemma 2.4.1 dan Lemma 2.4.2.
Lemma 2.4.1 Barnsley, 1988:80
Misalkan adalah pemetaan kontraksi pada ruang metrik .
Maka kontinu.
Bukti : Diberikan
misalkan adalah fraktor kontraksi . Terdapat sedemikian sehingga
Dipilih maka diperoleh
.
Lemma 2.4.2 Barnsley, 1988:80
Misalkan adalah pemetaan kontinu pada ruang metrik ,
maka memetakan ke dirinya sendiri.
Bukti : Misalkan
adalah himpunan bagian tak kosong dari yang kompak. Maka tidak kosong. Akan ditunjukkan bahwa kompak.
Misalkan adalah barisan tak hingga di
. Maka juga
barisan tak hingga di . Karena kompak maka tedapat subbarisan {
} yang konvergen ke titik
Tetapi karena kontinu maka { } adalah subbarisan
yang konvergen ke .
Sehingga kompak.
Lemma 2.4.3 Barnsley, 1988:80
Misalkan adalah pemetaan kontraksi pada ruang metrik
dengan faktor kontraksi . Maka yang didefinisikan
dengan adalah pemetaan kontraksi pada
dengan faktor kontraksi . Bukti :
Berdasarkan Lemma 2.4.1 kontinu dan berdasarkan Lema 2.4.2
memetakan ke dirinya sendiri. Misalkan maka.
{ { } }
Dengan cara yang sama diperoleh akibatnya
Definisi 2.4.3 Barnsley, 1988:82
Sistem Fungsi Iterasi terdiri atas ruang metrik lengkap dengan
himpunan berhingga pemetaan kontraksi yang masing-masing
faktor kontraksinya adalah dengan
. Sistem Fungsi Iterasi atau disingkat SFI dinotasikan dengan
dan faktor kontraksinya
. Untuk mengkonstruksi bangun fraktal ada dua algoritma yang digunakan.
Kedua algoritma untuk mengkonstruksi bangun fraktal yaitu Random Iteration Algorithm Algoritma Random Iterasi dan Deterministic Algorithm
Algoritma Deterministik. Kedua algoritma ini tidak dibahas secara mendalam karena penelitian ini bukan membentukmengkonstruksi bangun
fraktal, namun menganalisis bangun fraktal yang sudah ada. Untuk menunjukkan perbedaan keduanya berikut ini disajikan gambar 2.3 sebagai
ilustrasi dari dua algoritma tersebut.
Gambar 2.3 a Ilustrasi algoritma Deterministik untuk Segitiga Sierpinski
Gambar 2.3 b Ilustrasi algoritma Random Iterasi untuk Segitiga
Sierpinski
Sumber : Crownover, 1995 Sumber : Crownover, 1995
Contoh 2.4.2
Untuk mengkonstruksi bangun fraktal Segitiga Sierpinski seperti pada gambar 2.3 dibutuhkan Sistem Fungsi Iterasi seperti berikut ini.
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Sehingga, SFI untuk Segitiga Sierpinski gambar 2.3 adalah dengan fraktor kontraksi .
Contoh 2.4.3
Untuk mengkonstruksi bangun fraktal Kurva Koch seperti pada gambar 1.1 b dibutuhkan Sistem Fungsi Iterasi seperti berikut ini.
[ ]
[ ]
[ ]
Sehingga, SFI untuk Kurva Koch pada gambar 1.1 b adalah dengan fraktor kontraksi .
49
BAB III ANALISIS FRAKTAL
Analisis Fraktal dilakukan dengan menggunakan teori Regresi Linear dan Dimensi Fraktal. Langkah awal dari analisis fraktal adalah menentukan dimensi
fraktal dari suatu bangun fraktal. Pada bab ini dibahas dua metode untuk menentukan dimensi fraktal yaitu metode dimensi Hausdorff dan metode dimensi
Kotak. Persamaan garis regresi diperlukan untuk menentukan dimensi fraktal dengan metode dimensi Kotak. Gradien dari persamaan garis regresi inilah yang
menjadi dimensi fraktalnya. Untuk membantu menentukan dimensi fraktal dari citra digital, pada penelitian ini digunakan program yang dibuat dalam MATLAB.
A. Regresi Linear
Penelitian yang melibatkan data statistik ada kalanya membutuhkan untuk diketahuinya hubungan antar variabel. Misalkan variabel
dan variabel , akan diselidiki apakah variabel
yang diperoleh dari penelitian mempunyai hubungan dengan variabel
. Hubungan yang dimaksud adalah seberapa besar pengaruh variabel
terhadap variabel . Pada kasus ini variabel disebut sebagai variabel bebas, dan variabel
adalah variabel terikat. Variabel hasil penelitian yaitu
dan jika direpresentasikan sebagai sebuah titik kemudian digambarkan dalam bidang kartesius akan membentuk suatu pola.
Pola titik-titik yang menyerupai garis lurus atau dengan kata lain mempunyai hubungan linear, disebut dengan Regresi Linear. Regresi Linear membantu
Kategori