Infimum dari tidak akan melebihi anggotanya maka
∑| |
∑
dengan mengambil limit untuk maka
Sehingga diperoleh ∑
Jadi, , dengan demikian
.
c. Dimensi Fraktal dari Beberapa Bangun Fraktal
Berikut ini akan dibahas cara menentukan dimensi Fraktal dari beberapa bangun Fraktal. Dimensi Fraktal secara khusus dicari dengan
metode Dimensi Kotak, hal ini karena metode dimensi kotak dinilai lebih mudah diterapkan.
1. Himpunan Cantor
Himpunan Cantor merupakan himpunan dalam selang tertutup , Himpunan Cantor dapat dilihat pada gambar 3.1 berikut ini :
� �
� �
�
Sumber : Edgar, 2008
Gambar 3.1 Himpunan Cantor
Himpunan Cantor diperoleh dengan cara membagi garis dengan panjang
menjadi bagian kemudian menghilangkan bagiannya.
Langkah ini diulangi secara terus-menerus dengan menghilangkan bagian dari langkah sebelumnya sehingga dihasilkan seperti pada
gambar 3.1. Himpunan Cantor
pada iterasi ke- diperoleh garis-
garis yang saling asing sebanyak dengan panjang
. Oleh karena itu
dengan . Misalkan
maka sehingga
Diperoleh dim
Selanjutnya misalkan maka
sehingga PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Diperoleh dim
Karena dim
dim maka
dim dim
, yang berarti bahwa dim
.
2. Segitiga Sierpinski
Segitiga Sierpinski diperoleh dengan cara melubangi suatu segitiga dengan segitiga baru yang berukuran setengah dari masing-
masing sisinya. Langkah ini diulangi secara terus-menerus sampai takhingga. Segitiga Sierpinski dapat dilihat pada gambar 3.2 berikut
ini :
Gambar 3.2 Segitiga Sierpinski
Sumber : Falconer, 2003
Pada gambar 3.2 segitiga dilubangi dengan segitiga baru yang titik
sudutnya adalah titik tengah masing-masing sisi segitiga sehingga
diperoleh segitiga . Cara yang sama dilakukan secara berulang-
ulang maka akan diperoleh segitiga .
Segitiga Sierpinski , untuk iterasi ke-
akan terdapat segitiga sebanyak
dengan panjang sisi . Oleh karena itu
dan . Selanjutnya akan dicari dimensi Kotak bawah dan
dimensi Kotak atas dari . Misalkan
maka sehingga
Diperoleh dim
Selanjutnya misalkan maka
sehingga PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Diperoleh dim
Karena dim
dim maka
dim dim
, yang berarti bahwa dim
.
3. Kurva Von Koch
Kurva Von Koch atau dikenal juga dengan nama Snowflake Koch adalah bangun Fraktal yang diperoleh dengan cara membagi suatu
garis menjadi tiga bagian sama panjang dan membentuk segitiga sama sisi dibagian tengahnya. Kurva Von Koch dapat dilihat pada gambar
3.3 berikut ini.
Gambar 3.3 Kurva Von Koch
Sumber : Falconer, 2003
Pada gambar 3.3 jika garis dibagi tiga sama panjang dan dibentuk
segitiga sama sisi ditengahnya akan terbentuk seperti pada .
Demikian juga dengan cara yang sama diperoleh dengan membagi
tiga sama panjang setiap sisinya dan membentuk segitiga sama sisi di tengahnya. Jika langkah ini dilakukan secara terus-menerus akan
diperoleh seperti pada .
Pada iterasi pertama diperoleh ruas garis sebanyak dengan
panjang . Iterasi ke-
menghasilkan ruas garis sebanyak 16 dengan panjang
. Secara umum untuk iterasi ke- akan diperoleh ruas garis
sebanyak dengan panjangnya adalah
. Oleh karena itu untuk iterasi ke-
diperoleh dengan
. Selanjutnya akan dicari dimensi Kotak bawah dan dimensi Kotak atas dari
. Misalkan maka
sehingga PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Diperoleh dim
Selanjutnya misalkan maka
sehingga
Diperoleh dim
Karena dim
dim maka
dim dim
, yang berarti bahwa dim
.
4. Karpet Sierpinski
