Dimensi Hausdorf-Besicovitch Dimensi Kotak

B. Dimensi Fraktal

Dimensi adalah suatu ukuran dari suatu objek. Bangun Fraktal adalah bangun geometri yang memiliki dimensi tak harus bulat atau biasa dikatakan dengan dimensi fraktal. Semakin besar dimensi fraktalnya menunjukkan semakin besar pula tingkat kepadatannya. Sebaliknya, semakin kecil dimensinya menunjukkan semakin kecil tingkat kepadatannya. Ada beberapa cara untuk menentukan dimensi Fraktal dari bangun Fraktal. Pada pembahasan ini akan dibahas dua metode yaitu Dimensi Hausdorff-Besicovitch dan Dimensi Kotak.

a. Dimensi Hausdorf-Besicovitch

Dimensi Hausdorff-Besicovitch dari himpunan bagian terbatas dari adalah bilangan real yang dapat digunakan untuk mengkarakteristikkan komplektisitas geometri dari himpunan bagian terbatas di Barnsley, 1988:200. Sebelum membahas tentang dimensi Hausdorff pada definisi 3.2.1 didefinisikan terlebih dahulu tentang selimut. Definisi 3.2.1 Falconer, 2003:27 Misalkan adalah ruang metrik dengan adalah metrik Euclid . Jika adalah koleksi berhingga dari himpunan-himpunan yang menyelimuti yaitu dengan | | untuk setiap dengan | | | | , maka disebut selimut- dari . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Definisi 3.2.2 Falconer, 2003:27 Misalkan adalah himpunan bagian dan . Untuk sebarang didefinisikan {∑| | adalah selimut dari } Dari definisi 3.2.2 dengan mengambil limit untuk diperoleh definisi 3.2.3 yaitu tentang ukuran Hausdorff. Definisi 3.2.3 Falconer, 2003:27 Misalkan himpunan bagian dari dan ukuran Hausdorff dimensi- s dari didefinisikan sebagai Berikut ini pada teorema 3.2.1 menjelaskan hubungan antara pemetaan kontraksi dengan ukuran Hausdorff. Teorema 3.2.1 Murwani, 2006:50 Jika merupakan pemetaan kontraksi maka untuk , berlaku . Bukti : Ambil sebarang , misalkan adalah selimut- dari dan adalah selimut- dari diperoleh | | | | | | | | PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI | | | | Diperoleh bahwa | | | | sehingga ∑| | ∑ | | {∑| | } {∑ | | } {∑| | } {∑| | } Dengan mengambil limit kedua ruas untuk diperoleh . Berikut ini pada definisi 3.2.4 didefinisikan dimensi Hausdorff. Dimensi Hausdorff merupakan suatu konstanta real yang tak negatif. Suatu bilangan real tak negatif disebut dimensi Hausdorff dari jika memenuhi . Definisi 3.2.4 Falconer, 2003:31 Misalkan dimensi Hausdorff-Besicovitch dari yaitu didefinisikan sebagai jika ika

b. Dimensi Kotak

Dimensi Kotak merupakan salah satu metode dalam menentukan dimensi Fraktal. Gagasan mendasar dari metode dimensi Kotak ini adalah pengukuran pada skala . Objek yang akan dicari dimensinya dibagi-bagi dalam kotak-kotak persegi grid berukuran sebagai selimut dari objek, kemudian dihitung banyaknya kotak yang memuat objek tersebut. Selanjutnya dilihat perilaku pengukuran untuk . Sebagai contoh, misalkan adalah kurva pada bidang datar, maka adalah banyaknya kotak yang menyelimuti . Dimensi ditentukan oleh power law yang dipenuhi oleh untuk Falconer, 2003:39. Jika Untuk konstantan dan , dikatakan mempunyai dimensi pembagi dengan dianggap sebagai panjang dimensi-s dari . Dengan mengambil logaritma diperoleh hal Ini berarti bahwa selisih antara kedua ruas mendekati dan berlaku karena maka diperoleh Berikut ini pada definisi 3.2.5 didefinisikan dimensi kotak atas yang diperoleh dari nilai supremum dan dimensi kotak bawah yang diperoleh dari nilai infimum. Jika nilai keduanya sama maka nilai itulah yang akan menjadi dimensi fraktalnya. Definisi 3.2.5 Falconer, 2003:41 Misalkan adalah himpunan terbatas dengan dan adalah minimum banyaknya himpunan dengan diameter yang dapat menyelimuti . Dimensi kotak bawah dan dimensi kotak atas dari didefinisikan sebagai Jika maka nilai yang sama tersebut disebut sebagai dimensi kotak Untuk melihat hubungan antara dimensi Hausdorff dan dimensi kotak, berikut ini disajikan dua teorema yang menunjukkan hubungan keduanya. Teorema 3.2.4 secara umum menunjukkan bahwa dimensi hausdorff kurang dari atau sama dengan dimensi kotak bawah. Sedangkan, pada teorema 3.2.5 menunjukkan bahwa dalam kasus tertentu dimensi hausdorff akan sama dengan dimensi kotak. Teorema 3.2.4 Murwani, 2006:60 Untuk setiap , berlaku Bukti : Jika , maka jelas bahwa . Misalkan akan ditunjukkan bahwa . Karena maka berdasarkan definisi 3.2.4 . Jika dapat diselimuti oleh dengan himpunan berdiameter , maka menurut definisi 3.2.2 berlaku . Dengan diambil yang cukup kecil maka diperoleh dengan mengambil limit untuk diperoleh terbukti bahwa Teorema 3.2.5 Murwani, 2006:61 Misalkan dengan adalah pemetaan kontraksi dengan konstanta kontraksi . Jika adalah titik tetap dari pemetaan , maka dengan memenuhi ∑ . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Bukti : Ambil sedemikian sehingga saling asing. Jika adalah jumlah minimum kotak- kotak grid yang dapat memuat , maka . Karena merupakan pemetaan kontraksi dengan konstanta , maka Dari persamaan di atas, maka dan memenuhi ∑ . Selanjutnyaakan dibuktikan bahwa . Misalkan adalah selimut- dari dan adalah selimut- dari . Dengan Teorema 3.2.1 maka ∑ ∑ Karena ∑ , maka ∑ ∑ barisan merupakan selimut- dari , maka | | | | ∑| | ∑ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Infimum dari tidak akan melebihi anggotanya maka ∑| | ∑ dengan mengambil limit untuk maka Sehingga diperoleh ∑ Jadi, , dengan demikian .

c. Dimensi Fraktal dari Beberapa Bangun Fraktal