B. Dimensi Fraktal
Dimensi adalah suatu ukuran dari suatu objek. Bangun Fraktal adalah bangun geometri yang memiliki dimensi tak harus bulat atau biasa dikatakan
dengan dimensi fraktal. Semakin besar dimensi fraktalnya menunjukkan semakin besar pula tingkat kepadatannya. Sebaliknya, semakin kecil
dimensinya menunjukkan semakin kecil tingkat kepadatannya. Ada beberapa cara untuk menentukan dimensi Fraktal dari bangun Fraktal. Pada pembahasan
ini akan dibahas dua metode yaitu Dimensi Hausdorff-Besicovitch dan Dimensi Kotak.
a. Dimensi Hausdorf-Besicovitch
Dimensi Hausdorff-Besicovitch dari himpunan bagian terbatas dari adalah bilangan real yang dapat digunakan untuk mengkarakteristikkan
komplektisitas geometri dari himpunan bagian terbatas di Barnsley,
1988:200. Sebelum membahas tentang dimensi Hausdorff pada definisi 3.2.1 didefinisikan terlebih dahulu tentang selimut.
Definisi 3.2.1 Falconer, 2003:27
Misalkan adalah ruang metrik dengan adalah metrik Euclid
. Jika adalah koleksi berhingga dari himpunan-himpunan yang
menyelimuti yaitu
dengan |
| untuk setiap dengan
| | | | , maka
disebut selimut- dari
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Definisi 3.2.2 Falconer, 2003:27
Misalkan adalah himpunan bagian
dan . Untuk sebarang
didefinisikan {∑|
| adalah selimut dari }
Dari definisi 3.2.2 dengan mengambil limit untuk diperoleh
definisi 3.2.3 yaitu tentang ukuran Hausdorff.
Definisi 3.2.3 Falconer, 2003:27
Misalkan himpunan bagian dari
dan ukuran Hausdorff dimensi-
s dari didefinisikan sebagai
Berikut ini pada teorema 3.2.1 menjelaskan hubungan antara pemetaan kontraksi dengan ukuran Hausdorff.
Teorema 3.2.1 Murwani, 2006:50
Jika merupakan pemetaan kontraksi maka untuk
, berlaku
. Bukti :
Ambil sebarang , misalkan
adalah selimut- dari dan
adalah selimut- dari diperoleh
| | |
| | |
| | PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
| | |
| Diperoleh bahwa
| | |
| sehingga
∑| |
∑ |
|
{∑| |
} {∑ |
| }
{∑| |
} {∑|
| }
Dengan mengambil limit kedua ruas untuk diperoleh
.
Berikut ini pada definisi 3.2.4 didefinisikan dimensi Hausdorff. Dimensi Hausdorff merupakan suatu konstanta real yang tak negatif. Suatu
bilangan real tak negatif disebut dimensi Hausdorff dari jika memenuhi
.
Definisi 3.2.4 Falconer, 2003:31
Misalkan dimensi Hausdorff-Besicovitch dari
yaitu didefinisikan sebagai
jika ika
b. Dimensi Kotak
Dimensi Kotak merupakan salah satu metode dalam menentukan dimensi Fraktal. Gagasan mendasar dari metode dimensi Kotak ini adalah
pengukuran pada skala . Objek yang akan dicari dimensinya dibagi-bagi
dalam kotak-kotak persegi grid berukuran sebagai selimut dari objek,
kemudian dihitung banyaknya kotak yang memuat objek tersebut. Selanjutnya dilihat perilaku pengukuran untuk
. Sebagai contoh, misalkan
adalah kurva pada bidang datar, maka adalah banyaknya
kotak yang menyelimuti . Dimensi ditentukan oleh power law yang
dipenuhi oleh untuk Falconer, 2003:39. Jika
Untuk konstantan dan , dikatakan mempunyai dimensi pembagi
dengan dianggap sebagai panjang dimensi-s dari . Dengan mengambil
logaritma diperoleh
hal Ini berarti bahwa selisih antara kedua ruas mendekati dan berlaku
karena maka diperoleh
Berikut ini pada definisi 3.2.5 didefinisikan dimensi kotak atas yang diperoleh dari nilai supremum dan dimensi kotak bawah yang diperoleh dari
nilai infimum. Jika nilai keduanya sama maka nilai itulah yang akan menjadi dimensi fraktalnya.
Definisi 3.2.5 Falconer, 2003:41
Misalkan adalah himpunan terbatas dengan
dan adalah
minimum banyaknya himpunan dengan diameter yang dapat menyelimuti
. Dimensi kotak bawah dan dimensi kotak atas dari didefinisikan sebagai
Jika maka nilai yang sama tersebut disebut sebagai
dimensi kotak
Untuk melihat hubungan antara dimensi Hausdorff dan dimensi kotak, berikut ini disajikan dua teorema yang menunjukkan hubungan keduanya.
Teorema 3.2.4 secara umum menunjukkan bahwa dimensi hausdorff kurang dari atau sama dengan dimensi kotak bawah. Sedangkan, pada teorema 3.2.5
menunjukkan bahwa dalam kasus tertentu dimensi hausdorff akan sama dengan dimensi kotak.
Teorema 3.2.4 Murwani, 2006:60
Untuk setiap , berlaku
Bukti : Jika
, maka jelas bahwa . Misalkan
akan ditunjukkan bahwa . Karena
maka berdasarkan definisi 3.2.4
. Jika dapat diselimuti oleh
dengan himpunan berdiameter , maka menurut definisi 3.2.2 berlaku
. Dengan diambil yang
cukup kecil maka diperoleh
dengan mengambil limit untuk diperoleh
terbukti bahwa
Teorema 3.2.5 Murwani, 2006:61
Misalkan dengan
adalah pemetaan kontraksi dengan konstanta kontraksi
. Jika adalah titik tetap dari
pemetaan , maka
dengan memenuhi ∑
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Bukti : Ambil
sedemikian sehingga saling asing. Jika
adalah jumlah minimum kotak- kotak grid yang dapat memuat
, maka . Karena
merupakan pemetaan kontraksi dengan konstanta
, maka
Dari persamaan di atas, maka dan memenuhi ∑
. Selanjutnyaakan dibuktikan bahwa
. Misalkan adalah
selimut- dari dan
adalah selimut- dari
. Dengan Teorema 3.2.1 maka
∑ ∑
Karena ∑
, maka ∑
∑
barisan merupakan selimut-
dari , maka
| |
| |
∑| |
∑ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Infimum dari tidak akan melebihi anggotanya maka
∑| |
∑
dengan mengambil limit untuk maka
Sehingga diperoleh ∑
Jadi, , dengan demikian
.
c. Dimensi Fraktal dari Beberapa Bangun Fraktal