memenuhi . Misalkan
maka himpunan bagian terbuka dari yang memuat
. Selanjutnya dibuktikan bahwa
. Jika maka untuk
suatu dalam dan
. Akibatnya maka kontradiksi dengan
sehingga tidak ada titik di yang dapat menjadi titik limit di
. Akibatnya semua titik di
titik limit , sehingga tertutup. Selanjutnya akan dibuktikan
terbatas. Jika tidak terbatas maka terdapat
dan di sedemikian sehingga untuk sebarang bilangan positif , . Mengingat kembali untuk titik pusat bola buka di , untuk
jelas bahwa . Karena
kompak maka terdapat sedemikian sehingga
. Misalkan {
}. Terdapat dan di sedemikian sehingga . Karena
maka terdapat dan
sedemikian sehingga dan
. Menurut ketaksamaan segitiga diperoleh . Kontradiksi dengan , sehingga
terbatas.
B. Ruang Fraktal
Pembahasan sebelumnya mempelajari ruang metrik dengan himpunan- himpunan di
yang dilengkapi dengan metrik , dan dengan beberapa
aturan menjadi ruang metrik kompak. Pada pembahasan kali ini akan dibahas PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
gabungan dari himpunan-himpunan kompak yang membentuk suatu ruang. Ruang tersebut dilengkapi dengan metrik yang dinamakan metrikjarak
Hausdorff. Ruang yang terbentuk dengan gabungan himpunan-himpunan kompak yang dilengkapi dengan metrik Hausdorff tersebut dinamakan ruang
Fraktal. Pada definisi 2.2.1 berikut ini didefinisikan yang merupakan
ruang yang titik-titiknya elemen-elemennya merupakan himpunan bagian tak kosong yang kompak.
Pada definisi 2.1.1 telah didefinisikan sebagai metrik pada . Pada
ruang fraktal himpunan yang dipakai bukan lagi tetapi yang telah
disinggung sebelumnya. Konsep jarakmetrik pada berbeda dengan jarak
pada . Definisi 2.2.2, 2.2.3, dan 2.2.4 mendefinisikan tentang pengertian jarak
pada . Dari definisi-definisi jarak pada ini, diturunkanlah suatu
teorema yang menyatakan adalah suatu metrik pada . Sehingga, jika
dalam ada sebagai metrik maka di dalam ada sebagai metriknya.
Definisi 2.2.1 Barnsley, 1988:30
Misalkan adalah ruang metrik lengkap. Kemudian didefinisikan
sebagai ruang yang titik-titiknya adalah himpunan bagian yang kompak dari yang tak kosong.
Definisi 2.2.2 Barnsley, 1988:30
Diberikan ruang metrik lengkap , dan didefinisikan
kemudian disebut jarak dari titik ke himpunan
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Definisi 2.2.3 Barnsley, 1988:31
Diberikan ruang metrik lengkap dan didefinisikan
. adalah jarak dari himpunan ke himpunan
.
Contoh 2.2.1
Tentukan jika adalah dengan jarak Euclides,
dan
Penyelesaian : Infimum dari
dicapai ketika yaitu . Jadi
.
Contoh 2.2.2
Diketahui ruang metrik lengkap. Buktikan bahwa jika
maka Bukti :
Definisi 2.2.4 Barnsley, 1988:34
Diberikan ruang metrik lengkap . Jarak Hausdorff antara titik dan di
didefinisikan oleh PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Teorema 2.2.1 Edgar, 2008:72
Diberikan ruang metrik . Fungsi Hausdorff adalah metrik pada .
Bukti : metrik jika memenuhi aksioma-aksioma pada definisi 2.1.1. Maka akan
dibuktikan memenuhi aksioma-aksioma tersebut.
Untuk maka terdapat sehingga dan . Jadi jelas bahwa . maka . Karena
dan maka
Akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa Ambil sebarang
maka
Jadi dengan cara yang sama akan diperoleh
juga bahwa Selanjutnya akan dibuktikan
Berdasar dan terbukti bahwa metrik di .
Himpunan yang dilengkapi dengan metrik atau dinotasikan
dengan ini disebut sebagai ruang fraktal.
C. Transformasi
