+
− =
∑ ∑
= =
1
1 1
n j
i j
ij n
j j
ij i
C
p x
d x
a b
x
i
µ
∑ ∑
∑ ∑
= =
= =
+ +
≥ +
+ ≤
n j
i j
ij ij
i n
j n
j i
j ij
ij i
j ij
n j
j ij
i
p x
d a
ifb p
x d
a b
x a
if x
a ifb
1 1
1 1
,
2.7
Dengan menggunakan metode defuzzifikasi sebagai permasalahan dari persamaan 2.8, persamaan 2.1 direduksi ke persoalan crisp sehingga :
Max λ
λ z
2
– z
1
∑
= n
1 j
j j
x c
- + z
1
∑
=
+
n 1
j
dij aij
λ ≤ 0
xj + λpi – bi
≤ 0, 2.8 , 1
≤ i ≤ m x
≥ 0, ≤ λ ≤ 1
Dengan catatan bahwa, persamaan 2.8 juga persoalan non convex programming.
3.3 Metode modifikasi subgradient
Metode modifikasi subgradient dikembangkan oleh Gasimov yang mana dapat menyelesaikan pemecahan kelompok nonconvex dan nonsmooth pada persoalan
optimisasi. Metode ini berdasarkan pada konstruksi permasalahan dual dengan menggunakan fungsi lagrangian.
Andaikan X topologikal linier, S
⊂
X, Y suatu bentuk real dan Y adalah dual. Anggap masalah program matematika primal didefinisikan sebagai berikut :
Inf P = Inf fx xeS
dengan kendala g x = 0 Dimana f adalah nilai fungsi real yang didefinisikan di S dan g adalah pemetaan dari S
ke Y. untuk setiap x ∈ X dan y ∈ Y andaikan :
Φ x,y = fx, jika x ∈ S dan g x = y 3.1
+
∞
, untuk yang lainnya
Universitas Sumatera Utara
didefinisikan lagrange function dengan persoalan p menjadi L x,
µ , c = inf {Φ x,y + II y II – y, µ } y
∈Y untuk x
∈ X, µ ∈ Y dan c ≥0. Dengan menggunakan persamaan 3.1diperoleh :
L x, µ , c = fx + c II g x II – g x, µ
3.2 Dimana x
∈ S, µ ∈ Y dan c ≥ 0
Ini mudah untuk ditunjukkan bahwa: Inf P = Inf sup L x,
µ ,c xeS
µ ,c
ℜ
, ∈ Y x
+
fungsi dual H didefinisikan : H
µ ,c = inf Lx, µ ,c 3.3 x
∈
S Untuk u
∈ Y dan c ≥ 0, maka persoalan dual p diperoleh :
P sup P = sup H
µ ,c µ ,c ∈ Y x
ℜ
+
Elemen , µ ,c ∈ Y x Rt dengan H µ ,c = Sup P adalah solusi P
Teorema 1. Andaikan P diketahui f dan g kontinu, S adalah solusi yang mudah. Maka Inf P= Sup P dan terdapat solusi di P. Fungsi H di P konkav dan terbatas
di Y x
ℜ
+,
sehingga masalah maksimisasi tidak efisiensi. Teorema 2. Andaikan Inf P = Sup P
− −
c ,
µ dan parameter
∈ Y x
ℜ
+,
S x
∈
inf
− −
c ,
µ Lx,
= f
−
x
+
−
c
║ gx ║ - g
−
x
,
−
µ
Maka
−
x adalah suatu solusi P dan
− −
c ,
µ adalah solusi P
µ jika dan hanya jika
gx = 0. Bila diasumsikan dari teorema sebagaimana yang telah dipaparkan diatas,
Maksimasikan fungsi dual H dengan menggunakan metode subgradient sehingga diperoleh nilai optimal dari persoalan primal. Sehingga:
S ,c = {
−
x
│
−
x
minimasi fx + c ║ gx ║- μ
1
∈
gx, x S} Algoritma
Pilihlah suatu vektor µ
1
,c
1
dengan c
1
≥ 0, andaikan k = 1, maka:
Universitas Sumatera Utara
Langkah 1 : µ
k
,c
k
.pemecahan subproblema : Min fx + c
k
µ ║ gx ║ - gx,
k
∈
dengan kendala x S andaikan x
k
suatu solusi. Jika gx
k
µ =0 lalu berhenti;
k
,c
k
adalah solusi masalah dual P
, x
k
µ adalah solusi untuk masalah primal P lanjutkan ke langkah 2.
Langkah 2 : Andaikan
k+1
µ =
k
– s
k
gx
k
, c
k+1
= c
k
+ s
k
+ ε
k
║ gx
k
║ Dimana s
k
dan ε
k
adalah skalar positif, gantikan k dengan k+1, dan ulangi kembali langkah 1.
3.4 Aplikasi metode modifikasi subgradient ke fuzzy linier programming
