3.2. Pendekatan Regresi Berganda pada Analisis Varians Klasifikasi Dua Arah
Secara matematik model tersebut tanpa interaksi dapat ditulis sebagai berikut. ,
1
ij j
ij
y
Dengan
, ,...
2 ,
1 ,
,..., 2
, 1
J j
I i
Dengan:
ij
y = Nilai pengamatan dari perlakuan ke I dalam kelompok ke j, = nilai tengah populasi, sering disebut dengan rataan umum,
1
= parameter yang menyatakan rataan baris ke i,
j
= parameter yang menyatakan rataan kolom ke j,
ij
= galat pada pengamatan ke i,j
Penyajian dengan matriks untuk persamaan 3.5 adalah :
k
X X
X ,...,
,
2 1
regresi ResiduError
Y X
b
T T
Y X
b Y
Y
T T
T
k
n-k-1 k
Y X
b s
T T
2 1
1
2 2
k n
Y X
b Y
Y s
T T
T 2
2 2
1
s s
Total Y
Y
T
n-1
Universitas Sumatera Utara
IJ I
I J
J
j
ij I
I j
ij
y y
y y
y y
y y
y
2 1
2 22
21 1
12 11
1 1
1
2 1
2 22
21 12
11
:
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
Jika diperhatikan matriks X di atas, terlihat bahwa jumlah kolom ke 2 sampai kolom ke i adalah kolom pertama jadi kolom-kolom matriks ini tidak bebas satu sama
lain. Karena itu X
T
X singular, sehingga persamaan normal tidak memberikan jawaban yang tunggal untuk parameter yang ingin ditaksir. Agar persamaan normal mempunyai
jawab yang tunggal, maka syarat kendala perlu ditambahkan. Kendala yang memberikan jawaban seperti adalah
I i
J j
j i
1 1
,
Dengan kendala tersebut, maka persamaan normalnya X
T
Xb=X
T
Y mempunyai jawab tunggal, yaitu
Universitas Sumatera Utara
I I
I I
J J
J J
J J
I I
I J
J J
IJ
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
j
b b
a a
a b
1 1
2 1
I i
ij I
i i
J j
j J
j j
J j
j I
i J
j ij
y y
y y
y y
1 1
1 1
1 1
2 1
1 1
1
Bila b0,ai,dan bj, merupakan penaksir dari , α, β, maka persamaan normalnya
Y X
b X
X
T T
Dapat ditulis
I i
J j
I i
J j
ij j
i
y b
I J
b IJ
1 1
1 1
J i
J j
j j
a
y b
J b
J
1 1
1 1
J j
J j
j j
a
y b
J b
J
1 1
2 2
…3.7
J j
J j
Ij j
a
y b
J b
J
1 1
1
I i
i I
i i
y Ib
a b
I
1 1
1 1
Universitas Sumatera Utara
I i
iJ I
i i
y Ib
a b
I
1 1
1
Akibat dari kendala 3.6, maka persamaan baris pertama dari 3.7 dapat disederhanakn menjadi:
,
1 1
I i
J j
ij
y b
IJ
y IJ
y b
I i
J j
ij
1 1
Karena
,
1
J j
j
maka persamaan baris kedua 3.7 menjadi
y y
J Jb
y a
J j
j
1 1
1 1
..
2 2
y y
a
Karena
I i
i ,
1
maka
y y
b y
I Ib
y b
I i
i
1
1 1
1 1
. ..
y y
b
iJ iJ
Jadi persamaan normal 3.7 menjadi
.. y
b
, ,....,
2 ,
1 ..,
I i
y y
a
i i
i
,
,...., 2
, 1
.., J
j y
y b
j i
i
Persamaan 3.5 dengan mengganti parameternya menjadi
j i
ij
b a
y y
.. ˆ
2 1
1 2
1 1
.. ˆ
I i
J j
j i
I i
J j
ij regresi
b a
y y
JK
Universitas Sumatera Utara
, ..
. ..
ˆ
2 1
1 2
1 1
I i
J j
j I
i J
j ij
y y
y y
JKB J
j j
JKA I
i i
regresi
y y
I y
y J
JK
2 1
2 1
.. .
ˆ
JKA = jumlah kuadrat karena baris, JKB = jumlah kuadrat karena kolom.
JK
sisa
I i
J j
ij ij
y y
1 1
2
, ˆ
DK 1
1 1
J I
n 1
1 1
J I
J I
IJ Sehingga diperoleh tabel 3.2.
Tabel 3.2 Analisis Varians Klasifikasi dua Arah tanpa Interaksi
Sumber Keragaman
DB Jumlah Kuadrat
Kuadrat Tengah
A Baris
B Kolom
Sisa I-1
J-1
I-1J-1
I i
i
y y
J
1 2
.. .
J j
j
y y
I
1 2
.. .
I i
J j
ij ij
y y
1 1
2
ˆ 1
.. .
1 2
I y
y J
I i
i
1 ..
.
1 2
J y
y I
J j
j
1 1
ˆ
1 1
2
J I
y y
I i
J j
ij ij
Universitas Sumatera Utara
Total IJ-1
I i
J j
ij
y y
1 1
2
..
Dalam pengujian hipotesis: 1.
H :
α
1
= α
2
= … = α
I
= 0, H
1
: minimal ada satu α
i
≠ 0, i = 1,2,…,I 2.
H :
1
=
2
= … =
J
= 0, H
1
: minimal ada satu
j
≠ 0, j = 1,2,…,J. Untuk pengujian 1,
1 1
1
J
I JKS
I JKA
F
Bila
, 1
1 ,
1
J
I I
F F untuk suatu
α tertentu, maka H ditolak, sebaliknya H
1
diterima. Untuk pengujian 2,
1 1
1
J
I JKS
J JKB
F
Bila
, 1
1 ,
1
J I
J
F F untuk suatu
α tertentu, maka H ditolak, sebaliknya H
1
diterima.
3.3. Pendekatan Regresi Berganda pada Analisis Varians Klasifikasi Dua Arah
Kategori