Dari referensi [6] dan [12] secara matematika model klasifikasi dua arah tanpa interaksi dapat ditulis sebagai berikut :
,
dengan : i = 1,2,…,I , j = 1,2,… J,
bila kedua faktor ada interaksi, maka banyaknya pengamatan per sel haruslah lebih besar dari satu agar interaksi dan sisa dapat dipisah. Dengan adanya interaksi maka
persamaan menjadi
, dengan :
i = 1,2,…, I; j 1,2, …, J; k=1,2,…, K. K = adalah banyaknya dalam pengamatan dalam tiap sel.
1.6 Metode Penelitian
1. Membentuk model analisa Variansi klasifikasi dua arah, yaitu Model Analisis Variansi
dapat ditulis dalam bentuk umum model Analisis Regresi dengan X
i
I = 1,2,… I mendapat nilai 1 dan 0.
2. Menaksir parameter pada analisis variansi klasifikasi dua arah, yaitu
parameterisasi yang berlebihan dalam Analisis Variansi dikompensasi dengan membuat kendala terhadap parameter-parameternya.
3. Membentuk tabel Analisis Variansi yaitu, Model Analisis Variansi adalah menjadi
dasar pembuatan tabel Analisis Variansi klasifikasi dua arah.
Universitas Sumatera Utara
4. Pendekatan Regresi terhadap Analisis Variansi klasifikasi dua arah, yaitu membentuk
persamaan regresi berganda dengan penggunaan peubah boneka dummy variables atau peubah bebas.
5. Mengambil kesimpulan dari analisa yang diperoleh.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Analisis Regresi
Salah satu tujuan analisis data adalah untuk memperkirakanmemperhitungkan besarnya efek kuantitatif dari perubahan suatu kejadian terhadap kejadian lainnya. Setiap kebijakan
policy, baik dari pemerintah maupun swasta, selalu dimaksudkan untuk mengadakan perubahan change. Sebagai contoh, Pemerintah menambah jumlah pupuk agar produksi
padi meningkat, Pemerintah menaikkan gaji pegawai negeri agar prestasi kerja mereka meningkat dan lain sebagainya. Untuk keperluan evaluasipenilaian suatu kebijaksanaan
mungkin ingin diketahui besarnya efek kuantitatif dari perubahan suatu kejadian terhadap kejadian lainnya. Kejadian-kejadian tersebut untuk keperluan analisis bisa dinyatakan
didalam perubahan nilai variabel. Untuk analisis kedua kejadian events digunakan dua variabel X dan Y. Teknik Statistika untuk memeriksa dan memodelkan hubungan diantara
variabel-variabel disebut Analisis Regresi.
2.1.1 Regresi Linier Sederhana
Regresi linier sederhana adalah suatu prosedur untuk mendapatkan hubungan matematis dalam bentuk suatu persamaan antara variabel dependen tunggal dengan variabel
independen tunggal. Hubungan antara dua variabel dependen dan variabel independen ini dapat dirumuskan ke dalam suatu bentuk hubungan fungsional sebagai berikut:
untuk i = 1,2 …, n
Universitas Sumatera Utara
Dengan: Y
i
= variabel terikat ke-i X
i
= variabel bebas ke-i a = intersep titik potong kurva terhadap sumbu Y
b = kemiringan slope kurva linear Dalam membuat keputusan, selalu ada resiko yang disebabkan oleh adanya
kesalahan error. Resiko hanya bisa diperkecil dengan memperkecil kesalahan minimized error
→minimized risk. Dengan memperhitungkan kesalahan pengganggu , maka bentuk persamaan linear menjadi sebagai berikut:
Dengan: a dan b adalah konstanta yang diestimasi
adalah kesalahan pengganggu disturbance’s error =
disebut juga sisa yang terkandung galat yang sifatnya acak dan penyimpangan model dari keadaan sesungguhnya.
Dalam praktik, untuk melihat hubungan antara X dan Y, dikumpulkan pasangan data X,Y sebagai suatu observasi, misalnya sebagai berikut :
X
1
,X
2
,…,X
i
,…,X
n
Y
1
,Y
2
,…Y
1
,…,Y
n
Digambar pada sistem koordinat tegak lurus hasilnya disebut diagram titik atau diagram pencar. Dapat dilihat pada gambar 2.1.
Universitas Sumatera Utara
Garis lurus yang terdapat pada diagram pencar pada gambar 2.1 yang memperlihatkan adanya hubungan antara kedua variable disebut garis regresi atau garis perkiraan, dan
persamaan yang digunakan untuk mendapatkan garis regresi pada data diagram pencar disebut persamaan regresi yang merupakan suatu variable matematika yang
mendefenisikan hubungan antara dua variable.
2.1.2 Metode Kuadrat Terkecil
Untuk mendapatkan garis regresi yang paling baik yaitu garis regresi yang memiliki deviasi atau kesalahan terkecil, maka digunakan metode kuadrat terkecil. Metode kuadrat
terkecil ialah suatu metode untuk menghitung dan
, sedemikian sehingga kesalahan kuadrat memiliki nilai terkecil. Dengan bahasa matematika, dinyatakan sebagai berikut:
Y
i
= i = 1,2, …, n
= –
= kesalahan pengganggu =
= jumlah kesalahan kuadrat
Jadi metode kuadrat terkecil adalah metode untuk menghitung dan
sedemikian rupa sehingga = terkecil minimum. Caranya ialah dengan membuat
Universitas Sumatera Utara
turunan parsial partial differential dari mula-mula terhadap
kemudian terhadap
kemudian menyamakannya dengan nol.
= 2 = 0
…. 2.1 = 2
= 0 ….
2.2 Persamaan 2.1 dibagi dengan
Sehingga
Masukkan ke persamaan 2.2
2 1
1 2
1 1
1 i
i i
i i
i i
i i
X X
n X
n Y
Y X
X X
X Y
Y X
2 1
1 i
i i
i i
i
X n
X n
Y X
Y X
n Y
X Y
X n
X X
i i
i i
i i
1 2
2
Sehingga
2 2
1 2
2 1
1 i
i i
i i
i i
i
X X
n Y
X Y
X n
n X
X n
Y X
2.1.3 Uji Kelinearan Keberartian Regresi
Universitas Sumatera Utara
Setelah menaksir persamaan regresi, masalah berikutnya adalah menilai baik buruknya model regresi dengan data. Jadi diperlukan ukuran tentang kecocokan data. Analisis
regresi adalah alat statistik yang digunakan untuk mengetahui derajat hubungan linear antara satu variable dengan variabel lain. Umumnya analisis korelasi digunakan dalam
hubungannya dengan analisis regresi untuk mengukur ketetapan garis regresi dalam menjelaskan explaining variasi nilai variabel dependen.
Untuk statistik yang dapat menggambarkan hubungan antara suatu variabel dengan variabel lain adalah koefisien determinasi R
2
dan koefisien korelasi r. koefisien determinasi adalah salah satu nilai statistik yang dapat digunakan untuk
mengetahui apakah ada hubungan pengaruh antara dua variabel. Perhatikan kesamaan berikut:
ˆ ˆ
i i
i i
y y
y y
y y
Bila ruas kiri dan kanan dikuadratkan dan kemudian dijumlahkan maka diperoleh
2 1
1 2
ˆ ˆ
n i
i i
i n
i i
y y
y y
y y
. ˆ
ˆ 2
ˆ ˆ
1 1
2 1
2
n i
i i
i n
i i
i n
i i
y y
y y
y y
y y
…2.3
Perkalian yang terakhir pada persamaan 2.3 penulisan I = 1 dan n pada ∑ dihilangkan
sehingga menjadi
. ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
i i
i i
i i
i i
y y
y y
y y
y y
y y
Bagian kedua ruas kanan sama dengan nol karena menurut 2.1
ˆ
i i
i i
bx a
y y
y
Jadi persamaan dapat ditulis kemabali sebagai berikut
Universitas Sumatera Utara
ˆ ˆ
ˆ
i i
i i
i
y y
bx a
y y
y
= a
i i
i i
i
x y
y b
y y
ˆ ˆ
= 0
i i
i
x bx
a y
b
= 0 Jadi persamaan dapat ditulis kembali sebagai berikut
2.4
ˆ ˆ
1 2
1 1
2 i
n i
n i
n i
i
y y
y y
y y
i i
JKT JKR JKS Persamaan 2.4 adalah persamaan dasar dalam Analisis Regresi dan Analaisis
variansi. Ruas kiri disebut jumlah kuadrat total JKT atau jumlah variasi total dan menyatakan jumlah penyimpangan y disekitar nilai rata-ratanya. Bagian pertama ruas
kanan disebut jumlah kuadrat regresi JKR dan ini adalah variansi respons disekitar rata- ratanya . Bagian kedua ruas kanan disebut jumlah kuadrat galat sisa dan singkat JKS.
Bagian ini mengukur sisa dari variasi total JKT yang tidak dapat diterangkan oleh x, atau bagian yang sifatnya acak. Jadi dengan demikian dapat pula ditulis sebagai berikut:
JKT = JKR + JKS Variasi Total = Variasi karena Regresi + Variasi karena Sisa.
Sifat penjumlahan aditing seperti ini banyak dijumpai dalam statistika, dan ini tidak hanya berlaku untuk bentuk kuadrat tapi juga untuk derajat kebebasannya. Jika pengaruh
X terhadap Y besar maka diharapkan JKR cukup besar dibandingkan dengan JKS. Bila JKR besar maka JKS kecil dan sebaliknya, sedangkan JKT tetap. Dengan demikian JKT
dapat dijadikan pembanding untuk menentukan besar kecilnya JKR atau JKS.
Dari defenisi R
JKS JKR
y y
y y
i i
2 2
2
ˆ
Universitas Sumatera Utara
Dengan:
R
2
disebut koefisien korelasi dua arah atau koefesien penentu determinasi. Karena 0 JKR JKT, maka tentunya 0 R
2
1. Jadi R
2
dapat mengukur kecocokan data dengan model makin dekat R
2
dengan 1 makin baik kecocokan data dengan model dan sebaliknya, makin dekat R
2
dengan 0 makin jelek kecocokan tersebut.
2.1.1 Pendekatan Melalui Analisis Variansi
Dari persamaan 2.4 dapat dilihat penguraian jumlah kudrat total atas kedua komponennya, jumlah kuadrat regresi dan jumlah kuadrat galat. Tujuan utama penguraian
bukanlah untuk menghitung R
2
, tetapi merupakan langkah awal yang sangat penting dalam menelaah komponen jumlah kudrat total. Untuk menentukan apakah pengaruh
suatu peubah bebas X besar atau kecil terhadap respon Y diperlukan pambanding yang baku, yang tidak dipengaruhi baik buruknya model yang digunakan. Pembanding baku
tersebut adalah penaksir tak bias dari , variansi .
Disamping JKT dapat diuraikan atas kedua komponennya, derajat kebebasannya dapat diuraikan juga. Sifat penjumlahan aditing ini merupakan salah satu keunggulan
dari metode kuadrat terkecil.
Universitas Sumatera Utara
Tabel 2.1 Tabel Analisis Variansi Regresi Sederhana
Sumber Variasi
JK Jumlah Kuadrat dk Derajat
Kebebasan RKRataan
Kuadrat F
Hitung Regresi
Sisa JKR =
2
ˆ Y
Y
i
JKS =
2
ˆ
i
Y Y
i
1 n-2
2 1
s
JKR1
2 2
s
JKSn-2
2 2
2 1
s s
Total JKT =
2
Y Y
i
n-1
Tabel 2.1 Memperlihatkan bentuk umum table analisis variansi ANAVA untuk regresi linear sederhana. Kolom keempat menunjukkan jumlah kuadrat dibagi dengan derajat
kebebasannya, untuk regresi dan sisa.
Andaikan hipotesis yang akan diuji adalah H0
: β = 0
H1 :
β ≠ 0 Yang pada dasarnya hipotesis nol ini mengatakan bahwa variansi dalam Y diakibatkan
oleh fluktuasi acak yang tidak tergantung pada nilai X dengan kata lain X tidak mempengaruhi respons Y. bila hipotesis nol ditolak yaitu bila nilai Statistik F hitungan
melebihi nilai kritis F
α
1, n-2 maka disimpulkan bahwa terdapat jumlah variasi yang berarti dalam respon Y yang disebabkan atau diterangkan oleh model yang dipandang
benar, yaitu fungsi linear. Bila statistic F berasal dalam daerah penerimaan maka disimpulkan bahwa data tidak memberikan cukup dukungan kepada model yang dianggap
benar.
2.2 Pengertian Dasar Penyimpangan Atau Ragam
Universitas Sumatera Utara
Sebagai contoh misalkan dilakukan penelitian lapangan melalui survei sehingga hasil sampel yang diperoleh meliputi N individu. Individu tersebut dapat berupa perorangan,
rumah tangga, industry kecil, atau wilayah dan lainnya. Masing-masing individu dinyatakan dengan huruf I yang menunjukkan individu ke-i dalam sampel. Informasi
yang diperoleh dari setiap individu memberikan nilai-nilai pengamatan Y adalah: Y
1
, Y
2
, Y
3
…, Y
n
. dapat dilihat gambar 2.3 yaitu suatu contoh mengenai berbagai hasil pengamatan yang diperoleh dari individu pertama sampai dengan ke-N.
y
Gambar 2.3 Contoh Pengamatan dalam bentuk nilai rata-rata
Langkah pertama yang harus dilakukan yaitu memilih model apa yang akan digunakan. Model tersebut bisa berupa nilai rata-rata, median, modus dan lainnya ataupun
yang lebih rumit mengikuti suatu pola tertentu secara linear ataupun nonlinear. Pada gambar 2.3 diambil suatu contoh dalam bentuk nilai rata-rata hitung,
, dari seluruh pengamatan. Model ini akan menggambarkan dengan sempurna pola yang terdapat dalam
kenyataan bila masing-masing individu dalam sampel memberikan nilai yang persis sama besarnya dengan nilai rata-rata tersebut.
Universitas Sumatera Utara
Dengan demikian seberapa besar penyimpangan yang terjadi diantara nilai pengamatan dan nilai yang terkandung dalam model hitung dari nilai rata-rata
digambarkan dengan menguraikan setiap nilai pengamatan menjadi
Y Y
Y Y
i i
= 1,2,3,…,N
Dimana memberikan besaran nilai penyimpangan sehingga menggambarkan
naik turunnya fluktuasi hasil pengamatan terhadap model dan menunjukkan seberapa jauh model yang dipakai tidak mampu menjelaskan kenyataan yang ada. Arah panah ke
bawah berarti penyimpangan yang negatif sedangkan arah ke atas menunjukkan penyimpangan yang positif.
Persamaan 2.5 mempergunakan suatu model yang sederhana nilai rata-rata Dalam bentuk umumnya persamaan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:
ˆ ˆ
Y Y
Y Y
i i
= 1,2,3,…,N
Pengamatan = Cocokan + Residual merupakan model yang menggambarkan prediksi atau dugaan estimasi yang disebut
juga dengan fitted values. Nilai dapat berupa suatu titik fungai linier atau nonlinear, Sedangkan
menunjukkan besarnya penyimpangan atau residual. Berdasarkan definisi dapat dilihat dengan jelas bahwa residual merupakan sisa
dari hasil pengamatan yang belum dapat dijelaskan oleh suatu model tertentu. Dalam Analisis Regresi, yang menjadi tujuan utama adalah membuat jumlah kuadrat sisa atau
residu, JKS = sekecil mungkin agar dicapai suatu pemecahan
persoalan dalam bentuk besaran dan arah pengaruh peubah bebas terhadap peubah tak bebas. Semakin banyak peubah bebas dalam suatu persamaan regresi, JKS akan cederung
Universitas Sumatera Utara
mengecil dengan kata lain semakin besar kemampuan model dalam menjelaskan keragaman peubah tak bebas.
2.3 Analisis variansi ANAVA
