2.6 Proses Ito
Jenis proses stokastik lainnya adalah proses Ito. Proses Ito merupakan proses
Wiener umum dengan parameter dan
adalah fungsi dari nilai underlying variabel x dan waktu t. Proses Ito dapat ditulis secara
aljabar sebagai :
, ,
dx a x t dt b x t dW
. 6
Pada interval waktu yang kecil antara dan
, variabel berubah dari ke , dimana
, ,
x a x t
t b x t t
. 7
Diasumsikan bahwa laju drift dan varian tetap konstan yaitu
dan selama interval waktu antara
dan ~ , , ,
dx N a x t dt b x t dt .
8
2.7 Lema Ito
Misalkan Xt memiliki turunan stokastik dX t
a t dt b t dW t
dan misalkan gt,x adalah fungsi kontinu
dalam t dan x bersama turunannya ,
, maka fungsi
memiliki turunan stokastik dengan Proses Wiener
sebagai berikut :
2 2
2
1 2
G G
G G
dG a t
b t dt
b t dW t t
x x
x
Sobczyk 1991
Harga opsi saham adalah fungsi yang mendasari harga saham dan waktu. Secara
umum dikatakan bahwa harga dari suatu derivatif adalah fungsi yang mendasari
peubah acak stokastik, sebuah derivatif dan waktu.
Misalkan nilai dari peubah acak x mengikuti proses Ito:
, ,
dx a x t dt b x t dW
9 dimana
adalah proses Wiener, dan adalah fungsi dari
dan . Peubah acak mempunyai laju drift
dan laju varian .
Lema Ito menunjukkan bahwa fungsi dari
dan memenuhi
2 2
2
1 2
G G
G dG
a b
dt x
t x
G
bdW x
10
dimana adalah proses Wiener yang sama
pada persamaan 9 sehingga juga
mengikuti proses Ito dengan laju drift
2 2
2
1 2
G G
G a
b x
t x
dan laju varian
2 2
G b
x
.
Sehingga dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa
dS Sdt
SdW
11 dengan µ dan
σ konstan, adalah model perubahan harga saham berdasarkan lema Ito.
Proses tersebut diikuti oleh fungsi terhadap
dan sebagai berikut
2 2
2 2
1 2
G G
G dG
S S
dt S
t S
G
S dW S
12
dan dipengaruhi oleh sumber yang mendasari ketidakpastian yang sama.
2.8 Proses Stokastik untuk Harga Saham
Pada bagian ini akan dibahas proses stokastik yang biasanya diasumsikan untuk
harga saham tanpa pembayaran dividen. Harga saham mengikuti proses Wiener umum
yang mempunyai harapan laju drift konstan dan laju varian konstan. Misalkan S adalah
harga saham, maka
, ,
dS a S t dt b S t dW
. 13
Jika adalah harga saham pada waktu ,
maka harapan laju drift pada diasumsikan
S
untuk parameter
konstan. Pada interval waktu yang kecil
, akan naik sebesar S t
. Parameter
merupakan laju harapan imbal hasil pada saham. Jika volatilitas dari
harga saham selalu nol, maka modelnya menjadi:
S µS t
14 saat
→0. Dengan demikian
dS µSdt
.
dS dt
S
15
Integralkan kedua ruas pada 15 menjadi dS
d S
t
lnS t k
, 16
dengan k = konstanta sembarang. Persamaan 16 dapat ditulis menjadi
t k
S e
.
t k
S e e
.
17
Dengan memisalkan
, maka
persamaan 17 menjadi
1 t
S t c e
18
Misalkan dan
merupakan harga saham pada waktu
dan , maka persamaan 18 menjadi
19 Persamaan 19 menunjukkan bahwa laju
varian nol, harga saham tumbuh dengan laju continous compounding
per satuan waktu. Pada kenyataannya harga saham menunjukkan
volatilitas karena asumsinya variasi dari persentasi imbal hasil pada periode waktu
yang singkat sama tanpa memperhatikan harga saham.
Simpangan baku dari perubahan dalam periode waktu yang singkat akan proporsional
ke harga saham dan berperan penting untuk model:
dS Sdt
SdW
μdt dS
dW S
20 Persamaan 20 sebagian digunakan untuk
memodelkan tingkah laku harga saham. Variabel
adalah volatilitas dari harga saham. Variabel
adalah harapan laju imbal hasil. Persamaan 20 disebut juga sebagai
gerak Brown geometrik.
III HASIL DAN PEMBAHASAN
Misalkan ada dua perusahaan yang akan bergabung. Misalkan pula harga saham
masing-masing perusahaan mengikuti gerak Brown geometrik
1 1
1 1
1 t
t t
dS dt
dW S
2 2
2 2
2 t
t t
dS dt
dW S
21
i t
S adalah harga saham perusahaan pada
saat ,
i
adalah rata-rata pertumbuhan harga saham perusahaan
,
i
adalah volatilitas perusahaan
,
1 t
W dan
2 t
W adalah gerak Brown dengan
1 2
t t
dW dW dt
, 1
1
,
adalah korelasi antara gerak Brown perusahaan pertama dengan gerak Brown
perusahaan kedua,
dan pada
saat penggabungan yaitu saat T berlaku
1 2
.
T T
S C S
22
Diasumsikan tingkat suku bunga adalah nol, misalkan kekayaan awal adalah
yang merupakan kekayaan tetap investor dan
kekayaan investor saat dengan strategi
1 2
,
t t
t
adalah
t
Y
, dan berlaku
1 2
1 2
1 2
t t
t t
t t
t t
dY dS
dS Y
S S
23 dengan
i t
adalah bagian dari kekayaan yang diinvestasikan pada saham
, oleh karenanya
1 2
1
t t
adalah bagian dari kekayaan yang didepositokan.
Untuk memaksimumkan harapan dari kegunaan suatu kekayaan dengan beberapa
kendala perdagangan, diasumsikan tidak ada peminjaman dan short selling. Dengan kata
lain
1 2
,
t t
dan
2 1
1
t t
. Total
kekayaan
t
Y bernilai
tak negatif.
Diasumsikan juga
fungsi harapan
dari kekayaan yang ingin dimaksimumkan oleh
investor adalah fungsi linear. Ada dua kemungkinan strategi
t
yang memaksimumkan nilai harapan kekayaan
investor yaitu: 1.
0,0 , 1,0 , 0,1 ,
t
2.
,0 0,
, ,
1 ,
,
t
, 1 , 0
, ,1
,1 ,
Strategi yang dibahas pada karya ilmiah ini adalah strategi yang pertama.
3.1 Teorema
Kategori