Persamaan tersebut akan menghasilkan lihat Lampiran 1a
2 1
2 1
1 2
2 1
2 1
2 1
2 2
2 2
2 2
2 1
1 2 2
1 1 2
2 1
1 2 2
2 .
1 2
2
t t
t t
t
a b a W
a W a
a dW
a a
dt d
d T
t a
a a a
a a a
a a
a a a
Substitusi persamaan 29 ke persamaan 31
1 2
2 2
2 2
2 1
1 2
1 1 2
2
1 2
t t
t
d a
a W a
a W a
a a a d
. Persamaan tersebut akan menghasilkan lihat Lampiran 1b
2 1
2 2
1 2
1 1
2 2
1 2
1 2
2 2
2 2
2 1
1 2 2
1 1 2
2 1
1 2 2
2 .
1 2
2
t t
t t
t
a b a W
a W a
a dW
a a
dt d
d T t a
a a a
a a a
a a
a a a
Dengan menggunakan jembatan Brown, diperoleh dinamika dari dua saham yang
bergabung.
3.3 Proposisi 2
Misalkan dinamika dari dua harga saham diberikan sebagai berikut
1 1
1 1
1 t
t t
dS dt
dW S
2 2
2 2
2 t
t t
dS dt
dW S
32 dimana
1 t
W dan
2 t
W adalah dua gerak Brown dengan
1 2
t t
dW dW dt
pada saat
1 2
t t
S C S
33 maka
harga saham
dinamik dapat
diekspresikan sebagai
1 1
2 1
1 1
1 t
t t
t t
dS A X
B dt C d Dd
S
. 34
2 1
2 2
2 2
2 t
t t
t t
dS A X
B dt C d Dd
S
. 35
Bukti: Dari pembahasan terdahulu diketahui
1 t
dan
2 t
adalah dua gerak Brown bebas dengan
1 2
1 2
, , , ,
t
X A A B B ada pada teorema dan
1 1
2 1
2 2
1 1
2 2
2 C
2 2
1 2
2 2
1 1
2 2
2 C
2 1
2 2
2 1
1 2
2
1 2
D
Didefinisikan
i t
G lnS
.
Jika fungsi diturunkan terhadap
, maka 1
i i
t t
G S
S
.
Jika fungsi diturunkan dua kali terhadap
, maka
2 2
2
1
i i
t t
G S
S
. Jika fungsi
diturunkan terhadap , maka G
t
.
36 Berdasarkan persamaan 12 didapat
2 2
2 2
1 2
i i
i t
i t
i i
t t
G G
G dG
S S
dt t
S S
i i
i t
t i
t
G S dW
S
dengan mensubstitusi
2 2
, ,
i i
t t
G G
S S
dan G
t
,
persamaan 12 menjadi
2 2
2
1 1
1 2
i i
i t
i t
i i
t t
dG S
S dt
S S
1
i i
i t
t i
t
S dW S
sehingga
2
1 2
i i
i i
t
dG dt
dW
37
dan
2
1 2
i t
i i
i
dW dG
dt dt
.
38 Karena
i t
G lnS
, maka persamaan 38
menjadi
2
1 2
i i
t t
i i
i
d lnS dW
dt dt
39
sehingga
2
1 1
2
i i
t t
i i
i i
t
dS dW
dt dt
S
40
atau
2
1 2
i i
t i
i i
t i
t
dS dt
dW S
41 Untuk mendapatkan persamaan dalam
i t
S , dilakukan pengintegralan kedua ruas pada
persamaan 41
2
1 2
i i
t i
i i
t i
t
dS dt
dW S
2
1 2
i i
t i
i i
t
lnS t
W C
2
1 2
i i
t i
i i
t
S exp
t W
C
2
1 .
2
i i
t i
i i
t
S exp C exp
t W
.
Jika [ ], maka
2
1 2
i i
i t
i i
i t
S S exp
t W
. 42
sehingga untuk kondisi
1 2
T T
S C
S
diartikan sebagai
1 2
T T
S C
S
1 2
1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
1 2
1 2
T T
S exp T
W C
S exp T
W
2 1
1 1
1 2
1 2
2 2
2 2
1 2
1 2
T T
exp T
W S
C S
exp T
W
2 2
1 2
2 1
1 1
2 2
2 1
1 1
2 2
T T
S exp
T W
T W
C S
2 2
1 2
2 1
1 1
2 2
2 1
1 1
2 2
T T
S T
W T
W ln C
S
2 2
1 2
2 1
1 1
2 2
2 1
1 1
2 2
T T
S T
T W
T T
W ln C
S
2 1
2 2
2 1
2 2
1 2
1 1
1 2
T T
S W
W T
T ln C
S
2 1
2 2
2 1
2 2
1 2
1 1
1 2
T T
S W
W T
T ln C
S
2 1
2 2
2 1
2 2
1 2
1 1
1 2
T T
S W
W T
ln C S
. 43
Persamaan 43 sesuai dengan persamaan 24 dengan
1 1
a
,
2 2
a
, dan
2 2
2 2
1 2
1 1
1 2
S b
T ln C
S
. 44 Dinamika jembatan Brown planar diberikan
pada Proposisi 1, persamaan dari dua gerak Brown standar
dan . Jika persamaan 25
disubstitusi ke persamaan 32, maka
1 1
2 1
1 2
1 2
1 1
1 2
1 2
2 2
2 1
1 2 2
1 1 2
2
2 2
t t
t t
t
dS b a W
a W a
a dt
a a
dt d
S T t a
a a a
a a a
a
2 2
2 2
2 1
1 2 2
1 2
t
a d
a a a
a
. Berdasarkan teorema, persamaan tersebut menjadi lihat Lampiran 2
1 1
2 1
1 1
1 t
t t
t t
dS A X
B dt C d Dd
S
.
Jika persamaan 26 disubstitusi ke persamaan 32, maka
2 1
2 1
1 2
2 1
2 2
2 1
2 2
2 2
2 1
1 2 2
1 1 2
2
2 2
t t
t t
t
dS b a W
a W a
a dt
a a
dt d
S T t a
a a a
a a a
a
2 2
1 2
2 1
1 2 2
1 2
t
a d
a a a
a
. Berdasarkan teorema, persamaan tersebut menjadi lihat Lampiran 2
2 1
2 2
2 2
2 t
t t
t t
dS A X
B dt C d Dd
S
. Dengan demikian Proposisi 2 terbukti.
3.4 Akibat