Proposisi 2 Memaksimumkan Nilai Harapan Kekayaan Investor dengan Strategi Investasi Saham Dua Perusahaan yang Bergabung

Persamaan tersebut akan menghasilkan lihat Lampiran 1a       2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 . 1 2 2 t t t t t a b a W a W a a dW a a dt d d T t a a a a a a a a a a a a                        Substitusi persamaan 29 ke persamaan 31       1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 t t t d a a W a a W a a a a d              . Persamaan tersebut akan menghasilkan lihat Lampiran 1b       2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 . 1 2 2 t t t t t a b a W a W a a dW a a dt d d T t a a a a a a a a a a a a                        Dengan menggunakan jembatan Brown, diperoleh dinamika dari dua saham yang bergabung.

3.3 Proposisi 2

Misalkan dinamika dari dua harga saham diberikan sebagai berikut 1 1 1 1 1 t t t dS dt dW S     2 2 2 2 2 t t t dS dt dW S     32 dimana 1 t W dan 2 t W adalah dua gerak Brown dengan 1 2 t t dW dW dt    pada saat 1 2 t t S C S   33 maka harga saham dinamik dapat diekspresikan sebagai   1 1 2 1 1 1 1 t t t t t dS A X B dt C d Dd S        . 34   2 1 2 2 2 2 2 t t t t t dS A X B dt C d Dd S       . 35 Bukti: Dari pembahasan terdahulu diketahui 1 t  dan 2 t  adalah dua gerak Brown bebas dengan 1 2 1 2 , , , , t X A A B B ada pada teorema dan   1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 C              2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 C            2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 D            Didefinisikan i t G lnS  . Jika fungsi diturunkan terhadap , maka 1 i i t t G S S    . Jika fungsi diturunkan dua kali terhadap , maka     2 2 2 1 i i t t G S S     . Jika fungsi diturunkan terhadap , maka G t    . 36 Berdasarkan persamaan 12 didapat     2 2 2 2 1 2 i i i t i t i i t t G G G dG S S dt t S S                    i i i t t i t G S dW S     dengan mensubstitusi   2 2 , , i i t t G G S S     dan G t   , persamaan 12 menjadi     2 2 2 1 1 1 2 i i i t i t i i t t dG S S dt S S                           1 i i i t t i t S dW S   sehingga 2 1 2 i i i i t dG dt dW             37 dan 2 1 2 i t i i i dW dG dt dt             . 38 Karena i t G lnS  , maka persamaan 38 menjadi 2 1 2 i i t t i i i d lnS dW dt dt             39 sehingga 2 1 1 2 i i t t i i i i t dS dW dt dt S              40 atau 2 1 2 i i t i i i t i t dS dt dW S             41 Untuk mendapatkan persamaan dalam i t S , dilakukan pengintegralan kedua ruas pada persamaan 41 2 1 2 i i t i i i t i t dS dt dW S                     2 1 2 i i t i i i t lnS t W C              2 1 2 i i t i i i t S exp t W C                      2 1 . 2 i i t i i i t S exp C exp t W                   . Jika [ ], maka 2 1 2 i i i t i i i t S S exp t W                   . 42 sehingga untuk kondisi 1 2 T T S C S  diartikan sebagai 1 2 T T S C S  1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 T T S exp T W C S exp T W                                    2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 T T exp T W S C S exp T W                                    2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 T T S exp T W T W C S                                           2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 T T S T W T W ln C S                                           2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 T T S T T W T T W ln C S                       2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 T T S W W T T ln C S                       2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 T T S W W T T ln C S                     2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 T T S W W T ln C S                         . 43 Persamaan 43 sesuai dengan persamaan 24 dengan 1 1 a   , 2 2 a    , dan   2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 S b T ln C S                      . 44 Dinamika jembatan Brown planar diberikan pada Proposisi 1, persamaan dari dua gerak Brown standar dan . Jika persamaan 25 disubstitusi ke persamaan 32, maka       1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 t t t t t dS b a W a W a a dt a a dt d S T t a a a a a a a a                        2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 t a d a a a a            . Berdasarkan teorema, persamaan tersebut menjadi lihat Lampiran 2   1 1 2 1 1 1 1 t t t t t dS A X B dt C d Dd S        . Jika persamaan 26 disubstitusi ke persamaan 32, maka       2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 t t t t t dS b a W a W a a dt a a dt d S T t a a a a a a a a                        2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 t a d a a a a            . Berdasarkan teorema, persamaan tersebut menjadi lihat Lampiran 2   2 1 2 2 2 2 2 t t t t t dS A X B dt C d Dd S       . Dengan demikian Proposisi 2 terbukti.

3.4 Akibat