II LANDASAN TEORI
Untuk memahami masalah-masalah yang terjadi pada karya tulis ini diperlukan
pengertian beberapa konsep berikut ini.
2.1 Investasi, Saham, dan Volatilitas Definisi 2.1 Investasi
Investasi adalah komitmen atau sumber daya saat ini dengan harapan yang lebih besar di
masa depan.
Bodie et al. 2009
Definisi 2.2 Saham Saham adalah sarana investasi dengan
pendapatan tetap dan bersifat jangka panjang. Bodie et al. 2009
Definisi 2.3 Volatilitas Volatilitas adalah ukuran ketidakpastian
pendapatan saham.
Hull 2009 Harga saham sangat dipengaruhi oleh
informasi yang bersifat acak, dan karenanya harga saham juga bernilai acak. Volatilitas
saham, yang biasanya dilambangkan σ, menyatakan tingkat keacakan harga saham.
Semakin besar nilai volatilitas, semakin tak terduga pergerakan harga saham. Sebaliknya,
semakin kecil nilai volatilitas, semakin mudah untuk menduga harga saham tersebut.
2.2 Proses Stokastik
Definisi 2.4 Medan
Medan – adalah suatu himpunan yang
anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh
Ω, yang memenuhi syarat berikut.
1. .
2. Jika
Α , maka
c
A .
3. Jika
1 2
, ,
A A , maka
1 i
i
A
Ç
. Grimmett Stirzaker 1992
Definisi 2.5 Ukuran Peluang Misalkan
Ω adalah ruang contoh suatu percobaan dan
adalah medan pada Ω. Suatu fungsi
yang memetakan unsur-unsur
ke himpunan bilangan nyata , atau :
P disebut ukuran peluang jika :
1. tak negatif, yaitu untuk setiap A ,
P A ,
2. bersifat aditif tak hingga, yaitu jika
1 2
, ,
A A dengan
,
i j
A A
i j
, maka
1 1
n n
n n
P A
P A
Ç
. 3.
bernorma satu, yaitu
Ω 1 P
. Pasangan
Ω, , P disebut ruang ukuran
peluang atau ruang probabilitas. Hogg Craig 1995
Definisi 2.6 Proses Stokastik Proses stokastik adalah sekumpulan peubah
acak
, ,
Γ
t
X t T
yang tergantung pada parameter
dan terdefinisikan pada ruang probabilitas
, , P
.
Sobczyk 1991
Definisi 2.7 Turunan Stokastik Misalkan
, ,
t
X t
adalah proses
stokastik. Jika terdapat fungsi a t dan
b t sehingga untuk sembarang
1
t ,
2
t , dengan
1 2
t t
memenuhi
2 2
1 1
2 1
t t
t t
X t X t
a t dt b t dW t
maka dikatakan bahwa X t memiliki turunan
stokastik dX t yaitu
. dX t
a t dt b t dW t
Sobczyk 1991
2.3 Gerak Brown Definisi 2.8 Gerak Brown Standar
Sebuah gerak Brown standar
: W t
t
adalah sebuah proses stokastik yang memiliki 1.
continuous Path, 2.
stasioner, independent increments, dan 3.
~ , N
W t
t untuk semua
t .
Chang 2007
Definisi 2.9 Gerak Brown Sebuah proses X dikatakan gerak Brown
2
,
jika dapat dituliskan sebagai
X t X
t W t
, dengan W adalah sebuah gerak Brown
standar. Chang 2007
Definisi 2.10 Proses Gaussian
Suatu proses
stokastik
, X t t
dikatakan
proses Gaussian
jika
1
, ,
n
X t X t
memiliki
sebaran normal
bersama untuk semua
1
, ,
n
t t
. Ross 1996
Definisi 2.11 Jembatan Brown Standar Sebuah jembatan Brown standar adalah
sebuah proses Gaussian X dengan path yang kontinu, rataan 0, dan fungsi kovarian
, 1
Cov X s X t s
t
untuk 0 1.
s t
Chang 2007
2.4 Pergerakan Harga Saham
Secara umum, pergerakan harga saham dapat dipecah menjadi dua faktor, yaitu faktor
yang dapat diperhitungkan misalnya suku bunga
dan faktor
yang tidak
dapat diperhitungkan misalnya berita naik-turunnya
harga saham perusahaan lain. Faktor kedua ini menyebabkan pergerakan harga saham
tidak dapat dimodelkan secara deterministik. Model yang biasa digunakan untuk kasus
seperti ini adalah modelproses stokastik.
Menurut Willmot et al. 1996, model stokastik bagi pergerakan harga saham
memiliki bentuk sebagai berikut : dS
dt dW
S
. 1
Dalam hal ini, dS
S adalah perubahan harga
saham selama interval dt dibagi harga saham sebelum interval dt.
μ adalah rata-rata pertumbuhan harga saham, σ adalah
volatilitas, dan dW adalah bagian yang
mengandung keacakanketidakpastian dari harga saham. Diasumsikan bahwa
dW mengikuti proses Wiener serta memiliki sifat:
• dW adalah variabel acak yang menyebar normal,
• rataan dari dW adalah nol, • ragam dari dW adalah dt .
2.5 Proses Wiener Umum
Proses Wiener merupakan salah satu proses stokastik markov dengan perubahan
rataan nol dan laju varian 1 per tahun. Variabel W dikatakan mengikuti proses
Wiener jika mempunyai sifat: 1.
Perubahan W
selama periode waktu yang kecil
adalah W
t
dimana
adalah peubah acak dengan sebaran normal baku
0,1
. 2.
Nilai dari W
untuk dua interval waktu yang singkat
t adalah bebas.
Hull 2009 Proses stokastik memiliki turunan yang
bersifat stokastik. Perubahan rataan persatuan waktu untuk proses stokastik diketahui
sebagai laju drift dan varian per satuan waktu diketahui sebagai laju varian. Proses Wiener
dasar,
mempunyai laju drift nol dan laju varian satu. Laju drift dari rataan nol adalah
nilai harapan dari W pada waktu yang akan datang adalah sama dengan nilai yang
sebenarnya. Laju varian 1 maksudnya bahwa perubahan varian di
pada interval waktu dengan panjang
sama dengan . Proses Wiener
umum untuk
variabel dapat
didefinisikan dalam bentuk sebagai
dx adt bdW
2 dimana
dan konstan. Bentuk
mengakibatkan mempunyai harapan laju drift
per satuan waktu. Jika bagian
dikeluarkan maka persamaan menjadi :
dx adt
dx
adt
x at c
t
x c
sehingga
x x
at
3 dengan
adalah nilai dari saat , pada
periode waktu dengan panjang T, dan variabel naik sebanyak .
Proses Wiener mempunyai standar deviasi 1. Pada saat
proses Wiener mempunyai simpangan baku sebesar
~ , dx
adt bdz N adt b dt
2 2
dx
b dt
4
dalam selang interval waktu yang kecil ,
perubahan menjadi:
x a t b
t
.
5 Sebelumnya
mempunyai sebaran
normal baku, sehingga mempunyai
sebaran normal dengan rataan
: simpangan baku :
√ varian
: .
2.6 Proses Ito
