Akibat Nilai Harapan Kekayaan Investor

Jika persamaan 26 disubstitusi ke persamaan 32, maka       2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 t t t t t dS b a W a W a a dt a a dt d S T t a a a a a a a a                        2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 t a d a a a a            . Berdasarkan teorema, persamaan tersebut menjadi lihat Lampiran 2   2 1 2 2 2 2 2 t t t t t dS A X B dt C d Dd S       . Dengan demikian Proposisi 2 terbukti.

3.4 Akibat

Diasumsikan bahwa saham tunggal mengikuti t t t dS dt dW S     . 45 Saat T S C  , maka 2 1 1 2 t T t t t dS S log dt d S T t S              46 dengan t  adalah sebuah gerak Brown standar. Bukti: Persamaan 46 merupakan kasus khusus dari proposisi 2 dengan 1 t t S S  , 1    , 1    , 2 2     , 2 1 t S  .   1 1 2 1 1 1 1 t t t t t dS A X B dt C d Dd S          1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 C              2 2 σ 0 0            2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 D               2 2 1 0 0             1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 0 0 A                        2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 0 0 2 0 0 A                     2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 B A A                     2 2 1 1 0 0 1 2 2                1 2 1 1 1 t t t t t S S X log log T t T t S CS     1 t t S log T t S   maka   1 1 2 1 1 1 1 t t t t t dS A X B dt C d Dd S          2 1 1 1 2 t t t S log dt d T t S                        2 1 1 2 T t t S log dt d T t S              . Dengan demikian akibat terbukti.

3.5 Nilai Harapan Kekayaan Investor

Persamaan 23 yang menyatakan kekayaan investor adalah 1 2 1 2 1 2 t t t t t t t t dY dS dS Y S S       1 2 1 2 1 2 t t t t t t t t dS dS dY Y S S             1 2 1 2 1 2 T t t t t t t t t dS dS Y Y S S              47 Nilai harapan dari kekayaan investor adalah kekayaan tetap investor ditambah dengan nilai harapan kekayaan investor yang dimaksimumkan. 1 2 1 2 1 2 T t t T t t T t t dS dS E Y Y E Y S S                           . 48 Jika persamaan 34 dan 35 disubstitusikan ke persamaan 48, maka nilai harapan dari kekayaan investor dapat ditulis       1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 T T t t t t t t t t T E Y Y E A X B dt C d Dd A X B dt C d Dd Y dt                                            1 2 1 1 2 2 T t t t t T Y E A X B A X B Y dt                 49 Berdasarkan teorema     1 2 1 1 2 2 , , t t t t Z Z A X B A X B     , maka persamaan 49 menjadi   1 1 2 2 T T t t t t T E Y Y E Z Z Y dt                   . Karena nilai harapan dari proses Wiener adalah nol, maka nilai harapan dari gerak Brown adalah nol, sehingga integral mempunyai nilai harapan nol. Karena asumsi tanpa pinjaman, maka . Integral tersebut akan maksimal jika 1 1 2 2 t t t t Z Z    maksimal untuk setiap t. IV SIMPULAN DAN SARAN

4.1 Simpulan