Jika persamaan 26 disubstitusi ke persamaan 32, maka
2 1
2 1
1 2
2 1
2 2
2 1
2 2
2 2
2 1
1 2 2
1 1 2
2
2 2
t t
t t
t
dS b a W
a W a
a dt
a a
dt d
S T t a
a a a
a a a
a
2 2
1 2
2 1
1 2 2
1 2
t
a d
a a a
a
. Berdasarkan teorema, persamaan tersebut menjadi lihat Lampiran 2
2 1
2 2
2 2
2 t
t t
t t
dS A X
B dt C d Dd
S
. Dengan demikian Proposisi 2 terbukti.
3.4 Akibat
Diasumsikan bahwa
saham tunggal
mengikuti
t t
t
dS dt
dW S
. 45
Saat
T
S C
, maka
2
1 1
2
t T
t t
t
dS S
log dt
d S
T t S
46 dengan
t
adalah sebuah gerak Brown standar.
Bukti:
Persamaan 46 merupakan kasus khusus dari proposisi 2 dengan
1 t
t
S S
,
1
,
1
,
2 2
,
2
1
t
S .
1 1
2 1
1 1
1 t
t t
t t
dS A X
B dt C d Dd
S
1 1
2 1
2 2
1 1
2 2
2 C
2 2
σ 0 0
2 1
2 2
2 1
1 2
2
1 2
D
2 2
1 0 0
1 1
2 1
2 2
2 1
1 2
2
1 2
0 0 A
2 2
1 2
2 2
2 1
1 2
2
0 0 2
0 0 A
2 2
1 1
2 2
1 2
1
1 2
B A
A
2 2
1 1
0 0 1
2 2
1 2
1 1
1
t t
t t
t
S S
X log
log T t
T t S
CS
1
t t
S log
T t S
maka
1 1
2 1
1 1
1 t
t t
t t
dS A X
B dt C d Dd
S
2
1 1
1 2
t t
t
S log
dt d
T t S
2
1 1
2
T t
t
S log
dt d
T t S
. Dengan demikian akibat terbukti.
3.5 Nilai Harapan Kekayaan Investor
Persamaan 23
yang menyatakan
kekayaan investor adalah
1 2
1 2
1 2
t t
t t
t t
t t
dY dS
dS Y
S S
1 2
1 2
1 2
t t
t t
t t
t t
dS dS
dY Y
S S
1 2
1 2
1 2
T t
t t
t t
t t
t
dS dS
Y Y
S S
47 Nilai harapan dari kekayaan investor adalah
kekayaan tetap investor ditambah dengan nilai harapan kekayaan investor yang dimaksimumkan.
1 2
1 2
1 2
T t
t T
t t
T t
t
dS dS
E Y Y
E Y
S S
. 48 Jika persamaan 34 dan 35 disubstitusikan
ke persamaan 48, maka nilai harapan dari kekayaan investor dapat ditulis
1 1
2 2
2 2
1 1
1 2
2 2
T T
t t
t t
t t
t t
T
E Y Y
E A X
B dt C d Dd
A X B dt
C d Dd
Y dt
1 2
1 1
2 2
T t
t t
t T
Y E
A X B
A X B
Y dt
49 Berdasarkan teorema
1 2
1 1
2 2
, ,
t t
t t
Z Z A X
B A X B
,
maka persamaan 49 menjadi
1 1
2 2
T T
t t
t t
T
E Y Y
E Z
Z Y dt
. Karena nilai harapan dari proses Wiener
adalah nol, maka nilai harapan dari gerak Brown
adalah nol, sehingga integral mempunyai nilai harapan nol. Karena asumsi
tanpa pinjaman, maka . Integral
tersebut akan maksimal jika
1 1
2 2
t t
t t
Z Z
maksimal untuk setiap t.
IV SIMPULAN DAN SARAN
4.1 Simpulan