Turunan Suatu Fungsi Nilai Maksimum dan Minimum

6

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Turunan Suatu Fungsi

Definisi 2.1 Dipunyai fungsi Turunan fungsi f pada selang didefinisikan sebagai h x f h x f x f h − + = →0 lim apabila nilai limit ini ada untuk setiap di Chotim, 2008: 124. Rumus-rumus turunan Teorema 2.1 Dipunyai fungsi K dan R I R I f ⊂ → , : suatu konstanta di . R Jika K x f = untuk setiap , I di x maka [ ] . = dx x f d Bukti: [ ] . lim lim lim = = − = − + = → → → h h h h K K h x f h x f dx x f d Jelas Teorema 2.2 Jika fungsi , , : , R I R I g f ⊂ → mempunyai turunan di I x ∈ maka [ ] [ ] [ ] . . . x f dx d x g x g dx d x f x g x f dx d + = 7 Bukti: [ ] [ ] [ ] . . . lim . lim lim . lim . . . . lim . . lim x f dx d x g x g dx d x f h x g h x g x f h x g h x f h x f h x g x f h x g x f h x g x f h x g h x f h x g x f h x g h x f x g x f dx d Jelas h h h h h h + = − + + + − + = − + + + − + + = − + + = → → → → → → Teorema 2.3 Jika , , : n x x f R R f = → dan n sebarang bilangan real, maka . . 1 − = n n x n dx x d Bukti: Tulis . . : 1 − = n n x n dx x d n P ¾ Jelas . . 1 : 1 1 1 − = x dx x d P Jelas . . 1 . 1 1 1 1 − = = = x x dx x d Jadi 1 P benar. ¾ Dipunyai k P benar. Jelas . . 1 − = k k x k dx x d 8 . . 1 . . . . . . 1 1 1 1 − + − + + = + = + = + = = k k k k k k k k k x k x x k x x k x dx x d x dx x d x dx x x d dx x d Jadi Jadi 1 + k P benar apabila k P benar. Jadi n P benar. Jadi . . 1 − = n n x n dx x d Teorema 2.4 Jika fungsi , , : , ≠ ⊂ → x g R I R I g f mempunyai turunan di I x ∈ maka [ ] [ ] [ ] . 2 x g x g dx d x f x f dx d x g x g x f dx d − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Bukti: Tulis x g x f x F = . Jelas h x F h x F x F h − + = →0 lim x g h x g h h x g x f x g x f x g x f x g h x f x g h x g h h x g x f x g h x f h x g x f h x g h x f h h h . . . . . . lim . . . . lim lim + + − + − + = + + − + = − + + = → → → 9 [ ] . lim . lim lim . lim lim . lim . lim 2 x g x g x f x f x g x g h x g h x g h x g x f h x f h x f x g x g h x g h x g h x g x f h x f h x f x g h h h h h h h − = + − + − − + = + − + − − + = → → → → → → →

2.2 Nilai Maksimum dan Minimum

Definisi 2.2 Fungsi f mempunyai maksimum mutlak atau maksimum global di c jika x f c f ≥ untuk semua x di , D dengan D adalah daerah asal . f Bilangan c f disebut nilai maksimum f pada . D Secara serupa, f mempunyai minimum mutlak di c jika x f c f ≤ untuk semua x di D dan bilangan c f disebut nilai minimum f pada . D Nilai maksimum dan minimum f disebut nilai ekstrim f Stewart J., 1998:248. Gambar 1. Grafik dengan min f a f = dan . maks f d f = 10 Gambar 1 memperlihatkan grafik fungsi f dengan maksimum mutlak di d dan minimum mutlak di . a Jadi, d f d , adalah titik tertinggi pada grafik dan a f a , adalah titik terendah. Contoh Dipunyai fungsi R R f → : dengan 1 2 2 + − − = x x f . Sket grafik f : Gambar 2. Grafik dengan . Intuisi: 1 2 = f merupakan nilai maksimum f . Bukti: Ambil sembarang R x ∈ . Jelas R x ∈ − 2 . Jelas 2 2 2 2 ≤ − − ⇔ ≥ − x x . 2 1 1 2 2 f x f x ≤ ⇔ ≤ + − − ⇔ Jadi . 2 R x x f f ∈ ∀ ≥ Jadi 1 2 = f merupakan nilai maksimum . f 11 Definisi 2.3 Dipunyai fungsi . : R R f → a Jika terdapat suatu selang R D ⊂ yang memuat c sehingga berlaku D x x f c f ∈ ∀ ≥ , maka c f disebut nilai maksimum relatif . f b Jika terdapat suatu selang R D ⊂ yang memuat c sehingga berlaku D x x f c f ∈ ∀ ≤ , maka c f disebut nilai minimum relatif . f Contoh Dipunyai fungsi R R f → : yang diberikan dengan 2 4 x x f − = . Tentukan nilai-nilai ekstrim relatif . f Penyelesaian: Jelas ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − ≤ − − − − = 2 , 4 2 2 , 4 2 , 4 2 2 2 x x x x x x x f Grafik fungsi f sebagai berikut. Gambar 3. Grafik dengan rel rel f f f f min min 2 , 2 = = − dan . rel maks f f = 12 Bukti: a Pilih . 1 = δ Bangun . 1 , 3 1 2 , 1 2 − − = + − − − = D . Ambil sembarang . D x ∈ Jelas . 1 3 − − x Kasus : 2 3 − − x Jelas 5 4 9 4 2 2 − ⇔ x x . 5 2 − ⇔ x f f Jadi . 2 x f f ≤ − Kasus : 1 2 − ≤ − x Jelas 1 4 4 1 2 2 − − ≤ − ⇔ ≤ x x . 3 2 3 4 2 ≤ − ⇔ − ≤ ⇔ x f f x Jadi . 2 x f f ≤ − Jadi terdapat selang R D ⊂ sehingga . 2 D x x f f ∈ ∀ ≤ − Jadi 2 = − f merupakan nilai minimum relatif . f b Pilih . 1 = δ Bangun . 1 , 1 1 , 1 − = + − = D Ambil sembarang . D x ∈ Jelas . 1 1 − x Kasus : 1 − x Jelas 1 1 2 2 − − ⇔ x x 13 . 3 4 4 3 2 f x f x ⇔ − ⇔ Jadi . f x f ≤ Kasus : 1 ≤ x Jelas 0 1 1 2 2 ≤ − − ⇔ ≤ x x . 3 4 4 3 2 f x f x ≤ ⇔ ≤ − ⇔ Jadi . f x f ≤ Jadi terdapat selang R D ⊂ sehingga . D x x f f ∈ ∀ ≥ Jadi 4 = f merupakan nilai maksimum relatif . f c Pilih . 1 = δ Bangun . 3 , 1 1 2 , 1 2 = + − = D Ambil sembarang . D x ∈ Jelas . 3 1 x Kasus : 2 1 x Jelas 1 4 4 1 2 2 − − ⇔ x x . 3 2 3 4 2 ⇔ − ⇔ x f f x Jadi . 2 x f f ≤ Kasus : 3 2 ≤ x Jelas 5 4 9 4 2 2 − ≤ ⇔ ≤ x x . 5 2 ≤ ⇔ x f f 14 Jadi . 2 x f f ≤ Jadi terdapat selang R D ⊂ sehingga . 2 D x x f f ∈ ∀ ≤ Jadi 2 = f merupakan nilai minimum relatif . f

2.3 Cahaya