6
BAB II LANDASAN TEORI
2.1 Turunan Suatu Fungsi
Definisi 2.1 Dipunyai fungsi
Turunan fungsi f pada selang didefinisikan sebagai
h x
f h
x f
x f
h
− +
=
→0
lim
apabila nilai limit ini ada untuk setiap di Chotim, 2008: 124.
Rumus-rumus turunan
Teorema 2.1 Dipunyai fungsi
K dan
R I
R I
f ⊂
→ , :
suatu konstanta di .
R Jika
K x
f =
untuk setiap
, I
di x
maka
[ ]
. =
dx x
f d
Bukti:
[ ]
. lim
lim lim
= =
− =
− +
=
→ →
→
h h
h
h K
K h
x f
h x
f dx
x f
d Jelas
Teorema 2.2 Jika fungsi
, ,
: ,
R I
R I
g f
⊂ →
mempunyai turunan di I
x ∈ maka
[ ]
[ ]
[ ]
. .
. x
f dx
d x
g x
g dx
d x
f x
g x
f dx
d +
=
7
Bukti:
[ ]
[ ]
[ ]
. .
. lim
. lim
lim .
lim .
. .
. lim
. .
lim
x f
dx d
x g
x g
dx d
x f
h x
g h
x g
x f
h x
g h
x f
h x
f h
x g
x f
h x
g x
f h
x g
x f
h x
g h
x f
h x
g x
f h
x g
h x
f x
g x
f dx
d Jelas
h h
h h
h h
+ =
− +
+ +
− +
= −
+ +
+ −
+ +
= −
+ +
=
→ →
→ →
→ →
Teorema 2.3 Jika
, ,
:
n
x x
f R
R f
= →
dan n sebarang bilangan real, maka
. .
1 −
=
n n
x n
dx x
d
Bukti: Tulis
. .
:
1 −
=
n n
x n
dx x
d n
P
¾ Jelas
. .
1 :
1
1 1
−
= x dx
x d
P
Jelas
. .
1 .
1 1
1 1
−
= =
= x
x dx
x d
Jadi 1
P benar.
¾ Dipunyai
k P
benar. Jelas
. .
1 −
=
k k
x k
dx x
d
8
. .
1 .
. .
. .
.
1 1
1 1
− +
− +
+ =
+ =
+ =
+ =
=
k k
k k
k k
k k
k
x k
x x
k x
x k
x dx
x d
x dx
x d
x dx
x x
d dx
x d
Jadi
Jadi 1
+ k
P benar apabila
k P
benar. Jadi
n P
benar. Jadi
. .
1 −
=
n n
x n
dx x
d
Teorema 2.4 Jika fungsi
, ,
: ,
≠ ⊂
→ x
g R
I R
I g
f mempunyai turunan di
I x
∈
maka
[ ]
[ ]
[ ]
.
2
x g
x g
dx d
x f
x f
dx d
x g
x g
x f
dx d
− =
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
Bukti: Tulis
x g
x f
x F
= .
Jelas
h x
F h
x F
x F
h
− +
=
→0
lim
x g
h x
g h
h x
g x
f x
g x
f x
g x
f x
g h
x f
x g
h x
g h
h x
g x
f x
g h
x f
h x
g x
f h
x g
h x
f
h h
h
. .
. .
. .
lim .
. .
. lim
lim
+ +
− +
− +
= +
+ −
+ =
− +
+ =
→ →
→
9
[ ]
. lim
. lim
lim .
lim lim
. lim
. lim
2
x g
x g
x f
x f
x g
x g
h x
g h
x g
h x
g x
f h
x f
h x
f x
g x
g h
x g
h x
g h
x g
x f
h x
f h
x f
x g
h h
h h
h h
h
− =
+ −
+ −
− +
= +
− +
− −
+ =
→ →
→ →
→ →
→
2.2 Nilai Maksimum dan Minimum
Definisi 2.2 Fungsi
f
mempunyai maksimum mutlak atau maksimum global di c jika x
f c
f ≥
untuk semua x di
, D
dengan
D
adalah daerah asal
. f
Bilangan c
f disebut nilai maksimum
f
pada . D
Secara serupa,
f
mempunyai minimum mutlak di c jika x
f c
f ≤
untuk semua x di
D
dan bilangan c
f disebut nilai minimum
f
pada . D
Nilai maksimum dan minimum
f
disebut nilai ekstrim
f
Stewart J., 1998:248.
Gambar 1. Grafik dengan
min
f a
f =
dan
.
maks
f d
f =
10
Gambar 1 memperlihatkan grafik fungsi
f
dengan maksimum mutlak di d
dan minimum mutlak di .
a Jadi, d
f d
, adalah titik tertinggi pada
grafik dan a
f a
, adalah titik terendah.
Contoh Dipunyai fungsi
R R
f →
:
dengan
1 2
2
+ −
− = x
x f
. Sket grafik
f
:
Gambar 2. Grafik dengan .
Intuisi: 1
2 =
f merupakan nilai maksimum
f
. Bukti:
Ambil sembarang R
x ∈ .
Jelas R
x ∈
− 2 .
Jelas
2 2
2 2
≤ −
− ⇔
≥ −
x x
. 2
1 1
2
2
f x
f x
≤ ⇔
≤ +
− −
⇔
Jadi .
2 R
x x
f f
∈ ∀
≥ Jadi
1 2
= f
merupakan nilai maksimum
. f
11
Definisi 2.3 Dipunyai fungsi
. :
R R
f →
a Jika terdapat suatu selang
R D
⊂
yang memuat c sehingga berlaku D
x x
f c
f ∈
∀ ≥
, maka c
f disebut nilai maksimum relatif
. f
b Jika terdapat suatu selang
R D
⊂
yang memuat c sehingga berlaku D
x x
f c
f ∈
∀ ≤
, maka c
f disebut nilai minimum relatif
. f
Contoh Dipunyai fungsi
R R
f →
:
yang diberikan dengan
2
4 x
x f
− =
. Tentukan nilai-nilai ekstrim relatif
. f
Penyelesaian:
Jelas ⎪
⎩ ⎪
⎨ ⎧
≥ −
≤ −
− −
− =
2 ,
4 2
2 ,
4 2
, 4
2 2
2
x x
x x
x x
x f
Grafik fungsi
f
sebagai berikut.
Gambar 3. Grafik dengan
rel rel
f f
f f
min min
2 ,
2 =
= −
dan .
rel maks
f f
=
12
Bukti: a
Pilih . 1
= δ
Bangun .
1 ,
3 1
2 ,
1 2
− −
= +
− −
− =
D .
Ambil sembarang .
D x
∈ Jelas .
1 3
− −
x Kasus :
2 3
− −
x Jelas
5 4
9 4
2 2
− ⇔
x x
. 5
2 −
⇔ x
f f
Jadi .
2 x
f f
≤ −
Kasus : 1
2 −
≤ −
x Jelas
1 4
4 1
2 2
− −
≤ −
⇔ ≤
x x
. 3
2 3
4
2
≤ −
⇔ −
≤ ⇔
x f
f x
Jadi .
2 x
f f
≤ −
Jadi terdapat selang
R D
⊂
sehingga .
2 D
x x
f f
∈ ∀
≤ −
Jadi 2
= −
f merupakan nilai minimum relatif
. f
b Pilih .
1 =
δ Bangun
. 1
, 1
1 ,
1 −
= +
− =
D Ambil sembarang
. D
x ∈
Jelas . 1
1 −
x Kasus :
1 −
x Jelas
1 1
2 2
− −
⇔ x
x
13
. 3
4 4
3
2
f x
f x
⇔ −
⇔
Jadi .
f x
f ≤
Kasus : 1
≤ x Jelas 0
1 1
2 2
≤ −
− ⇔
≤ x
x
. 3
4 4
3
2
f x
f x
≤ ⇔
≤ −
⇔
Jadi .
f x
f ≤
Jadi terdapat selang
R D
⊂
sehingga .
D x
x f
f ∈
∀ ≥
Jadi 4
= f
merupakan nilai maksimum relatif
. f
c Pilih .
1 =
δ Bangun
. 3
, 1
1 2
, 1
2 =
+ −
= D
Ambil sembarang .
D x
∈ Jelas .
3 1
x Kasus :
2 1
x Jelas
1 4
4 1
2 2
− −
⇔ x
x
. 3
2 3
4
2
⇔ −
⇔ x
f f
x
Jadi .
2 x
f f
≤ Kasus :
3 2
≤ x Jelas
5 4
9 4
2 2
− ≤
⇔ ≤
x x
. 5
2 ≤
⇔ x
f f
14
Jadi .
2 x
f f
≤ Jadi terdapat selang
R D
⊂
sehingga .
2 D
x x
f f
∈ ∀
≤ Jadi
2 =
f merupakan nilai minimum relatif
. f
2.3 Cahaya