4 pada tugas akhir ini di
ambil judul “ Tinjauan Kasus Persamaan Panas Dimensi Satu secara Analitik
”. B.
Batasan Masalah
Beberapa batasan permasalahan yang perlu diperhatikan dalam tugas akhir ini, sebagai berikut.
1. Persamaan panas satu dimensi.
2. Persamaan panas dimensi satu tentang masalah nilai awal dan syarat batas
yang berbeda.
C. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan di atas, diperoleh rumusan masalah sebagai berikut.
1.
Bagaimana model persamaan panas dimensi satu?.
2. Bagaimana solusi persamaan panas dimensi satu dengan nilai awal
dansyarat batas yang berbeda?. D.
Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut.
1. Menjelaskan model persamaan panas dimensi satu.
2. Menjelaskan solusi persamaan panas dimensi satu dengan nilai awal dan
syarat batas yang berbeda.
5
E. Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut. 1.
Bagi mahasiswa Menambah pengetahuan tentang model persamaan panas dimensi satu,
dapat menyelesaikan persamaan panas dimensi satu dengan masalah nilai awal dan syarat batas yang berbeda.
2. Bagi universitas
Hasil penelitian ini diharapkan dapat menambah bahan referensi yang bermanfaat bagi Universitas Negeri Yogyakarta, khususnya pada Jurusan
Pendidikan Matematika. 3.
Bagi pembaca Hasil penelitian ini diharapkan dapat digunakan sebagai bahan acuan
dalam penelitian persamaan panas dimensi satu.
6
BAB II KAJIAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas tentang beberapa hal yang menjadi landasan dalam penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema,
dan beberapa kajian matematika, antara lain tentang Fungsi, Fungsi Genap, Fungsi Ganjil, Limit, Turunan, Turunan Fungsi Trigonometri dan Fungsi
Hiperbolik, Persamaan Diferensial, Persamaan Diferensial Biasa, Integral Tentu, Integral Parsial, Teorema Nilai Rata-Rata Integral, Persamaan
Diferensial Parsial, Masalah Nilai Awal dan Syarat Batas,
Masalah Sturm- Liouville dan Fungsi
Eigen, Orthogonal Fungsi Eigen, Metode Separasi Variabel, Deret Fourier, Sifat-Sifat Perambatan Panas. Berikut ini penjelasannya.
A. Fungsi
Definisi 2.1 Fungsi Dale Varberg Edwin J Purcell, 2010 : 76:
Sebuah fungsi adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah
nilai tunggal dari suatu himpunan kedua yag disebut daerah hasil.
Contoh 2.1:
= { , , , , , , , , , } = { , , , , , , , , ,
} = { , , , , , }
Berdasarkan Definisi 2.1, himpunan dan merupakan fungsi, sedangkan himpunan bukan merupakan fungsi. Hal ini dikarenakan setiap domain di
7 himpunan A memasangkan tepat satu dengan sebuah nilai tunggal di
kodomain. Begitu juga untuk himpunan , namun hal yang berbeda untuk satu nilai domain pada himpunan yang mempunyai dua anggota di kodomain.
Sehingga hal tersebut tidak sesuai dengan definisi fungsi. Selanjutnya akan dibahas tentang fungsi genap dan fungsi ganjil, berikut ini
penjelasannya.
Definisi 2.2 Fungsi Genap Walter A. Strauss, 1992 : 110:
Sebuah fungsi genap adalah fungsi yang dapat dinyatakan seperti Persamaan 2.1
− = 2.1
artinya bahwa grafik =
akan simetris terhadap sumbu .
Definisi 2.3 Fungsi Ganjil Walter A. Strauss, 1992 : 110:
Sebuah fungsi ganjil adalah fungsi yang dapat dinyatakan seperti Persamaan 2.2
− = − .
2.2 artinya bahwa grafik
= akan simetris terhadap titik asal.
Contoh 2.2:
= 2.3
= 2.4
= 2.5
8 =
2.6 = .
2.7 Berdasarkan Definisi 2.3, Persamaan 2.3 pada Contoh 2.2 merupakan
fungsi ganjil, karena − = −
= − = − . Persamaan 2.5 juga
merupakan fungsi ganjil, karena − =
− = −
= − .
Persamaan 2.4 dan Persamaan 2.6 merupakan fungsi genap, karena − = −
= =
dan − =
− =
= . Persamaan 2.7 merupakan fungsi genap sekaligus fungsi
ganjil karena − =
= . B.
Limit Definisi 2.4 Limit : Dale Varberg Edwin J Purcell, 2010 : 118:
Diberikan
→
= � yang artinya untuk setiap yang nilainya sangat kecil, terdapat
, sedemikian sehingga | − �| dengan syarat
| − | atau dengan kata lain | − | → |
− �| .
Contoh 2.3:
Akan dibuktikan bahwa lim
→ − −
−
= .
Analisis pendahuluan:
Akan ditentukan nilai dari , sedemikian sehingga
9 | − | → |
− − −
− |
sehingga
| −
− −
− | ↔ | +
− −
− |
↔ | +
− | ↔ | − |
↔ | − |
↔ | || − |
↔ | − | 2.8
Berdasarkan Persamaan 2.8 diperoleh nilai dari =
�
.
Bukti baku:
Andaikan nilai dari , dan dipilih nilai dari =
�
, sehingga didapatkan
| −
− −
− | = | +
− −
− | = | + − |
= | − | = | − |
=
Dale Varberg Edwin J Purcell, 2010 : 120.
10
C. Turunan
