27 karena nilai dari
� = , maka �
= . + . + . + ⋯ + . = Terbukti.
I. Solusi Persamaan Diferensial Parsial
1. Masalah Nilai Awal dan Syarat Batas
Untuk ilustrasi yang lebih mudah, dalam hal ini diambil tinjauan sebuah batang logam dengan panjang yang dipanasi dengan suhu tertentu. Misalkan
, menyatakan suhu pada posisi saat waktu sama dengan nol dan , sehingga suhu saat = untuk setiap posisi dikatakan masalah nilai
awal. Secara umum syarat batas dibedakan menjadi tiga yaitu syarat batas
Dirichlet, syarat Neumann, dan syarat batas Robin atau Campuran dari syarat batas Dirichlet dan Neumann. Syarat batas Dirichlet adalah syarat batas yang
kedua ujung batang logam dipertahankan nol derajat, dalam hal ini yang digunakan untuk mempertahankan suhunya nol derajat adalah benda yang
bersifat isolator. Misalkan , merupakan suhu pada posisi saat waktu ke
. Apabila syarat batas Dirichlet dituliskan dalam bentuk notasi matematika, maka
, = , = dengan .
Syarat batas Neumann adalah syarat batas yang perubahan suhu di kedua ujung batang logam dipertahankan 0 derajat. Misalkan
� ,
�
merupakan perubahan suhu terhadap posisi. Apabila syarat batas Neumann dituliskan dalam
notasi matematika, maka
� ,
�
=
� ,
�
= dengan .
28 Syarat batas Robin adalah syarat batas yang perubahan suhu pada posisi
= dipertahankan nol derajat, sedangkan suhu pada posisi =
dipertahankan nol derajat. Apabila dituliskan dalam notasi matematika, maka
� ,
�
= , = dengan . Syarat batas Robin disebut juga syarat batas
campuran. Hal ini dikarenakan, syarat batas Robin merupakan kombinasi linear dari dari syarat batas Dirichlet dan Neumann Dean G. Duffy, 2003 : 648.
2. Masalah Sturm-Liouville dan Fungsi Eigen
Definisi 2.11 Masalah Sturm-Liouville Dean G. Duffy, 2003:501:
Diberikan Persamaan Diferensial linear berorde 2 berikut ini
[ ] + [
+ � ] =
+
′
+ [ + �
] = , untuk 2.19
dengan syarat batas +
′
= dan +
′
= . Dalam hal ini nilai dari
, , dan
merupakan fungsi bilangan real atas , �
adalah suatu parameter. Nilai dari , , , merupakan suatu konstanta real,
sedangkan nilai dari dan
merupakan suatu fungsi yang kontinu dan positif yang terletak pada interval
, sehingga Persamaan 2.19 disebut sebagai Masalah Sturm-Liouville.
Ketika atau
hilang di salah satu ujung interval [ , ] atau pada interval
tak terbatas, masalah ini merupakan masalah Sturm-Liouville tunggal. Dengan mempertimbangkan solusi untuk masalah reguler Sturm-Liouville, diperoleh
29 solusi
= untuk semua nilai �. Namun, solusi nontrivial ada jika diambil nilai tertentu, nilai ini disebut nilai karakteristik atau nilai eigen. Nilai yang
sesuai solusi nontrivial adalah disebut fungsi karakteristik atau fungsi eigen.
Dean G. Duffy, 2003 : 502.
Selanjutnya, akan ditentukan akar-akar karakteristik dari Persamaan 2.19. Secara umum, akar-akar karakteristik dari suatu persamaan diferensial
linear homogen orde 2 dibedakan menjadi 3, yaitu: 1.
Akar-akar karakteristik riil berbeda Misalkan akar dari persamaan karakteristik pada Persamaan 2.19 adalah
dan , maka solusi umum dari Persamaan 2.19 adalah =
+ =
ℎ +
ℎ .
2. Akar-akar karakteristik riil kembar
Misalkan akar dari persamaan karakteristik pada Persamaan 2.19 suatu akar riil kembar yaitu , maka solusi umum dari Persamaan 2.19 adalah
= +
. 3.
Akar-akar karakteristik bilangan kompleks Misalkan akar dari persamaan karakteristik pada Persamaan 2.19 adalah
+ dan − , maka solusi umum dari Persamaan 2.19 adalah =
+
Ross,L.S, 1984 :126.
30
Contoh 2.9:
Akan ditentukan solusi umum dari Masalah Sturm-Liouville pada Persamaan 2.20
� − �
= . 2.20
Persamaan karakteristik pada Persamaan 2.20 adalah −
= −
+ =
,
= ±
sehingga solusi umum Persamaan 2.20 adalah �
= +
−
� =
+ +
−
−
� =
+ + +
−
−
−
� =
+
−
+ −
−
� =
+
−
+ −
−
� =
ℎ +
ℎ .
Jadi, solusi umum dari Persamaan 2.20 adalah
31 �
= ℎ
+ ℎ
.
Contoh 2.10:
Akan ditentukan solusi umum dari Masalah Sturm-Liouville pada Persamaan 2.21
� − �′
+ � = .
2.21 Persamaan karakteristik dari Persamaan 2.21 adalah
− +
= −
=
,
=
Jadi, solusi umum dari Persamaan 2.21 adalah �
= +
.
Contoh 2.11:
Akan ditentukan solusi umum dari Masalah Sturm-Liouville pada Persamaan 2.22
� + �
= . 2.22
Persamaan karakteristik dari Persamaan 2.22 adalah +
=
= ±√−
32
,
= ±
sehingga solusi umum Persamaan 2.22 adalah �
= +
−
� =
+ +
− �
= +
+ −
� =
+ +
− �
= +
+ −
� =
+
Jadi, solusi umum dari Persamaan 2.22 adalah �
= +
.
3. Ortogonal Fungsi Eigen