15 =
+
−
’ =
−
−
’ =
−
−
’ =
ℎ
Terbukti. Berikutnya akan dibahas tentang integral tentu. Integral tentu pada BAB III
digunakan untuk menentukan luasan perambatan panas pada suatu interval tertutup, berikut penjelasannya.
E. Integral Tentu
Diberikan sebuah fungsi pada interval [ , ] kemudian dipartisi
terhadap sumbu sebanyak seperti tampak pada Gambar 2.2 berikut ini.
Gambar 2.2 Partisi Sumbu Titik Partisi
Titik Sampel Partisi
∆ ∆
∆
=
− ∗
∗ ∗
. . . .
. . . .
16 Pada Gambar 2.2 merupakan partisi sumbu dengan titik titik partisi
= ⋯
−
= . Apabila disketsakan pada sumbu dan sumbu , diperoleh bentuk partisi berupa persegi panjang, maka jumlahan semua
persegi panjang dengan banyaknya partisi disebut Jumlahan Riemann. Pada Prinsipnya konsep Integral merupakan Jumlahan Riemann. Langkah-langkah
penyelesaian sebagai berikut ini. 1.
Partisi fungsi menjadi beberapa bagian misalkan banyak partisi ,
dalam hal ini semakin banyak partisinya semakin bagus, karena nilainya akan mendekati nilai eksak atau dengan kata lain errornya sangat kecil.
2. Apabila kita akan menentukan hasil dari
pada interval [a,b], maka tentukan jarak di setiap partisinya
∆ = −
−
, dengan = , , … . .
3. Setelah itu tentukan nilai dari
∗
. 4.
Kemudian gunakan konsep jumlahan luas persegi panjang yaitu ∑
∗
∆
=
Dale Varberg Edwin J Purcell, 2010:363. Definisi 2.6 Integral Tentu Dale Varberg Edwin J Purcell, 2010: 363:
Andaikan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup [a,b]. Jika
|�|→
∑
∗
∆
=
ada, kita katakan f adalah terintegralkan pada [a,b]. Lebih lanjut ∫
disebut integral tentu atau integral Riemann f dari a ke b, diberikan oleh
17 ∫
=
|�|→
∑
∗
∆
=
.
Contoh 2.5:
Akan ditentukan luas daerah = + pada interval [− , ].
Apabila grafik = + disketsakan dalam koordinat kartesius, maka
tampak pada Gambar 2.3.
Apabila pada interval [− , ] dipartisi sebanyak bagian, maka diperoleh jarak
antar partisi ∆ =
− −
= dengan ∆ = −
−
, = , , , … . Dengan partisi pada interval
[ , ] adalah = …
−
= . Gambar 2.3 Fungsi
= + dipartisi sebanyak
− = +
18 = −
= − + ∆ = − +
= − + ∆ = − +
= − + ∆ = − +
. . .
−
= − + − ∆ = − +
−
= − + ∆ = − + =
karena
∗
merupakan titik-titik di ujung sebelah kanan di setiap partisinya, sehingga diperoleh
=
∗
= − + dan
∗
=
∗
+ = − + + = +
. Oleh karena itu diperoleh
∫ +
−
=
|�|→
∑
∗
∆
=
=
|�|→
∑ +
=
19 = lim
|�|→
∑
=
+ ∑
=
= lim
→∞
+ + + + ⋯ +
= lim
→∞
+ +
= lim
→∞
+ + = + = .
Jadi, hasil dari ∫
+
−
= satuan luas.
Teorema 2.5 Teorema Dasar Kalkulus Dale Varberg Edwin J Purcell, 2010 : 372:
Misalkan kontinu pada interval [ , ] dan misalkan antiturunan dari ,
sehingga
∫ =
− .
Bukti: Misalkan
: = ⋯
−
= adalah partisi pada interval
[ , ], sehingga
20 −
= −
−
+
−
−
−
+ ⋯ +
− +
−
− = ∑
−
−
.
=
Menurut Teorema nilai rata-rata turunan pada selang [
−
, ] adalah −
−
=
′ ∗
−
, =
∗
∆
Sehingga diperoleh
− = ∑
∗
∆ .
=
Apabila partisinya diambil sangat kecil | | → , maka
− = lim
|�|→
∑
∗
∆
=
= ∫ .
Terbukti.
Contoh 2.6:
Akan ditentukan hasil dari ∫
− .
Berdasarkan Teorema 2.5, sehingga diperoleh
∫ −
= −
− ]
21 ∫
− =
− −
−
∫ −
= −
− =
− . =
Jadi, hasil dari ∫
− = .
F. Integral Parsial
