Turunan Turunan Fungsi Trigonometri dan Hiperbolik

10

C. Turunan

Misalkan merupakan titik tetap yang terletak pada kurva = dan merupakan titik yang berdekatan dengan yang melalui = seperti tampak pada Gambar 2.1. Kemiringan garis yang melalui titik dan pada Gambar 2.1 adalah = ′ = ∆ ∆ = ′ = + ℎ − + ℎ − = ′ = + ℎ − ℎ 2.9 Apabila nilai dekat dengan , maka nilai limit dari ℎ → , sehingga Persamaan 2.9 dapat dituliskan ′ = lim ℎ→ + ℎ − ℎ . Gambar 2.1 Ilustrasi Garis singgung 11 Definisi 2.5 Turunan Dale Varberg Edwin J Purcell, 2010 : 163: Turunan pertama fungsi dinotasikan ’ yang nilainya pada sembarang adalah ′ = ℎ→ + ℎ − ℎ dengan syarat nilai limit dari ada. Notasi dari turunan disimbolkan dengan notasi Leibniz , , ... atau notasi prima ′ , , ′′′, … atau bisa dinotasikan sebagai , , , …. atau ’ , , ′′′ …. Contoh 2.4: Akan ditentukan turunan pertama dari = − . Menurut Definisi 2.5, sehingga ′ = lim ℎ→ + ℎ − − − ℎ ′ = lim ℎ→ + ℎ − − − ℎ ′ = lim ℎ→ + ℎ − − + ℎ ′ = lim ℎ→ ℎ ℎ = . Jadi, turunan pertama dari adalah . 12

D. Turunan Fungsi Trigonometri dan Hiperbolik

Teorema 2.1 Turunan Fungsi Sin Dale Varberg Edwin J Purcell, 2010 :182: Jika = , maka ’ = . Bukti: Berdasarkan Definisi 2.5, sehingga ′ = ℎ→ + ℎ − ℎ ′ = ℎ→ + ℎ − ℎ ′ = ℎ→ ℎ + ℎ − ℎ ′ = ℎ→ − − ℎ ℎ + ℎ ℎ ′ = − ℎ→ − ℎ ℎ + ℎ→ ℎ ℎ ′ = − . + . = Terbukti. Teorema 2.2 Turunan Fungsi Cos Dale Varberg Edwin J Purcell, 2010 :182: Jika = , maka ’ = − . 13 Bukti: Berdasarkan Definisi 2.5, sehingga ′ = lim ℎ→ + ℎ − ℎ ′ = lim ℎ→ + ℎ − ℎ ′ = lim ℎ→ cos ℎ − sin sin ℎ − cos ℎ ′ = lim ℎ→ − cos − cos ℎ ℎ − sin ℎ ℎ ′ = − lim ℎ→ − cos ℎ ℎ − lim ℎ→ sin ℎ ℎ ′ = − . − . = − Terbukti. Teorema 2.3 Turunan Fungsi Sinh Dale Varberg Edwin J Purcell, 2010 : 541: Jika = ℎ , maka ’ = ℎ . Bukti: Bentuk lain dari ℎ adalah � − −� , sehingga = − − 14 = − − = − − = − − ’ = + − ’ = + − ’ = ℎ Terbukti. Teorema 2.4 Turunan Fungsi Cosh Dale Varberg Edwin J Purcell, 2010 : 541: Jika = ℎ , maka ’ = ℎ . Bukti: Bentuk lain dari ℎ , adalah � + −� , sehingga = + − = + − 15 = + − ’ = − − ’ = − − ’ = ℎ Terbukti. Berikutnya akan dibahas tentang integral tentu. Integral tentu pada BAB III digunakan untuk menentukan luasan perambatan panas pada suatu interval tertutup, berikut penjelasannya.

E. Integral Tentu