10
C. Turunan
Misalkan merupakan titik tetap yang terletak pada kurva =
dan merupakan titik yang berdekatan dengan yang melalui
= seperti
tampak pada Gambar 2.1.
Kemiringan garis yang melalui titik dan pada Gambar 2.1 adalah = ′
= ∆
∆
= ′ =
+ ℎ − + ℎ −
= ′ =
+ ℎ − ℎ
2.9
Apabila nilai dekat dengan , maka nilai limit dari ℎ → , sehingga
Persamaan 2.9 dapat dituliskan
′
= lim
ℎ→
+ ℎ − ℎ
. Gambar 2.1 Ilustrasi Garis singgung
11
Definisi 2.5 Turunan Dale Varberg Edwin J Purcell, 2010 : 163:
Turunan pertama fungsi dinotasikan
’ yang nilainya pada sembarang
adalah ′
=
ℎ→
+ ℎ − ℎ
dengan syarat nilai limit dari ada.
Notasi dari turunan disimbolkan dengan notasi Leibniz ,
, ... atau notasi
prima
′
, , ′′′, … atau bisa dinotasikan sebagai ,
, , ….
atau ’
, , ′′′
….
Contoh 2.4:
Akan ditentukan turunan pertama dari =
− . Menurut Definisi 2.5, sehingga
′ = lim
ℎ→
+ ℎ − −
− ℎ
′ = lim
ℎ→
+ ℎ − −
− ℎ
′ = lim
ℎ→
+ ℎ − −
+ ℎ
′
= lim
ℎ→
ℎ ℎ = .
Jadi, turunan pertama dari adalah .
12
D. Turunan Fungsi Trigonometri dan Hiperbolik
Teorema 2.1 Turunan Fungsi Sin Dale Varberg Edwin J Purcell, 2010 :182:
Jika =
, maka ’ =
.
Bukti: Berdasarkan Definisi 2.5, sehingga
′ =
ℎ→
+ ℎ − ℎ
′
=
ℎ→
+ ℎ − ℎ
′
=
ℎ→
ℎ + ℎ −
ℎ
′
=
ℎ→
− −
ℎ ℎ
+ ℎ
ℎ
′
= −
ℎ→
− ℎ
ℎ +
ℎ→
ℎ ℎ
′
= − . +
. =
Terbukti.
Teorema 2.2 Turunan Fungsi Cos Dale Varberg Edwin J Purcell, 2010 :182:
Jika =
, maka ’ = −
.
13 Bukti:
Berdasarkan Definisi 2.5, sehingga
′ = lim
ℎ→
+ ℎ − ℎ
′
= lim
ℎ→
+ ℎ − ℎ
′
= lim
ℎ→
cos ℎ − sin sin ℎ − cos ℎ
′
= lim
ℎ→
− cos − cos ℎ
ℎ −
sin ℎ ℎ
′
= − lim
ℎ→
− cos ℎ ℎ
− lim
ℎ→
sin ℎ ℎ
′
= − . −
. = −
Terbukti. Teorema 2.3 Turunan Fungsi Sinh Dale Varberg Edwin J Purcell, 2010
: 541:
Jika =
ℎ , maka ’ =
ℎ .
Bukti:
Bentuk lain dari ℎ adalah
�
−
−�
, sehingga
= −
−
14 =
−
−
= −
−
= −
−
’ =
+
−
’ =
+
−
’ =
ℎ
Terbukti.
Teorema 2.4 Turunan Fungsi Cosh Dale Varberg Edwin J Purcell, 2010 : 541:
Jika =
ℎ , maka ’ =
ℎ .
Bukti:
Bentuk lain dari ℎ , adalah
�
+
−�
, sehingga
= +
−
= +
−
15 =
+
−
’ =
−
−
’ =
−
−
’ =
ℎ
Terbukti. Berikutnya akan dibahas tentang integral tentu. Integral tentu pada BAB III
digunakan untuk menentukan luasan perambatan panas pada suatu interval tertutup, berikut penjelasannya.
E. Integral Tentu