Pencabangan dan Pembatasan Branch and Bound

= kapasitas sumber i yang tersedia untuk dialokasikan kesetiap unit kegiatan. m = macam batasan sumber atau fasilitas yang tersedia n = macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia.

2.3 Pencabangan dan Pembatasan Branch and Bound

Menurut Fien Zulfikarijah 2004, Branch and Bound adalah algoritma umum untuk mencari solusi optimal dari berbagai masalah optimasi. Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh A.H. Land dan A.G. Doig pada tahun 1960. Branch and bound bukan sebuah teknik solusi khusus terbatas untuk masalah program integer. Branch and bound adalah pendekatan solusi yang dapat diterapkan pada beberapa jenis masalah. Pendekatan Branch and bound didasarkan pada prinsip bahwa himpunan total solusi layak dapat dipartisi menjadi subset yang lebih kecil dari solusi. Subset yang lebih kecil ini kemudian dapat dievaluasi secara sistematis sampai solusi terbaik ditemukan. Ketika pendekatan Branch and bound diterapkan untuk masalah program integer. Prinsip dasar metode ini adalah memecah daerah fisibel layak suatu masalah program linier dengan membuat sub-masalah-sub-masalah. Ada dua konsep dasar dalam algoritma branch and bound : 1. Branching adalah proses membagi-bagi permasalahan menjadi subproblem-subproblem yang mungkin mengarah ke solusi. 2. Bounding adalah suatu proses untuk mencarimenghitung batas atas BA dan batas bawah BB untuk solusi optimal pada subproblem yang mengarah ke solusi. Metode branch and bound diawali dengan menyelesaikan program linier dari suatu masalah program integer. Jika semua nilai variabel keputusan solusi optimal sudah berupa integer, maka solusi tersebut merupakan solusi optimal Universitas Sumatera Utara program linier integer. Jika tidak, dilakukan pencabangan dan penambahan batasan pada program liniernya kemudian diselesaikan. Winston 2004 menyebutkan bahwa nilai fungsi objektif optimal untuk program linier integer lebih kecil sama dengan nilai fungsi objektif optimal untuk program linier masalah maksimisasi, sehingga nilai fungsi objektif optimal program linier merupakan batas atas bagi nilai fungsi objektif optimal untuk masalah program linier integer. Diungkapkan pula oleh Winston 2004 bahwa nilai fungsi objektif optimal untuk suatu kandidat solusi merupakan batas bawah nilai fungsi objektif optimal untuk masalah program linier integer asalnya. Suatu kandidat solusi diperoleh jika solusi dari suatu subproblem sudah memenuhi kendala integer pada masalah program linier integer, artinya semua variabelnya sudah bernilai integer. Berikut ini adalah langkah-langkah penyelesaian suatu masalah maksimisasi dengan metode branch and bound : 1 Selesaikan masalah program linier dengan metode simpleks selesaikan masalah tanpa pembatasan bilangan integer. 2 Teliti solusi optimalnya, jika variabel keputusan yang diharapkan adalah bilangan integer, solusi optimum integer telah tercapai. Jika satu atau lebih variabel keputusan yang diharapkan ternyata bukan bilangan integer, lanjutkan kelangkah 3. 3 Jadikan solusi pada penyelesaian langkah 1 menjadi batas atas dan untuk batas bawahnya merupakan solusi yang variabel keputusannya telah diintegerkan rounded – down. 4 Pilih variabel yang mempunyai nilai pecahan terbesar artinya bilangan desimal terbesar dari masing-masing vaariabel untuk dijadikan Universitas Sumatera Utara pencabangan ke dalam sub-sub masalah. Tujuannya adalah untuk menghilangkan solusi yang tidak memenuhi persyaratan integer dalam masalah itu. Pencabangan itu dilakukan secara mutually exclusive untuk memenuhi persyaratan integer dengan jaminan tidak ada solusi fisibel layak yang diikutsertakan. 5 Untuk setiap sub-masalah, nilai optimum fungsi tujuan ditetapkan sebagai batas atas. Solusi optimum yang diintegerkan menjadi batas bawah solusi yang sebelumnya tidak integer kemudian diintegerkan. Sub-sub masalah yang memiliki batas atas kurang dari batas bawah yang ada, tidak diikutsertakan pada analisa selanjutnya. Suatu solusi integer fisibel layak adalah sama baik atau lebih baik dari batas atas untuk setiap sub masalah yang dicari. Jika solusi yang demikian terjadi, suatu sub masalah dengan batas atas terbaik dipilih untuk dicabangkan. Kembali ke langkah 4. Ringkasan langkah-langkah metode branch and bound dalam menentukan solusi integer optimal untuk model maksimisasi adalah sebagai berikut: a Dapatkan solusi simpleks optimal dari model program linear b Tentukan solusi simpleks optimal sebelum dilakukan metode branch and bound sebagai batas atas sedangkan solusi hasil pembulatan ke bawah dari solusi simpleks sebagai batas bawah artinya mengintegerkan solusi simpleks optimal c Pilih nilai dari variabel keputusan dengan bagian pecahan yang terbesar untuk percabangan. Ciptakan dua batasan baru untuk variabel keputusan ini yang mencerminkan pembagian nilai integer. Hasilnya adalah sebuah batasan ≤ dan sebuah batasan ≥. d Ciptakan dengan node baru, satu dengan batasan ≤ dan satu dengan batasan ≥ Universitas Sumatera Utara e Selesaikan model program linear dengan batasan baru yang ditambahkan pada tiap node f Solusi simpleks merupakan batas atas pada tiap node, dan solusi maksimum yang diintegerkan merupakan batas bawah dari node. g Jika proses ini menghasilkan solusi integer fisible layak dengan nilai batas atas terbesar pada akhir node mana saja, maka solusi integer optimal tercapai. Jika tidak muncul suatu solusi integer fisibel layak, lakukan percabangan dari node dengan batas atas terbesar. h Ulangi langkah c Winston, 2004. Universitas Sumatera Utara Gambar 2.1 Flowchart Algoritma Branch and Bound untuk IP optimasi maksimum Mulai Inisialisasi pohon ruang solusi Branch and bound Ambil submasalah baru Lakukan iterasi untuk setiap kemungkinan solusi Apakah a tidak mungkin mengarah ke solusi atau a b? Apakah variabel bertipe pecahan? Apakah solusi bertipe integer? Bunuh cabang ini Buat cabang baru b = maks b,a Output solusi Akhir Pohon kosong? Ya Ya Ya Tidak Tidak Tidak Universitas Sumatera Utara Gambar 2.2 Flowchart Algoritma Branch and Bound untuk IP optimasi minimum Mulai Inisialisasi pohon ruang solusi Branch and bound Ambil submasalah baru Lakukan iterasi untuk setiap kemungkinan solusi Apakah a tidak mungkin mengarah ke solusi atau a b? Apakah variabel bertipe pecahan? Apakah solusi bertipe integer? Bunuh cabang ini Buat cabang baru b = minb,a Output solusi Akhir Pohon kosong? Ya Ya Ya Tidak Tidak Tidak Universitas Sumatera Utara Keuntungan dari cara metode adalah cara yang efisien untuk mendapatkan seluruh jawaban fisibel layak, sedangkan kerugian cara ini adalah ia akan rnencari seluruh jawaban program linier pada setiap titik. Pada persoalan yang besar akan memerlukan waktu yang cukup lama, terutama bila yang dibutuhkan hanya keterangan mengenai nilai objektif yang optimum. Universitas Sumatera Utara BAB 3 METODE PENELITIAN

3.1 Merumuskan Masalah