Teorema 2.4 : Jika
t M
X
adalah fungsi pembangkit momen dari peubah acak X dan a adalah suatu konstanta, maka fungsi pembangkit momen dari aX adalah:
t M
aX
= at
M
X
Spiegel, 1991 : 80 Bukti:
t M
aX
=
taX
e E
=
X ta
e E
= at
M
X
Teorema 2.5 : Jika
t M
X
adalah fungsi pembangkit momen dari peubah acak X, a dan b adalah suatu konstanta, maka fungsi pembangkit momen dari aX + b adalah:
t M
b aX
+
=
bt X
e at
M
Bukti :
t M
b aX
+
=
t b
aX
e E
+
=
bt atX
e E
+
= .
bt atX
e E
e E
=
bt X
e at
M .
2.5.3 Fungsi Pembangkit Momen Gabungan
Fungsi pembangkit momen gabungan atau Joint MGF dapat didefinisikan sebagai fungsi pembangkit momen yang diperoleh berdasarkan fungsi peluang gabungan atau
fungsi densitas gabungan dari dua peubah acak. Dalam hal ini, fungsi pembangkit momen gabungan dapat digunakan untuk memperoleh momen-momen, baik untuk
satu peubah acak maupun dua peubah acak.
Sehingga fungsi pembangkit momen gabungan dari X
1
, X
2
didefinisikan untuk bilangan riil t
1
, t
2
sebagai: ,
2 1
,
2 1
t t
M
X X
=
2 2
1 1
X t
X t
e E
+
2.18 Dudewicz Mishra, 1995 : 305
Teorema 2.6 : Misal fungsi pembangkit momen gabungan dari X
1
, X
2
ada, maka X
1
dan X
2
merupakan peubah acak yang saling bebas jika ,
2 1
,
2 1
t t
M
X X
= .
2 1
2 1
t M
t M
X X
Bukti: ,
2 1
,
2 1
t t
M
X X
=
2 2
1 1
X t
X t
e E
+
= .
2 2
1 1
X t
X t
e e
E =
.
2 2
1 1
X t
X t
e E
e E
= .
2 1
2 1
t M
t M
X X
Untuk peubah acak X
1
dan X
2
yang kontinu, maka fungsi pembangkit momen gabungannya dinotasikan dengan :
2 1
2 2
1 1
2 1
,
2 2
1 1
2 1
dx dx
x f
x f
e t
t M
x t
x t
x x
+ ∝
−∝ ∝
−∝
∫ ∫
= 2.19
Berdasarkan fungsi pembangkit momen gabungan dari X
1
dan X
2
, dapat ditentukan fungsi pembangkit momen masing-masing dari X
1
dan X
2
yang dinamakan fungsi pembangkit momen marginal dari X
1
dan fungsi pembangkit momen marginal dari X
2
Fungsi pembangkit momen marginal dari X .
1
diperoleh dari fungsi pembangkit momen gabungan dengan mensubstitusikan t
2
,
1 1
1 1
x t
e E
t M
t M
= =
= 0, sehingga : 2.20
Fungsi pembangkit momen marginal dari X
2
diperoleh dari fungsi pembangkit momen gabungan dengan mensubstitusikan t
1
,
2 2
2 2
x t
e E
t M
t M
= =
= 0, sehingga : 2.21
Sehingga didapat hasil transformasinya, yang kemudian dapat ditentukan momen – momen dari peubah acak X
1
1 1
1
, ,
1
t M
t t
M X
E
t x
∂ ∂
= ∂
∂ =
=
=
µ berdasarkan fungsi pembangkit momen
marginalnya. Dimana momen ke-1 yang juga merupakan nilai parameter rata-rata µ, dihitung dengan meggunakan rumus :
2.22
Dan momen ke-2nya dihitung dengan menggunakan rumus:
2 1
2 1
1 2
2
, ,
1
t M
t t
M X
E
t
∂ ∂
= ∂
∂ =
=
2.23 Dari hasil hitung momen ke-1 dan momen ke-2, maka dapat dihitung nilai
parameter variansi σ
2
2 1
2 1
2 2
, ,
∂ ∂
− ∂
∂ =
t M
t M
Var
x
σ
nya dengan menggunakan rumus :
2.24 Perhitungan yang sama juga dapat dilakukan dalam menentukan nilai parameter
rata- rata µ dan nilai parameter variansi σ
2
dari peubah acak X
2
berdasarkan fungsi pembangkit momen marginalnya dengan menggunakan rumus di atas.
2.6 Distribusi Eksponensial Tergeneralisir Dua Variabel
