Untuk memudahkan dalam proses pengintegralan. Maka, dengan menggunakan ekspansi binomial dalam bentuk fungsi pembangkit eksponensial pada teorema 2.2,
fungsi diatas dapat dibentuk menjadi : ,
2 1
t t
M
2 1
1 1
2 1
1 1
0 0 2
1
2 2
2 1
1 1
1 1
1 1
dx dx
e j
e i
j t
x j
j i
t x
i i
+ −
− −
= +
− −
− =
∝ ∝
∑ ∑
∫∫
− −
−
− =
α α
α α
α α
Kemudian dengan mengintegral fungsi integral ganda diatas terhadap x
1
dan x
2
. Maka didapat transformasi distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel dengan
fungsi pembangkit momen sebagai berikut : ,
2 1
t t
M
1 1
1 1
1 1
1 1
2 1
2 2
1 1
1 1
2 1
j t
j i
t i
j j
i i
+ −
− −
+ −
−
− =
∑ ∑
− =
− =
α α
α α
α α
3.1
3.2 Fungsi Pembangkit Momen Marginal dari X
1
dan X
2
Berdasarkan transformasi diatas, dapat ditentukan fungsi pembangkit momen masing- masing dari X
1
dan X
2
yang dinamakan fungsi pembangkit momen marginal dari X
1
dan fungsi pembangkit momen marginal dari X
2
Fungsi pembangkit momen marginal dari X pada distribusi eksponensial
tergeneralisir dua variabel.
1
diperoleh dari fungsi pembangkit momen gabungan dengan mensubstitusikan t
2
= 0, sehingga fungsi diatas menjadi :
,
1
t M
1 1
1 1
1 1
1 1
1 2
2 1
1 1
1
2 1
j j
i t
i
j j
i i
+
−
− +
−
− −
=
∑ ∑
− =
− =
α α
α α
α α
Dengan nilai :
1 1
1 1
1
1 2
2
1
= +
− −
∑
− =
j j
j j
α
α α
Sehingga, fungsi pembangkit momen marginal dari X
1
adalah : ,
1
t M
1 1
1 1
1 1
1 1
1
i t
i
i i
+ −
−
− =
∑
− =
α
α α
3.2
Dengan cara yang sama, dapat ditentukan juga fungsi pembangkit momen marginal dari X
2
dengan mensubstitusikan t
1
= 0. Sebagai berikut : ,
2
t M
1 1
1 1
2 1
2 2
2
j t
j
j j
+ −
− −
=
∑
− =
α
α α
3.3
Dari kedua fungsi pembangkit momen diatas dapat dibuktikan bahwa distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel merupakan distribusi gabungan yang saling
bebas, karena masing-masing fungsi pembangkit momen marginalnya membentuk distribusi eksponensial tergeneralisir satu variabel. Sehingga dapat dimisalkan
α α
α =
=
2 1
dan
t t
t =
=
2 1
. kemudian dapat ditentukan estimator parameter rata- ratanya dan parameter variansinya sebagai berikut :
3.3 Estimator Rata-rata µ Pada Distribusi Eksponensial Tergeneralisir dengan Fungsi Pembangkit Momen
Dari kedua fungsi pembangkit momen marginal di atas, dengan nilai
α α
α =
=
2 1
dan
t t
t =
=
2 1
. Maka, fungsi pembangkit momennya menjadi : t
M
1 1
1 1
1
i t
i
i i
+ −
−
− =
∑
− =
α
α α
Untuk mendapatkan momen ke-r dari distribusi eksponensial tergeneralisir di atas, fungsi pembangkit momennya diturunkan sebanyak r kali dan memasukkan nilai
t = 0. Dalam hal ini untuk mendapatkan estimator rata-ratanya, fungsi pembangkit momennya diturunkan sekali. Sehingga didapat estimator rata-ratanya adalah sebagai
berikut :
∧
µ
2 1
1 1
1 1
i i
i i
+
− −
=
∑
− =
α
α α
3.4
3.4 E stimator Variansi σ
