2.5 Fungsi Pembangkit
Fungsi Pembangkit adalah salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan. Dengan men-translasi persoalan ke dalam Fungsi
Pembangkit, maka kita dapat menggunakan sifat-sifat khusus dari Fungsi Pembangkit sebagai jalan untuk memecahkan masalah. Fungsi Pembangkit ini bisa kita perlakukan
sebagaimana fungsi-fungsi pada umumnya. Misal saja melakukan operasi diferensial. Fungsi Pembangkit memiliki banyak penggunaan, misalnya untuk menyelesaikan
permasalahan rekurensi, counting, membuktikan identitas kombinatorika, maupun aplikasi-aplikasi lain yang beragam. Dalam penerapannya, banyak metode yang
menggunakan Fungsi Pembangkit sebagai alat penyelesaian masalah.
Fungsi pembangkit dari barisan bilangan S terhingga atau takhingga ,...
, ,
,
3 2
1
a a
a a
dapat didefenisikan dalam bentuk deret sebagai berikut :
i i
i i
i
x a
x a
x a
x a
a x
a x
A +
+ +
+ +
= =
∑
∝ =
...
3 3
2 2
1 1
2.12
Pada deret tersebut, pangkat dari variabel x merupakan indikator sedemikian hingga koefisien dari x
i
adalah harga fungsi numerik pada i. Untuk sebuah fungsi numerik a
i
digunakan nama Ax untuk menyatakan fungsi pembangkitnya.
Walaupun ada banyak jenis-jenis fungsi pembangkit, tetapi dalam penelitian ini hanya akan di bahas fungsi pembangkit eksponensial dan fungsi pembangkit momen.
2.5.1 Fungsi Pembangkit Eksponensial
Fungsi pembangkit eksponensial merupakan salah satu alat penyelesaian masalah dari beberapa jenis fungsi pembangkit. Dimana fungsi pembangkit ini diambil dari Deret
Maclaurin sebagai berikut :
∑
∝ =
= +
+ +
+ +
o r
r r
r r
r x
a r
x a
x a
x a
x a
a ...
3 2
1
3 3
2 2
1
Jika nilai 1
,..., ,
, ,
3 2
1
=
r
a a
a a
a , maka dapat didefenisikan fungsi pembangkit
eksponensial adalah sebagai berikut
∑
∝ =
= +
+ +
+ +
=
o r
r r
x
r x
r x
x x
x e
... 3
2 1
3 2
2.13 Dan untuk
x
e
−
didefenisikan sebagai berikut :
∑
∝ =
−
− =
− +
+ −
+ −
=
o r
r r
r r
x
r x
r x
x x
x e
1 1
... 3
2 1
3 2
2.14
Dalam penelitian ini hanya akan dibahas satu ekspansi binomial dalam bentuk fungsi pembangkit eksponensial sebagai berikut :
Teorema 2.2 :
∑
= −
−
− =
−
n i
ix i
n x
e i
n e
1 1
Bukti : Dengan menggunakan rumus Binom Newton :
∑
= −
= +
n i
i i
n n
b a
i n
b a
2.15 Maka :
n x
e 1
−
− =
∑
= −
−
−
n i
i x
i n
e i
n 1
1
=
∑
= −
−
n i
i x
i
e i
n 1
=
∑
= −
−
n i
ix i
e i
n 1
2.5.2 Fungsi Pembangkit Momen
Menurut Ronald dan Raymond 1995. Kegunaan yang jelas dari fungsi pembangkit momen ini adalah untuk menentukan momen-momen distribusi. Akan tetapi,
kegunaan yang terpenting adalah untuk mencari distribusi dari fungsi peubah acak. Walpole Myers. 1995 : 306
Definisi 2.5 : Fungsi pembangkit momen dari suatu peubah acak X didefinisikan untuk setiap
bilangan riil t sebagai
tx X
e E
t M
= Dudewich Mishra, 1995 : 300
Dari definisi 2.5, dapat diuraikan dalam 2 kasus yang berbeda, yaitu untuk peubah acak diskrit dan peubah acak kontinu.
Fungsi pembangkit momen untuk peubah acak diskrit dari X di x yaitu: x
f e
e E
t M
x tx
tx x
∑
= =
2.16 Fungsi pembangkit momen untuk peubah acak kontinu dari X di x yaitu:
∫
∝ ∝
−
= =
x f
e e
E t
M
tx tx
x
2.17 Spiegel, 1991:80
Teorema 2.3 : Bila fungsi pembangkit momen
t M
x
dari peubah acak X ada untuk t ≤ T , untuk T
0, maka
r
X E
dengan n = 1,2,3,…, maka
r
X E
=
r X
M .
r
X E
=
r X
M =
= t
X r
r
t M
dt d
Dudewich Mishra, 1995 : 300 Bukti :
Diketahui bahwa
tx X
e E
t M
= , Dengan menggunakan deret Maclaurin :
... 3
2 1
3 2
r y
y y
y e
r y
+ +
+ +
+ =
Jika y diganti tX maka : ...
3 2
1
3 2
r tX
tX tX
tX e
r y
+ +
+ +
+ =
Sehingga diperoleh : t
M
X
=
tx
e E
=
+
+ +
+ +
... 3
2 1
3 2
r tX
tX tX
tX E
r
=
+
+
+
+ +
... 3
2 1
3 2
r tX
E tX
E tX
E tX
E E
r
=
r r
X E
r t
X E
t X
E t
X tE
... 3
2 1
3 3
2 2
+ +
+ +
+
=
r r
X E
r t
X E
t X
E t
X tE
... 3
2 1
3 3
2 2
+ +
+ +
+
Jika t
M
X
diturunkan terhadap t, kemudian harganya sama dengan nol, maka akan diperoleh:
t M
X
=
r r
X E
r t
r X
E t
X E
t X
E .
... 3
3 2
2
1 3
2 2
−
+ +
+ +
X
M =
1
µ =
X E
momen pusat ke-1 di sekitar titik asal t
M
X
=
r r
X E
r t
r r
X E
t X
E 1
... 3
6
2 3
2 −
− +
+ +
X
M =
2 2
µ =
X E
momen pusat ke-2 di sekitar titik asal t
M
X
=
r r
X E
r t
r r
r X
E 2
1 ...
3 3
−
− −
+ +
X
M =
3 3
µ
= X
E
momen pusat ke-3 di sekitar titik asal .
. .
Sampai turunan ke-r
Jadi untuk mendapatkan momen ke-r dari suatu peubah acak X adalah dengan menurunkan fungsi pembangkit momen sebanyak r kali dan memasukkan nilai t = 0,
sehingga terbukti bahwa:
r
X E
=
= t
X r
r
t M
dt d
Teorema 2.4 : Jika
t M
X
adalah fungsi pembangkit momen dari peubah acak X dan a adalah suatu konstanta, maka fungsi pembangkit momen dari aX adalah:
t M
aX
= at
M
X
Spiegel, 1991 : 80 Bukti:
t M
aX
=
taX
e E
=
X ta
e E
= at
M
X
Teorema 2.5 : Jika
t M
X
adalah fungsi pembangkit momen dari peubah acak X, a dan b adalah suatu konstanta, maka fungsi pembangkit momen dari aX + b adalah:
t M
b aX
+
=
bt X
e at
M
Bukti :
t M
b aX
+
=
t b
aX
e E
+
=
bt atX
e E
+
= .
bt atX
e E
e E
=
bt X
e at
M .
2.5.3 Fungsi Pembangkit Momen Gabungan