Dari rumus momen ke-1 dan momen ke-2, maka dapat di hitung nilai parameter variansi
σ
2
nya dengan menggunakan rumus :
2 1
2 1
2 2
, ,
∂ ∂
− ∂
∂ =
t M
t M
Var
x
σ
Perhitungan yang sama juga dapat dilakukan dalam menentukan nilai parameter rata-rata µ dan nilai parameter variansi
σ
2
dari peubah acak X
2
berdasarkan fungsi pembangkit momen marginalnya dengan menggunakan rumus di atas.
1.4 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk mentransformasi distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel dengan menggunakan fungsi pembangkit momen untuk mencari marginal
fungsi pembangkit momennya, kemudian mencari estimator parameter rata-rata µ
dan parameter variansinya σ
2
dan mengestimasi kedua parameter tersebut.
1.5
Kontribusi Penelitian
Kesimpulan yang diperoleh setelah dilakukan penelitian, diharapkan : 1.
Memudahkan penggunaan distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel secara praktis.
2. Sebagai bahan kajian untuk menganalisis distribusi eksponensial tergeneralisir dua
variabel lebih mendalam. 3.
Memperkaya literatur dalam bidang statistika terutama yang berhubungan dengan fungsi pembangkit momen dan distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel.
1.6 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah: 1.
Dengan melakukan studi literatur terlebih dahulu mengenai fungsi pembangkit momen dan distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel.
2. Memaparkan dan menjelaskan pengertian fungsi pembangkit momen dan
distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel. 3.
Mensubtitusi persamaan fungsi pembangkit momen dengan persamaan distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel.
4. Mentransformasikan persamaan yang didapat dari hasil subtitusi dengan
mengintegralkan persamaan tersebut. 5.
Mencari estimator parameter rata-rata µ dan parameter variansi σ
2
dengan mencari turunan pertama dan turunan kedua dari hasil transformasi
persamaannya. 6.
Mengestimasi parameter rata-rata µ dan parameter variansi σ
2
dengan menguji nilai kedua parameter tersebut pada contoh kasus.
7. Menarik kesimpulan dari hasil transformasi dan estimasi yang diperoleh.
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Peluang
Peluang adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu peristiwa event akan terjadi di masa mendatang yang hasilnya tidak pasti uncertain
event. Peluang dinyatakan antara 0 nol sampai 1 satu atau dalam persentase. Peluang 0 menunjukkan peristiwa yang tidak mungkin terjadi, sedangkan peluang 1
menunjukkan peristiwa yang pasti terjadi. PA = 0,99 artinya probabilitas bahwa kejadian A akan terjadi sebesar 99 dan peluang A tidak terjadi adalah sebesar 1.
Ada tiga hal penting dalam rangka membicarakan peluang, yaitu percobaan experiment, ruang sampel sample space, kejadian event, dan
titik sampel sample point
.
Percobaan experiment adalah pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit 2 dua peristiwa tanpa
memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.
Ruang sampel sample space atau semesta universe merupakan himpunan dari semua hasil outcome yang mungkin dari suatu percobaan experiment. Jadi ruang
sampel adalah seluruh kemungkinan peristiwa yang akan terjadi akibat adanya suatu percobaan atau kegiatan.
Kejadian event adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan. Kejadian menunjukkan hasil yang terjadi dari suatu
percobaan. Dalam setiap percobaan atau kegiatan hanya ada satu hasil. Pada kegiatan jual beli saham, kalau tidak membeli berarti menjual. Pada perubahan harga terjadi
inflasi atau deflasi. Dua peristiwa tersebut tidak dapat terjadi bersamaan.
Besarnya nilai kemungkinan bagi munculnya suatu kejadian adalah selalu diantara 0 nol dan 1 satu. Pernyataan ini dapat ditulis sebagai 0
≤ PA ≤ 1, dimana PA menyatakan nilai kemungkinan bagi munculnya kejadian A. Jika suatu percobaan
dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama equally likely dan jika tepat terdapat sebanyak n hasil yang berkaitan dengan kejadian A, maka peluang
kejadian A adalah : N
n A
P =
2.1
Titik sampel sample point merupakan tiap anggota atau elemen dari ruang sampel. Jika suatu operasi dapat dilakukan dengan n
1
cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi kedua dapat dilakukan dengan n
2
cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi ketiga dapat dilakukan dengan n
3
cara, dst, maka deretan k operasi dapat dilakukan dengan n
1,
n
2,
...,n
k
cara. Dalam penelitian ini akan dibahas teori peluang bersyarat dan peluang dua peristiwa yang saling bebas, sebagai berikut :
2.1.1 Peluang Bersyarat
Jika A dan B adalah dua buah peristiwa yang di bentuk dari ruang sampel S, maka peluang bersyarat dari A diberikan B didefenisikan sebagai :
| B
P B
A P
B A
P ∩
= Dengan 0
≤ PA ≤ 1 2.2
Dalam hal ini, |
B A
P adalah perhitungan peluang peristiwa A, apabila
peristiwa B sudah terjadi. Atau dapat dinyatakan bahwa peluang peristiwa A dan B kedua-duanya terjadi sama dengan peluang peristiwa B terjadi dikalikan dengan
peluang peristiwa A terjadi apabila peristiwa B sudah terjadi.
2.1.2 Peluang Dua Peristiwa yang Saling Bebas
Dalam pembicaraan sehari-hari, dua buah peristiwa dikatakan bebas, jika terjadinya atau tidak terjadinya peristiwa yang satu tidak dipengaruhi oleh terjadinya peristiwa
yang lain.
Perumusan dua peristiwa yang saling bebas didasarkan pada perumusan perkalian dari peluang bersyarat, yaitu :
| .
B A
P B
P B
A P
= ∩
Karena dua peristiwa A dan B bebas, maka dalam perhitungan |
B A
P terjadinya peristiwa A tidak dipengaruhi oleh terjadinya peristiwa B. Sehingga
peristiwa A diberikan peristiwa B akan merupakan peristiwa A itu sendiri. Akibatnya, |
A P
B A
P =
. Dengan demikian : .
A P
B P
B A
P =
∩ 2.3
2.2 Peubah Acak dan Distribusinya
2.2.1 Peubah Acak
Peubah acak atau variabel acak merupakan hasil-hasil prosedur penyampelan acak random sampling atau eksperimen acak dari suatu data yang telah dianalisis secara
statistik. Peubah acak dapat dinyatakan dengan huruf besar X, sedangkan nilai dari peubah acak dinyatakan dengan huruf kecil x.
Definisi 2.1 : Peubah acak ialah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur
dalam ruang sampel, Walpole Myers, 1995: 51.
2.2.2 Distribusi Peubah Acak
2.2.2.1 Distribusi Peubah Acak Diskrit
Seringkali untuk memudahkan suatu perhitungan semua peluang peubah acak dinyatakan dalam suatu fungsi nilai-nilai X seperti fX yaitu
x X
P X
f =
=
. Pada peubah acak diskrit, setiap nilainya dikaitkan dengan peluang. Himpunan pasangan
berurutan x,fX disebut distribusi peluang peubah acak X. Sebuah distribusi yang mencantumkan semua kemungkinan nilai peubah acak diskrit berikut peluangnya
disebut peluang diskrit, Wibisono, 2005: 224.
Suatu peubah acak diskrit dapat dinyatakan sebagai:
∑
= X
p X
f 2.4
Definisi 2.2 : Himpunan pasangan terurut x,fX merupakan suatu fungsi peluang, fungsi massa
peluang, atau distribusi peluang peubah acak diskrit X bila, untuk setiap kemungkinan hasil x:
1.
≥ X
f
2.
∑
=
x
x f
1 3.
x X
P X
f =
=
Walpole Myers, 1995 :54
Definisi 2.3 : Jika peubah X dapat menerima suatu himpunan diskrit dari nilai-nilai X
1
, X
2
, . . . ,X
n
dengan peluang masing-masing P
1
,P
2
, . . . P
n
, dimana P
1
+P
2
+ . . . + P
n
= 1, maka suatu fungsi fX yang mempunyai nilai masing - masing P
1
,P
2
, . . . P
i
untuk X
1
, X
2
, . . . ,X
i
disebut fungsi peluang. Sehingga dapat dituliskan dengan fX = PX = X
i
, yaitu probabilitas P nilai peubah X ke-i yaitu Xi sama dengan fX.
2.2.2.2 Distribusi Peubah Acak Kontinu
Distribusi peluang bagi peubah acak kontinu tidak dapat disajikan dalam bentuk tabel, akan tetapi distribusinya dapat dinyatakan dalam persamaan yang merupakan fungsi
nilai-nilai peubah acak kontinu dan digambarkan dalam bentuk kurva, Wibisono,2005:226.
Suatu peubah acak kontinu dapat dinyatakan sebagai:
∫
∝ ∝
−
= dx
x f
X f
2.5 Definisi 2. 4 :
Fungsi fx adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu X, yang didefinisikan atas himpunan semua bilangan real R, bila
1. fx ≥ 0 untuk semua x ∈ R.
2.
1 =
∫
∝ ∝
−
dx x
f
3. Pa x b=
∫
b a
dx x
f Walpole Myers, 1995 :60
2.2.3 Distribusi Peubah Acak Gabungan
Seperti yang dijelaskan pada subbab sebelumnya ada dua macam peubah acak, yaitu peubah acak diskrit dan peubah acak kontinu. Tetapi karena distribusi yang akan
diteliti dalam penelitian ini merupakan distribusi kontinu, maka hanya akan dibahas peubah acak kontinu.
Jika S merupakan ruang sampel dari sebuah eksperimen, maka pasangan X,Y dinamakan peubah acak gabungan, jika X dan Y masing-masing menghubungkan
sebuah bilangan real dengan setiap anggota S.
X,Y disebut peubah acak gabungan kontinu, jika banyak nilai-nilai yang mungkin dari X dan Y masing-masing berbentuk sebuah interval. Perhitungan peubah
acak kontinu yang masing-masing berharga tertentu, memerlukan sebuah fungsi yang dinamakan fungsi kepadatan gabungan. Yang didefenisikan sebagai berikut :
∫∫
= ∈
A
dy dx
y x
f A
X P
, ]
[
2.6 Dengan A terletak dalam bidang-xy.
Sebuah fungsi dari dua peubah acak kontinu X dan Y dapat digunakan sebagai fungsi kepadatan gabungan, jika nilai-nilainya yaitu
, y
x f
, memenuhi sifat-sifat sebagi berikut :
1.
, ≥
y x
f
untuk
∝ ∝
− ∝
∝ −
y x
,
2.
1 ,
] [
= =
∈
∫ ∫
∝ ∝
− ∝
∝ −
dy dx
y x
f A
X P
2.3 Defenisi Momen
Dalam menentukan nilai ekspektasi rata-rata dan nilai ekspektasi variansi, dimana nilai – nilai kedua ukuran diatas merupakan pangkat ke-1 dan pangkat ke-2 dari nilai
ekspektasi. Sehingga dapat ditentukan perumusan umum untuk menghitung nilai ekspektasi dari pangkat ke-r yang biasa disebut dengan momen. Momen terdiri dari 2
jenis, yaitu:
2.3.1 Momen di Sekitar Titik Asal
Momen ke-r di sekitar titik asal dari sebuah random variabel X dapat didefinisikan sebagai
] [
] [
r r
r
X E
X E
= −
= µ
asalkan nilai ekspektasi itu ada. Untuk X diskrit, maka fungsi peluang fX :
] [
r
X E
=
...
2 2
1 1
n r
n r
r
x f
X x
f X
x f
X +
+ +
] [
r
X E
=
∑
= n
i r
i
x f
X
1 1
2.7
Untuk X kontinu, maka fungsi peluang fX : ]
[
r
X E
=
∫
∝ ∝
− 1
x f
X
r i
2.8
Dalam hal ini, E[X
r
] merupakan momen ke-r. Sehingga dapat diperoleh momen ke-0 sampai ke-4 di sekitar titik asal, sebagai berikut :
Tabel 2.1 Momen di Sekitar Titik Asal Momen
Momen di Sekitar Titik Asal
Momen ke-0
1 ]
[ =
= X
E
µ Momen ke-1
µ µ
= =
= ]
[
1 1
X E
X E
Momen ke-2 ]
[
2 2
X E
= µ
Momen ke-3
] [
3 3
X E
=
µ Momen ke-4
] [
4 4
X E
= µ
Dari tabel di atas dapat dilihat momen pertama di sekitar titik asal dari suatu distribusi adalah nilai rata-rata.
2.3.2 Momen di Sekitar Rataan
Momen ke-r di sekitar rataan dari sebuah random variabel X dapat didefinisikan sebagai
] [
r r
X E
µ µ
− =
.
Teorema 2.1 :
Momen pertama dari momen di sekitar rataan bernilai 0.
Bukti: ]
[ ]
[ ]
[
1 1
= −
= −
= −
= µ
µ µ
µ X
E X
E X
E
Sehingga dapat diperoleh momen ke-0 sampai ke-4 di sekitar rataan, sebagai berikut :
Tabel 2.2 Momen di Sekitar Rataan Momen
Momen di Sekitar Rataan
Momen ke-0
1 ]
[ =
− =
µ µ
X E
Momen ke-1 ]
[
1 1
= −
= µ
µ X
E Momen ke-2
] [
2 2
µ µ
− =
X E
Momen ke-3
] [
3 3
µ µ
− =
X E
Momen ke-4 ]
[
4 4
µ µ
− =
X E
Dari tabel di atas dapat dilihat momen kedua di sekitar rataan dari suatu distribusi adalah nilai variansi.
2.4 Konversi Momen di Sekitar Titik Asal ke Momen di Sekitar Rataan
Dengan menggunakan dalil binomial, maka dapat diperoleh konversi momen pusat ke-r di sekitar titik asal ke momen pusat ke-r di sekitar rataan sebagai berikut:
] [
r r
X E
µ µ
− =
=
i r
i r
i
i r
− =
−
∑
µ µ
2.9
Kemudian dengan mensubtitusikan beberapa nilai r ke dalam rumus di atas, maka akan didapat nilai variansi, kemiringan dan kurtosisnya. Dimana nilai
variansinya didapat dari subtitusi nilai r = 2, sebagai berikut :
2
µ =
i i
i
i
− =
−
∑
2 2
2 µ
µ
=
2 1
1 2
2 2
1 2
2 µ
µ µ
µ µ
µ −
+ −
+ −
=
2 1
2
2 µ
µ µ
µ +
−
2
µ =
2 2
µ µ −
2.10
Sehingga didapat nilai variansinya, yaitu hasil dari pengurangan momen pusat ke-r di sekitar titik asal ke-2 dikurang kuadrat dari momen pusat ke-r di sekitar titik
asal ke-1. Atau sering di notasikan dengan :
X Var
=
2 2
X E
X E
− 2.11
2.5 Fungsi Pembangkit
