Estimasi Parameter µ Dan Σ2 Pada Distribusi Eksponensial Tergeneralisir Dua Variabel Menggunakan Fungsi Pembangkit Momen

ESTIMASI PARAMETER µ DAN σ

2

PADA DISTRIBUSI

EKSPONENSIAL TERGENERALISIR DUA

VARIABEL MENGGUNAKAN FUNGSI

PEMBANGKIT MOMEN

SKRIPSI

GHAZALI WARDHONO

090823040

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2011

ESTIMASI PARAMETER µ DAN σ2

PADA DISTRIBUSI EKSPONENSIAL TERGENERALISIR DUA VARIABEL MENGGUNAKAN FUNGSI

PEMBANGKIT MOMEN SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

GHAZALI WARDHONO 090823040

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2011

PERSETUJUAN

Judul : ESTIMASI PARAMETER µ DAN σ2 PADA

DISTRIBUSI EKSPONENSIAL TERGENERALISIR DUA VARIABEL MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

Kategori : SKRIPSI

Nama : GHAZALI WARDHONO

Nomor Induk Mahasiswa : 090823040

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

Diluluskan di Medan,

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Pangeran Sianipar, MS Drs. Pasukat Sembiring, M.Si NIP. 19470208 197403 1 001 NIP. 19531113 198503 1 002

Diketahui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua

Prof.Dr.Tulus, M.Si

PERNYATAAN

ESTIMASI PARAMETER µ DAN σ2

PADA DISTRIBUSI EKSPONENSIAL TERGENERALISIR DUA VARIABEL MENGGUNAKAN

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan,

GHAZALI WARDHONO 090823040

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas segala berkat dan kasih karunia-Nya skripsi ini berhasil diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan.

Ucapan terima kasih penulis ucapkan kepada Drs. Pasukat Sembiring, M.Si dan Drs. Pangeran Sianipar, MS selaku dosen pembimbing pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada penulis untuk menyempurnakan kajian ini. Panduan ringkas dan padat dan professional telah diberikan kepada penulis agar penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Ucapan terima kasih juga ditunjukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen yaitu Prof.Dr.Tulus, M.Si. dan Dra. Mardiningsih, M.Si. Dekan pada FMIPA USU, Pegawai di FMIPA USU serta rekan-rekan kuliah. Akhirnya, tidak terlupakan kepada orang tua saya ibunda (Siti Rohana) dan ayahanda (Alm. Triman Wardhono), adik saya (M Ishan Wardhono), serta kedua kakak saya (Mutiah dan Siti Aisyah) dan semua keluarga yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan yang diperlukan. Semoga Tuhan Yang Maha Esa membalasnya.

ABSTRAK

Dalam sebuah distribusi, rata-rata dan variansi merupakan parameter yang penting diestimasi setelah parameter distribusinya sudah diketahui. Dari estimasi kedua parameter tersebut, distribusi dapat lebih mudah dikaji, mengetahui karakteristik, dan mencari ukuran parameter lain seperti kemiringan dan kurtosis dari distribusi tersebut. Dalam mengestimasi kedua parameter tersebut dengan benar, metode yang paling tepat

digunakan adalah fungsi pembangkit momen. Kegunaan yang jelas dari fungsi

pembangkit momen ialah untuk menentukan momen distribusinya. Bila fungsi pembangkit momen dari suatu peubah acak ada, fungsi itu dapat dipakai untuk mentransformasikan dan menemukan seluruh momen dari peubah acak tersebut, dengan menurunkan fungsi pembangkit momen hingga n kali. Dapat diketahui bahwa turunan pertamanya adalah rata-rata dan turunan kedua adalah variansinya. Untuk peubah acak X1 dan X2 yang kontinu, maka fungsi pembangkit momen gabungannya

dinotasikan dengan :

2 1 2 2 1 1 2

1, ) ( ) ( )

( 11 2 2

2

1 t t e f x f x dxdx

M_xx tx+tx ∝

−∝ ∝

−∝

∫ ∫

=

Dalam penelitian ini, distribusi yang akan diestimasi parameter rata-rata dan variansinya adalah distribusi baru yang diperkenalkan Gupta dan Kundu pada tahun 1999, yakni distribusi eksponensial tergeneralisir. Jika terdapat dua peubah acak (X1,X2) yang berdistribusi eksponensial tergeneralisir dengan asumsi saling bebas,

maka distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel (fungsi kepadatan peluang gabungan dari (X1,X2)), untuk x1 > 0, x2 > 0 adalah :

)

,

(

x

₁

x

₂

F

1 1 1 2 2 1 1 2

2

1

(

1

)

(

1

)

x x x

x

e

e

e

− −

−

− − − −

−

=

_α

_α

α α

Kata kunci: Estimasi Parameter, Fungsi Pembangkit momen Gabungan, Distribusi Eksponensial Tergeneralisir Dua Variabel

ABSTRACT

From some distribution, the mean and variance is an important parameter estimates after the parameters distribution are known. From estimates of these parameters we can more easily review, investigate the characteristics, and found all of other measurement parameters such as skewness and kurtosis of these distribution. In estimating these parameters correctly, the most appropriate method used is the moment generating function.Obvious usefulness from the moment generating function is to determine the moment of it’s distribution. If the moment generating function of a random variable exists, the function can be used to transform and find all the moments of these random variables, moment generating function by deriveded to n-times. Can be seen that the first derivative is average and the second derivative is the variance. For random variables X1 and X2 are continuous, then the joint moment generating

function is denoted by:

2 1 2 2 1 1 2

1, ) ( ) ( )

( 11 2 2

2

1 t t e f x f x dxdx

M_xx tx+tx ∝

−∝ ∝

−∝

∫ ∫

=

In this research, distributions will be estimated parameter mean and variance is a new distribution introduced by Gupta and Kundu (1999), named a Generalized Exponential Distribution. If there are two random variables (X1,X2) a Generalized Exponential

Distribution with the assumptions are mutually independent, then the Generalized Exponential distribution of two variables (joint probability density function of (X1,X2)), for x1 > 0, x2 > 0 is:

)

,

(

x

₁

x

₂

F

1 1 1 2 2 1 1 2

2

1

(

1

)

(

1

)

x x x

x

e

e

e

− −

−

− − − −

−

=

_α

_α

α α

Keywords: Parameter Estimation, Joint Moment Generating Function, Generalized Exponential Distribution of Two Variables

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Daftar Tabel ix

Daftar Gambar x

Bab 1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Tinjauan Pustaka 2

1.4 Tujuan Penelitian 5

1.5 Kontribusi Penelitian 5

1.6 Metode Penelitian 6

Bab 2 Landasan Teori 7

2.1 Peluang 7

2.1.1 Peluang Bersyarat 8

2.1.2 Peluang Dua Peristiwa yang Saling Bebas 9

2.2 Peubah Acak dan Distribusinya 9

2.2.1 Peubah Acak 9

2.2.2 Distribusi Peubah Acak 10

2.2.2.1 Distribusi Peubah Acak Diskrit 10 2.2.2.2 Distribusi Peubah Acak Kontinu 11 2.2.3 Distribusi Peubah Acak Gabungan 11

2.3 Defenisi Momen 12

2.3.1 Momen di Sekitar Titik Asal 12

2.3.2 Momen di Sekitar Rataan 13

2.4 Konversi Momen di Sekitar Titik Asal ke

Momen di Sekitar Rataan. 14

2.5 Fungsi Pembangkit 15

2.5.1 Fungsi Pembangkit Eksponensial 15

2.5.2 Fungsi Pembangkit Momen 16

2.5.3 Fungsi Pembangkit Momen Gabungan 19 2.6 Distribusi Eksponensial Tergeneralisir Dua Variabel 21

2.7 Estimasi 22

2.7.1 Estimasi Titik 24

Bab 3 Pembahasan 25 3.1 Transformasi Distribusi Eksponensial Tergeneralisir

Dua Variabel Dengan Fungsi Pembangkit Momen 25 3.2 Fungsi Pembangkit Momen Marginal dari X1 dan X2 26

3.3 Estimator Rata-rata (µ) Pada Distribusi Ekponensial

Tergeneralisir dengan Fungsi Pembangkit Momen 27 3.4 Estimator Variansi (σ2) Pada Distribusi Ekponensial

Tergeneralisir dengan Fungsi Pembangkit Momen 28

3.5 Contoh Kasus 28

3.5.1 Nilai Rata-rata Peubah Acak X1 dan X2 30

3.5.2 Nilai Variansi Peubah Acak X1 dan X2 31

3.5.3 Nilai Estimasi Rata-rata X1 dan X2 dengan Estimator

Rata-rata Fungsi Pembangkit Momen 34 3.5.4 Nilai Estimasi Variansi X1 dan X2 dengan Estimator

Variansi Fungsi Pembangkit Momen 34

Bab 4 Kesimpulan dan Saran 36

4.1 Kesimpulan 36

4.2 Saran 37

Daftar Pustaka 38

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Momen di Sekitar Titik Asal 13

DAFTAR GAMBAR

Gambar 3.1 Grafik Distribusi Eksponensial Tergeneralisir

Dua Variabel dengan α = 16 29

Gambar 3.2 Grafik Distribusi Eksponensial Tergeneralisir

dengan α1 = 2 dan α2 = 8 29

Gambar 3.3 Grafik Peubah Acak X1 dan X2 dengan Garis

ABSTRAK

Dalam sebuah distribusi, rata-rata dan variansi merupakan parameter yang penting diestimasi setelah parameter distribusinya sudah diketahui. Dari estimasi kedua parameter tersebut, distribusi dapat lebih mudah dikaji, mengetahui karakteristik, dan mencari ukuran parameter lain seperti kemiringan dan kurtosis dari distribusi tersebut. Dalam mengestimasi kedua parameter tersebut dengan benar, metode yang paling tepat

digunakan adalah fungsi pembangkit momen. Kegunaan yang jelas dari fungsi

pembangkit momen ialah untuk menentukan momen distribusinya. Bila fungsi pembangkit momen dari suatu peubah acak ada, fungsi itu dapat dipakai untuk mentransformasikan dan menemukan seluruh momen dari peubah acak tersebut, dengan menurunkan fungsi pembangkit momen hingga n kali. Dapat diketahui bahwa turunan pertamanya adalah rata-rata dan turunan kedua adalah variansinya. Untuk peubah acak X1 dan X2 yang kontinu, maka fungsi pembangkit momen gabungannya

dinotasikan dengan :

2 1 2 2 1 1 2

1, ) ( ) ( )

( 11 2 2

2

1 t t e f x f x dxdx

M_xx tx+tx ∝

−∝ ∝

−∝

∫ ∫

=

Dalam penelitian ini, distribusi yang akan diestimasi parameter rata-rata dan variansinya adalah distribusi baru yang diperkenalkan Gupta dan Kundu pada tahun 1999, yakni distribusi eksponensial tergeneralisir. Jika terdapat dua peubah acak (X1,X2) yang berdistribusi eksponensial tergeneralisir dengan asumsi saling bebas,

maka distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel (fungsi kepadatan peluang gabungan dari (X1,X2)), untuk x1 > 0, x2 > 0 adalah :

)

,

(

x

₁

x

₂

F

1 1 1 2 2 1 1 2

2

1

(

1

)

(

1

)

x x x

x

e

e

e

− −

−

− − − −

−

=

_α

_α

α α

Kata kunci: Estimasi Parameter, Fungsi Pembangkit momen Gabungan, Distribusi Eksponensial Tergeneralisir Dua Variabel

ABSTRACT

From some distribution, the mean and variance is an important parameter estimates after the parameters distribution are known. From estimates of these parameters we can more easily review, investigate the characteristics, and found all of other measurement parameters such as skewness and kurtosis of these distribution. In estimating these parameters correctly, the most appropriate method used is the moment generating function.Obvious usefulness from the moment generating function is to determine the moment of it’s distribution. If the moment generating function of a random variable exists, the function can be used to transform and find all the moments of these random variables, moment generating function by deriveded to n-times. Can be seen that the first derivative is average and the second derivative is the variance. For random variables X1 and X2 are continuous, then the joint moment generating

function is denoted by:

2 1 2 2 1 1 2

1, ) ( ) ( )

( 11 2 2

2

1 t t e f x f x dxdx

M_xx tx+tx ∝

−∝ ∝

−∝

∫ ∫

=

In this research, distributions will be estimated parameter mean and variance is a new distribution introduced by Gupta and Kundu (1999), named a Generalized Exponential Distribution. If there are two random variables (X1,X2) a Generalized Exponential

Distribution with the assumptions are mutually independent, then the Generalized Exponential distribution of two variables (joint probability density function of (X1,X2)), for x1 > 0, x2 > 0 is:

)

,

(

x

₁

x

₂

F

1 1 1 2 2 1 1 2

2

1

(

1

)

(

1

)

x x x

x

e

e

e

− −

−

− − − −

−

=

_α

_α

α α

Keywords: Parameter Estimation, Joint Moment Generating Function, Generalized Exponential Distribution of Two Variables

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Distribusi eksponensial tergenaralisir (Generalized Exponential Distribution) pertama kali diperkenalkan oleh Gupta dan Kundu pada tahun 1999. Distribusi ini diambil dari salah satu fungsi kepadatan kumulatif yang digunakan pada pertengahan abad 19 (Gompertz-Verhulst) untuk membandingkan tabel kematian dan menghasilkan laju pertumbuhan penduduk. Dimana salah satu dari tiga parameternya distandarisasi menjadi satu.

Distribusi eksponensial tergenaralisir memilki parameter α sebagai alat untuk mengestimasi nilai kegagalan awal, dimana semakin besar nilai α maka distribusi tersebut mendekati distribusi normal. Berbeda dengan distribusi eksponensial biasa yang memiliki parameter λ, dimana semakin besar nilai λ maka distribusi tersebut berbentuk linier negatif.

Dalam kajiannya Gupta dan Kundu menggunakan maksimum likelihood estimator untuk menghitung estimasi dari parameter α nya. Dan kemudian memperoleh observasi, dimana satu set data telah dianalisis ulang dan diamati bahwa distribusi eksponensial tergeneralisir memberikan hasil yang lebih baik daripada distribusi eksponensial biasa.

Untuk itu penulis ingin mengkaji lebih mendalam lagi distribusi eksponensial tergenaralisir dengan mencari estimator parameter µ dan σ2. Banyak metode yang digunakan untuk mencari estimator parameter µ dan σ2, diantaranya dengan menggunakan metode momen, fungsi pembangkit momen, fungsi karakteristik, dan estimasi maksimum likelihood. Tetapi dalam penelitian ini hanya akan digunakan fungsi pembangkit momen (Moment Generating Function) sebagai alat transformasi

dan estimator parameter µ dan σ2 pada distribusi eksponensial tergenaralisir dua variabel.

Dua variabel digunakan tidak hanya untuk harapan estimasi tersebut tidak berbias, tetapi juga untuk membandingkan bahwa kedua variabel tersebut memiliki hasil yang sama dari nilai rata-rata dan variansi keseluruhan distribusinya.

Menurut Walpole (1995) kegunaan yang jelas dari fungsi pembangkit momen ialah untuk menentukan momen distribusi. Bila fungsi pembangkit momen suatu peubah acak memang ada, fungsi itu dapat dipakai untuk membangkitkan atau menemukan seluruh momen dari peubah acak tersebut, dengan menurunkan fungsi pembangkit momen hingga n kali. Dapat diketahui bahwa turunan pertamanya adalah rata-rata dan turunan kedua adalah variansinya.

Dari latar belakang di atas, penulis akan mengkaji tentang “Estimasi Parameter µ dan σ2

Pada Distribusi Eksponensial Tergeneralisir Dua Variabel Menggunakan Fungsi Pembangkit Momen”

1.2 Perumusan Masalah

Pada penelitian ini rumusan masalah yang dibahas adalah bagaimanakah transformasi distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel dengan menggunakan fungsi pembangkit momen untuk mencari marginal fungsi pembangkit momennya, kemudian mencari estimator parameter rata-rata (µ) dan parameter variansinya (σ2) dan mengestimasi kedua parameter tersebut.

1.3Tinjauan Pustaka

Dijelaskan oleh Gupta dan Kundu (1999) bahwa distribusi ekponensial tergeneralisir (Univariate Generalized Exponential Distribution (GE)) dengan fungsi kepadatan

kumulatif (fkk) dan fungsi kepadatan peluang (fkp) dengan x > 0, adalah sebagai berikut :

α λ

λ

α

, ) (1 )

;

( x

GE x e

F = − −

1

) 1

( )

, ;

(

α

λ

=

αλ

−λx − −λx α−

GE x e e

F

Dengan :

x

= peubah acak

α

= parameter bentuk

λ

= parameter skala

e

= 2,7183

Jika (X1,X2) merupakan distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel

dengan asumsi saling bebas, maka fungsi kepadatan peluang gabungan dari (X1,X2),

untuk x1 > 0, x2 > 0 adalah :

) , (x1 x2

F 1 1 1 2 2 1 1 2

2

1

(

1

)

(

1

)

x x x

x

e

e

e

− −

−

− − − −

−

=

_α

_α

α α

Untuk mentransformasi distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel di atas dengan fungsi pembangkit momen. Maka akan disubtitusikan dengan persamaan fungsi pembangkit momen yang di jelaskan sebagai berikut :

Dijelaskan oleh Walpole dan Myers (1995) bahwa fungsi pembangkit momen atau Moment generating function (MGF) dari sebuah peubah acak X dapat didefinisikan sebagai:

) ( )

( tx

x t E e

M = _untuk t dalam R

di mana T = {t ∈R : M_x(t) < ∞}.

Karena distribusi yang akan ditransformasi merupakan distribusi gabungan maka fungsi pembangkit momennya harus dalam bentuk gabungan (Joint Moment Generating Function), yang di notasikan sebagai berikut:

) (

) ,

( 11 22

2

1 1 2

x t x t x

x t t E e

Untuk peubah acak X1 dan X2 yang kontinu dan bebas satu sama lain (saling

lepas), dinotasikan dengan :

2 1 2 2 1 1 2

1, ) ( ) ( )

( 11 2 2

2

1 t t e f x f x dxdx

Mxx tx tx + ∝ −∝ ∝ −∝

∫ ∫

=

Berdasarkan fungsi pembangkit momen gabungan dari X1 dan X2, dapat

ditentukan fungsi pembangkit momen masing-masing dari X1 dan X2 yang dinamakan

fungsi pembangkit momen marginal dari X1 dan fungsi pembangkit momen marginal

dari X2

Fungsi pembangkit momen marginal dari X

.

1 diperoleh dari fungsi pembangkit

momen gabungan dengan mensubstitusikan t2 = 0, sehingga:

) ( ) ( ) 0 ,

( 11

1 1 x t e E t M t

M = = _{, dan}

Fungsi pembangkit momen marginal dari X2 diperoleh dari fungsi pembangkit

momen gabungan dengan mensubstitusikan t1 = 0, sehingga:

) ( ) ( ) , 0

( 2 2

2 2 x t e E t M t

M = =

Kemudian dapat ditentukan momen – momen dari peubah acak X1 berdasarkan

fungsi pembangkit momen marginalnya. Dimana momen ke-1 yang juga merupakan nilai parameter rata-rata (µ), dihitung dengan meggunakan rumus :

1 0

1

1,0) (0,0)

( ) ( 1 t M t t M X E t x _∂ ∂ = ∂ ∂ = = =

µ

Dan momen ke-2nya dihitung dengan menggunakan rumus:

2 1 0 2 1 1 2

2 ( ,0) (0,0)

) ( 1 t M t t M X E t ∂ ∂ = ∂ ∂ = =

Dari rumus momen ke-1 dan momen ke-2, maka dapat di hitung nilai parameter variansi (σ2)nya dengan menggunakan rumus :

2

1 2

1 2

2 (0,0) (0,0)

)

( _

  

 

∂ ∂ − ∂

∂ =

t M t

M Var

σ

_x

Perhitungan yang sama juga dapat dilakukan dalam menentukan nilai parameter rata-rata (µ) dan nilai parameter variansi (σ2) dari peubah acak X2 berdasarkan fungsi

pembangkit momen marginalnya dengan menggunakan rumus di atas.

1.4Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk mentransformasi distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel dengan menggunakan fungsi pembangkit momen untuk mencari marginal fungsi pembangkit momennya, kemudian mencari estimator parameter rata-rata (µ)

dan parameter variansinya (σ2

) dan mengestimasi kedua parameter tersebut.

1.5

Kontribusi Penelitian

Kesimpulan yang diperoleh setelah dilakukan penelitian, diharapkan :

1. Memudahkan penggunaan distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel secara praktis.

2. Sebagai bahan kajian untuk menganalisis distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel lebih mendalam.

3. Memperkaya literatur dalam bidang statistika terutama yang berhubungan dengan fungsi pembangkit momen dan distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel.

1.6Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah:

1. Dengan melakukan studi literatur terlebih dahulu mengenai fungsi pembangkit momen dan distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel.

2. Memaparkan dan menjelaskan pengertian fungsi pembangkit momen dan distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel.

3. Mensubtitusi persamaan fungsi pembangkit momen dengan persamaan distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel.

4. Mentransformasikan persamaan yang didapat dari hasil subtitusi dengan mengintegralkan persamaan tersebut.

5. Mencari estimator parameter rata-rata (µ) dan parameter variansi (σ2) dengan mencari turunan pertama dan turunan kedua dari hasil transformasi persamaannya.

6. Mengestimasi parameter rata-rata (µ) dan parameter variansi (σ2) dengan menguji nilai kedua parameter tersebut pada contoh kasus.

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Peluang

Peluang adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang yang hasilnya tidak pasti (uncertain event). Peluang dinyatakan antara 0 (nol) sampai 1 (satu) atau dalam persentase. Peluang 0 menunjukkan peristiwa yang tidak mungkin terjadi, sedangkan peluang 1 menunjukkan peristiwa yang pasti terjadi. P(A) = 0,99 artinya probabilitas bahwa kejadian A akan terjadi sebesar 99 % dan peluang A tidak terjadi adalah sebesar 1%.

Ada tiga hal penting dalam rangka membicarakan peluang, yaitu percobaan (experiment), ruang sampel (sample space), kejadian (event), dan titik sampel (sample point).

Percobaan (experiment) adalah pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit 2 (dua) peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.

Ruang sampel (sample space) atau semesta (universe) merupakan himpunan dari semua hasil (outcome) yang mungkin dari suatu percobaan (experiment). Jadi ruang sampel adalah seluruh kemungkinan peristiwa yang akan terjadi akibat adanya suatu percobaan atau kegiatan.

Kejadian (event) adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan. Kejadian menunjukkan hasil yang terjadi dari suatu percobaan. Dalam setiap percobaan atau kegiatan hanya ada satu hasil. Pada kegiatan jual beli saham, kalau tidak membeli berarti menjual. Pada perubahan harga terjadi inflasi atau deflasi. Dua peristiwa tersebut tidak dapat terjadi bersamaan.

Besarnya nilai kemungkinan bagi munculnya suatu kejadian adalah selalu diantara 0 (nol) dan 1 (satu). Pernyataan ini dapat ditulis sebagai 0 ≤P(A) ≤ 1, dimana

P(A) menyatakan nilai kemungkinan bagi munculnya kejadian A. Jika suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama (equally likely) dan jika tepat terdapat sebanyak n hasil yang berkaitan dengan kejadian A, maka peluang kejadian A adalah :

N

n A P( )=

(2.1)

Titik sampel (sample point) merupakan tiap anggota atau elemen dari ruang sampel. Jika suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, dan bila untuk setiap cara

ini operasi kedua dapat dilakukan dengan n2 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi

ketiga dapat dilakukan dengan n3 cara, dst, maka deretan k operasi dapat dilakukan

dengan n1,n2,...,nk cara. Dalam penelitian ini akan dibahas teori peluang bersyarat dan

peluang dua peristiwa yang saling bebas, sebagai berikut :

2.1.1 Peluang Bersyarat

Jika A dan B adalah dua buah peristiwa yang di bentuk dari ruang sampel S, maka peluang bersyarat dari A diberikan B didefenisikan sebagai :

) (

) (

) | (

B P

B A P B A

P = ∩ Dengan 0 ≤P(A) ≤ 1 (2.2)

Dalam hal ini, P(A|B) adalah perhitungan peluang peristiwa A, apabila peristiwa B sudah terjadi. Atau dapat dinyatakan bahwa peluang peristiwa A dan B

kedua-duanya terjadi sama dengan peluang peristiwa B terjadi dikalikan dengan peluang peristiwa A terjadi apabila peristiwa B sudah terjadi.

2.1.2 Peluang Dua Peristiwa yang Saling Bebas

Dalam pembicaraan sehari-hari, dua buah peristiwa dikatakan bebas, jika terjadinya atau tidak terjadinya peristiwa yang satu tidak dipengaruhi oleh terjadinya peristiwa yang lain.

Perumusan dua peristiwa yang saling bebas didasarkan pada perumusan perkalian dari peluang bersyarat, yaitu :

P(A∩B)=P(B).P(A|B)

Karena dua peristiwa A dan B bebas, maka dalam perhitungan P(A|B) terjadinya peristiwa A tidak dipengaruhi oleh terjadinya peristiwa B. Sehingga peristiwa A diberikan peristiwa B akan merupakan peristiwa A itu sendiri. Akibatnya,

) ( ) |

(A B P A

P = . Dengan demikian :

) ( ). ( )

(A B P B P A P ∩ =

(2.3)

2.2 Peubah Acak dan Distribusinya 2.2.1 Peubah Acak

Peubah acak atau variabel acak merupakan hasil-hasil prosedur penyampelan acak (random sampling) atau eksperimen acak dari suatu data yang telah dianalisis secara statistik. Peubah acak dapat dinyatakan dengan huruf besar (X), sedangkan nilai dari peubah acak dinyatakan dengan huruf kecil (x).

Definisi 2.1 :

Peubah acak ialah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel, (Walpole & Myers, 1995: 51).

2.2.2 Distribusi Peubah Acak

2.2.2.1 Distribusi Peubah Acak Diskrit

Seringkali untuk memudahkan suatu perhitungan semua peluang peubah acak dinyatakan dalam suatu fungsi nilai-nilai X seperti f(X) yaitu f(X)=P(X =x). Pada peubah acak diskrit, setiap nilainya dikaitkan dengan peluang. Himpunan pasangan berurutan (x,f(X)) disebut distribusi peluang peubah acak X. Sebuah distribusi yang mencantumkan semua kemungkinan nilai peubah acak diskrit berikut peluangnya disebut peluang diskrit, (Wibisono, 2005: 224).

Suatu peubah acak diskrit dapat dinyatakan sebagai:

∑

= ( ) )

(X p X

f ( 2.4)

Definisi 2.2 :

Himpunan pasangan terurut (x,f(X)) merupakan suatu fungsi peluang, fungsi massa peluang, atau distribusi peluang peubah acak diskrit X bila, untuk setiap kemungkinan hasil x:

1. f(X)≥0

2.

∑

=

x x f( ) 1

3. f(X)=P(X =x) (Walpole & Myers, 1995 :54)

Definisi 2.3 :

Jika peubah X dapat menerima suatu himpunan diskrit dari nilai-nilai X1, X2, . . . ,Xn

dengan peluang masing-masing P1,P2, . . . Pn, dimana P1+P2+ . . . + Pn = 1, maka suatu

fungsi f(X) yang mempunyai nilai masing - masing P1,P2, . . . Pi untuk X1, X2, . . . ,Xi

disebut fungsi peluang. Sehingga dapat dituliskan dengan f(X) = P(X = Xi), yaitu

2.2.2.2 Distribusi Peubah Acak Kontinu

Distribusi peluang bagi peubah acak kontinu tidak dapat disajikan dalam bentuk tabel, akan tetapi distribusinya dapat dinyatakan dalam persamaan yang merupakan fungsi nilai-nilai peubah acak kontinu dan digambarkan dalam bentuk kurva, (Wibisono,2005:226).

Suatu peubah acak kontinu dapat dinyatakan sebagai:

( )

∫

∝

∝ −

= f x dx X

f( ) (2.5)

Definisi 2. 4 :

Fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu X, yang didefinisikan atas himpunan semua bilangan real R, bila

1. f(x) ≥ 0 untuk semua x ∈ R. 2.

∫

( )

=1

∝

∝ −

dx x f

3. P(a < x < b)=

∫

( )

b

a

dx x

f (Walpole & Myers, 1995 :60)

2.2.3 Distribusi Peubah Acak Gabungan

Seperti yang dijelaskan pada subbab sebelumnya ada dua macam peubah acak, yaitu peubah acak diskrit dan peubah acak kontinu. Tetapi karena distribusi yang akan diteliti dalam penelitian ini merupakan distribusi kontinu, maka hanya akan dibahas peubah acak kontinu.

Jika S merupakan ruang sampel dari sebuah eksperimen, maka pasangan (X,Y) dinamakan peubah acak gabungan, jika X dan Y masing-masing menghubungkan sebuah bilangan real dengan setiap anggota S.

(X,Y) disebut peubah acak gabungan kontinu, jika banyak nilai-nilai yang mungkin dari X dan Y masing-masing berbentuk sebuah interval. Perhitungan peubah acak kontinu yang masing-masing berharga tertentu, memerlukan sebuah fungsi yang dinamakan fungsi kepadatan gabungan. Yang didefenisikan sebagai berikut :

( )

∫∫

= ∈

A

dy dx y x f A

X

P[( ) ] ,

(2.6)

Dengan A terletak dalam bidang-xy.

Sebuah fungsi dari dua peubah acak kontinu X dan Y dapat digunakan sebagai fungsi kepadatan gabungan, jika nilai-nilainya yaitu f(x,y), memenuhi sifat-sifat sebagi berikut :

1. f(x,y)≥0 untuk −∝<x<∝,−∝< y<∝

2. [( )∈ ]=

∫ ∫

( )

, =1

∝

∝ −

∝

∝ −

dy dx y x f A

X P

2.3 Defenisi Momen

Dalam menentukan nilai ekspektasi rata-rata dan nilai ekspektasi variansi, dimana nilai – nilai kedua ukuran diatas merupakan pangkat ke-1 dan pangkat ke-2 dari nilai ekspektasi. Sehingga dapat ditentukan perumusan umum untuk menghitung nilai ekspektasi dari pangkat ke-r yang biasa disebut dengan momen. Momen terdiri dari 2 jenis, yaitu:

2.3.1 Momen di Sekitar Titik Asal

Momen ke-r di sekitar titik asal dari sebuah random variabel X dapat didefinisikan

sebagai µ_r' =E[(X −0)r]=E[(X)r]asalkan nilai ekspektasi itu ada. Untuk X diskrit, maka fungsi peluang f(X) :

] ) [(X r

E = 1 ( 1) 2 ( 2) ... ( n)

r n r

r

x f X x

f X x f

] ) [(X r

E =

∑

=

n

i r i f x

X

1

1)

(

(2.7)

Untuk X kontinu, maka fungsi peluang f(X) :

] ) [(X r

E =

∫

∝

∝ −

) (x₁ f X_ir

(2.8)

Dalam hal ini, E[(Xr)] merupakan momen ke-r. Sehingga dapat diperoleh momen ke-0 sampai ke-4 di sekitar titik asal, sebagai berikut :

Tabel 2.1 Momen di Sekitar Titik Asal

Momen Momen di Sekitar Titik Asal

Momen ke-0 ' _{[( )}0_{] 1}

0 =E X =

µ

Momen ke-1 µ' = _{[( )}1_]= _{( )}=µ

1 E X E X

Momen ke-2 ' _{[( )}2_]

2 =E X

µ

Momen ke-3 ' _{[( )}3_]

3 =E X

µ

Momen ke-4 ' _{[( )}4_]

4 =E X

µ

Dari tabel di atas dapat dilihat momen pertama di sekitar titik asal dari suatu distribusi adalah nilai rata-rata.

2.3.2 Momen di Sekitar Rataan

Momen ke-r di sekitar rataan dari sebuah random variabel X dapat didefinisikan

sebagai µ_r =E[(X −µ)r].

Teorema 2.1 :

Momen pertama dari momen di sekitar rataan bernilai 0.

Bukti: [( )1] [( )] [ ] 0

1 = −µ = −µ = −µ =

µ E X E X E X

Sehingga dapat diperoleh momen ke-0 sampai ke-4 di sekitar rataan, sebagai berikut :

Tabel 2.2 Momen di Sekitar Rataan

Momen Momen di Sekitar Rataan

Momen ke-0 _{[( )}0_{] 1}

0 = −µ =

µ E X

Momen ke-1 _{[( )}1_{] 0}

1 = −µ =

µ E X

Momen ke-2 _{[( )}2_]

2 µ

µ =E X −

Momen ke-3 _{[( )}3_]

3 µ

µ =E X −

Momen ke-4 _{[( )}4_]

4 µ

µ =E X −

Dari tabel di atas dapat dilihat momen kedua di sekitar rataan dari suatu distribusi adalah nilai variansi.

2.4 Konversi Momen di Sekitar Titik Asal ke Momen di Sekitar Rataan

Dengan menggunakan dalil binomial, maka dapat diperoleh konversi momen pusat ke-r di sekitar titik asal ke momen pusat ke-r di sekitar rataan sebagai berikut:

] )

[( r

r E X µ

µ = − = _i r i

r i i r ₋ = −      

∑

'( ) 0 µ µ (2.9)

Kemudian dengan mensubtitusikan beberapa nilai r ke dalam rumus di atas, maka akan didapat nilai variansi, kemiringan dan kurtosisnya. Dimana nilai variansinya didapat dari subtitusi nilai r = 2, sebagai berikut :

2

µ = i

i i i − = −      

∑

' 2

2 0 ) ( 2 µ µ

= ₀' 2 ₁' 1 ₂' ( )0

2 2 ) ( 1 2 ) ( 0 2 µ µ µ µ µ

µ _ −

     + −       + −      

= 2' ' 1 2

2µ µ µ

µ − +

2

µ = ' 2

2 µ

µ −

(2.10)

Sehingga didapat nilai variansinya, yaitu hasil dari pengurangan momen pusat ke-r di sekitar titik asal ke-2 dikurang kuadrat dari momen pusat ke-r di sekitar titik asal ke-1. Atau sering di notasikan dengan :

) (X

Var = E(X2)−E(X)2

2.5 Fungsi Pembangkit

Fungsi Pembangkit adalah salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan. Dengan men-translasi persoalan ke dalam Fungsi Pembangkit, maka kita dapat menggunakan sifat-sifat khusus dari Fungsi Pembangkit sebagai jalan untuk memecahkan masalah. Fungsi Pembangkit ini bisa kita perlakukan sebagaimana fungsi-fungsi pada umumnya. Misal saja melakukan operasi diferensial. Fungsi Pembangkit memiliki banyak penggunaan, misalnya untuk menyelesaikan permasalahan rekurensi, counting, membuktikan identitas kombinatorika, maupun aplikasi-aplikasi lain yang beragam. Dalam penerapannya, banyak metode yang menggunakan Fungsi Pembangkit sebagai alat penyelesaian masalah.

Fungsi pembangkit dari barisan bilangan S (terhingga atau takhingga) ,...

, , , _{1 2 3} 0 a a a

a dapat didefenisikan dalam bentuk deret sebagai berikut :

i i i

i

ix a a x a x a x a x

a x

A =

∑

= + + + + +

∝

=

... )

( _{0 1} 1 ₂ 2 ₃ 3

0

(2.12)

Pada deret tersebut, pangkat dari variabel x merupakan indikator sedemikian hingga koefisien dari xi adalah harga fungsi numerik pada i. Untuk sebuah fungsi numerik ai digunakan nama A(x) untuk menyatakan fungsi pembangkitnya.

Walaupun ada banyak jenis-jenis fungsi pembangkit, tetapi dalam penelitian ini hanya akan di bahas fungsi pembangkit eksponensial dan fungsi pembangkit momen.

2.5.1 Fungsi Pembangkit Eksponensial

Fungsi pembangkit eksponensial merupakan salah satu alat penyelesaian masalah dari beberapa jenis fungsi pembangkit. Dimana fungsi pembangkit ini diambil dari Deret Maclaurin sebagai berikut :

∑

∝

= = +

+ +

+ +

o r

r r r

r

r x a r

x a x

a x a x a a

! !

... ! 3 !

2 !

1

3 3 2 2 1 0

Jika nilai a₀,a₁,a₂,a₃,...,a_r =1, maka dapat didefenisikan fungsi pembangkit eksponensial adalah sebagai berikut

∑

∝ = = + + + + + = o r r r x r x r x x x x e ! ! ... ! 3 ! 2 1 3 2 (2.13)

Dan untuk e−xdidefenisikan sebagai berikut :

∑

∝ = − _{= − + − + + − = −} o r r r r r x r x r x x x x e ! ) 1 ( ! ) 1 ( ... ! 3 ! 2 1 3 2 (2.14)

Dalam penelitian ini hanya akan dibahas satu ekspansi binomial dalam bentuk fungsi pembangkit eksponensial sebagai berikut :

Teorema 2.2 :

∑

= − −       − = − n i ix i n x _e i n e 0 ) 1 ( ) 1 (

Bukti :

Dengan menggunakan rumus Binom Newton :

∑

= −       = + n i i i n n b a i n b a 0 ) ( (2.15) Maka : n x e ) 1 ( − − =

∑

= − − ₋       n i i x i n e i n 0 )) )( 1 (( ) 1 ( =

∑

= − −       n i i x i e i n 0 ) ( ) 1 ( =

∑

= −       − n i ix i e i n 0 ) 1 (

2.5.2 Fungsi Pembangkit Momen

Menurut Ronald dan Raymond (1995). Kegunaan yang jelas dari fungsi pembangkit momen ini adalah untuk menentukan momen-momen distribusi. Akan tetapi, kegunaan yang terpenting adalah untuk mencari distribusi dari fungsi peubah acak.

Definisi 2.5 :

Fungsi pembangkit momen dari suatu peubah acak X didefinisikan untuk setiap

bilangan riil t sebagai M_X(t)=E(etx)

(Dudewich & Mishra, 1995 : 300)

Dari definisi 2.5, dapat diuraikan dalam 2 kasus yang berbeda, yaitu untuk peubah acak diskrit dan peubah acak kontinu.

Fungsi pembangkit momen untuk peubah acak diskrit dari X di x yaitu:

M (t) E(e ) e f(x)

x tx tx

x = =

∑

(2.16)

Fungsi pembangkit momen untuk peubah acak kontinu dari X di x yaitu:

∫

∝

∝ − =

= ( ) ( ) )

(t E e e f x

M_x tx tx (2.17)

(Spiegel, 1991:80)

Teorema 2.3 :

Bila fungsi pembangkit momen M_x(t) dari peubah acak X ada untuk t ≤ T, untuk T

> 0, maka E(Xr)dengan (n = 1,2,3,…), makaE(Xr) = M(_Xr)(0). )

(Xr

E = M_X(r)(0)

=

0 ) (

=

t X r r

t M dt

d

(Dudewich & Mishra, 1995 : 300)

Bukti :

Diketahui bahwa M_X(t)=E(etx)_, Dengan menggunakan deret Maclaurin :

! ... ! 3 ! 2 1

3 2

r y y

y y e

r

y = + + + + +

Jika y diganti tX maka :

! ) ( ... ! 3

) ( ! 2

) ( 1

3 2

r tX tX

tX tX e

r

y _{= + + + + +}

Sehingga diperoleh :

) (t

= _      + + + + + ! ) ( ... ! 3 ) ( ! 2 ) ( 1 3 2 r tX tX tX tX E r =

( ) ( )

_      + +       +       + + ! ) ( ... ! 3 ) ( ! 2 ) ( 1 3 2 r tX E tX E tX E tX E E r

=

( )

( )

( )

( )

r

r X E r t X E t X E t X tE ! ) ( ... ! 3 ) ( ! 2 ) ( 1 3 3 2 2 + + + + +

=

( )

( )

( )

( )

r

r X E r t X E t X E t X tE ! ) ( ... ! 3 ) ( ! 2 ) ( 1 3 3 2 2 + + + + +

JikaM_X(t)diturunkan terhadap t, kemudian harganya sama dengan nol, maka akan diperoleh:

) ( '

t

M_X =

( )

( )

( )

( )

r

r X E r t r X E t X E t X E ! . ... ! 3 3 ! 2

2 3 1

2 2 − + + + + ) 0 ( ' X

M = E

( )

X =µ₁' momen pusat ke-1 di sekitar titik asal )

( ' ' _t

M_X =

( )

( )

( )

r

r X E r t r r X E t X E ! ) 1 ( ... ! 3

6 3 2

2 − − + + + ) 0 ( ' ' X

M = E

( )

X2 =µ₂' momen pusat ke-2 di sekitar titik asal ) ( ' ' ' t

M_X =

( )

( )

r

r X E r t r r r X E ! ) 2 )( 1 ( ... 3 3 − − − + + ) 0 ( ' ' ' X

M =

( )

' 3 3 =µ

X

E momen pusat ke-3 di sekitar titik asal .

. .

Sampai turunan ke-r

Jadi untuk mendapatkan momen ke-r dari suatu peubah acak X adalah dengan menurunkan fungsi pembangkit momen sebanyak r kali dan memasukkan nilai t = 0, sehingga terbukti bahwa:

) (Xr E =

0 ) ( = t X r r t M dt d

Teorema 2.4 :

Jika M_X(t)adalah fungsi pembangkit momen dari peubah acak X dan a adalah suatu konstanta, maka fungsi pembangkit momen dari aX adalah:

) (t

M_aX = MX(at)

(Spiegel, 1991 : 80)

Bukti:

) (t

M_aX = E(etaX)

= E(e(ta)X) = MX(at)

Teorema 2.5 :

Jika M_X(t)adalah fungsi pembangkit momen dari peubah acak X, a dan b adalah suatu konstanta, maka fungsi pembangkit momen dari aX + b adalah:

) (t

M_aX+b = M_X(at)ebt

Bukti :

) (t

M_aX+b = E(e(aX+b)t) = _E(_eatX+bt)

= E(eatX).E(ebt)

= M_X(at).ebt

2.5.3 Fungsi Pembangkit Momen Gabungan

Fungsi pembangkit momen gabungan atau Joint MGF dapat didefinisikan sebagai fungsi pembangkit momen yang diperoleh berdasarkan fungsi peluang gabungan atau fungsi densitas gabungan dari dua peubah acak. Dalam hal ini, fungsi pembangkit momen gabungan dapat digunakan untuk memperoleh momen-momen, baik untuk satu peubah acak maupun dua peubah acak.

Sehingga fungsi pembangkit momen gabungan dari (X1, X2)didefinisikan untuk

bilangan riil (t1, t2) sebagai:

) , ( _{1 2}

, 2

1 t t

M_{X X} = _E(_et1X1+t2X2) _(2.18)

(Dudewicz & Mishra, 1995 : 305)

Teorema 2.6 :

Misal fungsi pembangkit momen gabungan dari (X1, X2) ada, maka X1 dan X2

merupakan peubah acak yang saling bebas jika _, (₁, ₂)

2 1 t t

M_{X X} = (₁). ( ₂) 2

1 t M t

M_{X X} Bukti:

) , ( _{1 2}

, 2 1 t t

M_{X X} = _E(_et1X1+t2X2)

= _E(_et1X1._et2X2) = _E(_et1X1)._E(_et2X2) = ( ₁). ( ₂)

2

1 t M t

M_{X X}

Untuk peubah acak X1 dan X2 yang kontinu, maka fungsi pembangkit momen

gabungannya dinotasikan dengan :

2 1 2 2 1 1 2

1, ) ( ) ( )

( 11 2 2

2

1 t t e f x f x dxdx

M_xx tx+tx ∝

−∝ ∝

−∝

∫ ∫

= _(2.19)

Berdasarkan fungsi pembangkit momen gabungan dari X1 dan X2, dapat

ditentukan fungsi pembangkit momen masing-masing dari X1 dan X2 yang dinamakan

fungsi pembangkit momen marginal dari X1 dan fungsi pembangkit momen marginal

dari X2

Fungsi pembangkit momen marginal dari X

.

1 diperoleh dari fungsi pembangkit

momen gabungan dengan mensubstitusikan t2

) ( ) ( ) 0 ,

( 11

1 1

x t e E t M t

M = =

= 0, sehingga :

(2.20)

Fungsi pembangkit momen marginal dari X2 diperoleh dari fungsi pembangkit

momen gabungan dengan mensubstitusikan t1

) ( ) ( ) , 0

( 2 2

2 2

x t e E t M t

M = =

= 0, sehingga :

Sehingga didapat hasil transformasinya, yang kemudian dapat ditentukan momen – momen dari peubah acak X1

1 0

1

1,0) (0,0) (

) (

1 t

M t

t M X

E

t

x _∂

∂ = ∂

∂ = =

=

µ

berdasarkan fungsi pembangkit momen marginalnya. Dimana momen ke-1 yang juga merupakan nilai parameter rata-rata (µ), dihitung dengan meggunakan rumus :

(2.22)

Dan momen ke-2nya dihitung dengan menggunakan rumus:

2 1 0

2 1

1 2

2 ( ,0) (0,0) )

(

1 t

M t

t M X

E

t ∂

∂ = ∂

∂ =

= (2.23)

Dari hasil hitung momen ke-1 dan momen ke-2, maka dapat dihitung nilai parameter variansi (σ2

2

1 2

1 2

2 (0,0) (0,0) )

( _

  

 

∂ ∂ − ∂

∂ =

t M t

M Var σ_x

)nya dengan menggunakan rumus :

(2.24)

Perhitungan yang sama juga dapat dilakukan dalam menentukan nilai parameter rata-rata (µ) dan nilai parameter variansi (σ2) dari peubah acak X2 berdasarkan fungsi

pembangkit momen marginalnya dengan menggunakan rumus di atas.

2.6 Distribusi Eksponensial Tergeneralisir Dua Variabel

Distribusi eksponensial tergenaralisir (Generalized Exponential Distrubution) pertama kali diperkenalkan oleh Gupta dan Kundu pada tahun 1999. Distribusi ini diambil dari salah satu fungsi kepadatan kumulatif yang digunakan pada pertengahan abad 19 (Gompertz-Verhulst) untuk membandingkan tabel kematian dan menghasilkan laju pertumbuhan penduduk. Yang didefeniskan sebagai berikut :

α λ

ρ

)

1

(

)

(

t

e

t

G

=

−

−

Kemudian dengan menstandarisasikan ρ = 1 dan x = t, maka didapat distribusi ekponensial tergeneralisir satu variabel (Univariate Generalized Exponential

Distribution) dengan fungsi kepadatan kumulatif (fkk) dan x > 0, adalah sebagai berikut :

α λ

λ

α

,

)

(

1

)

;

(

x

GE

x

e

F

=

−

−

dari turunan fungsi kepadatan kumulatif di atas, juga didapat fungsi kepadatan peluangnya (fkp) adalah sebagai berikut :

1

) 1

( )

, ;

(

α

λ

=

αλ

−λx − −λx α−

GE x e e

F _(2.25)

Dengan :

x

= peubah acak

α

= parameter bentuk

λ

= parameter skala

e

= 2,7183

Dimana α > 0 dan λ > 0 masing – masing adalah parameter bentuk dan parameter

skala. Ini jelas bila α = 1, maka distribusi diatas merupakan distribusi eksponensial. Sekarang untuk memfokuskan pada kajian parameter α, maka λ = 1. Sehingga

distribusi eksponensial tergeneralisir dengan parameter bentuk di notasikan dengan GE(α).

Jika terdapat dua peubah acak (X1,X2) yang berdistribusi eksponensial

tergeneralisir dengan asumsi saling bebas, maka distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel (fungsi kepadatan peluang gabungan dari (X1,X2)), untuk x1 > 0, x2 > 0

adalah :

)

,

(

x

₁

x

₂

F

1 1 1 2 2 1 1 2

2

1

(

1

)

(

1

)

x x x

x

e

e

e

− −

−

− − − −

−

=

_α

_α

α α

(2.26)

2.7 Estimasi

Estimasi adalah menaksir ciri-ciri tertentu dari populasi atau memperkirakan nilai populasi (parameter) dengan memakai nilai sampel (statistik). Dengan statistika berusaha menyimpulkan populasi. Cara pengambilan keputusan tentang parameter berhubungan dengan cara-cara menaksir harga parameter. Jadi, harga parameter

sebenarnya yang tidak diketahui akan diestimasi berdasarkan statistik sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan.

Sifat atau ciri estimator yang baik yaitu tidak bias, efisien dan konsisten:

1. Estimator yang tidak bias

Estimator dikatakan tidak bias apabila ia dapat menghasilkan estimasi yang

mengandung nilai parameter yang diestimasikan. Misalkan, estimator θˆ dikatakan estimator yang tidak bias jika rata-rata semua harga θˆ yang mungkin akan sama dengan θ. Dalam bahasa ekspektasi ditulis E

( )

θˆ =θ. Misalkan X adalah variabel random dengan rata-rata µ dan varian σ2

,

n X X

X₁, ₂,..., adalah sampel random yang besarnya n dari X , maka rata-rata sampel X dan varian sampel S2 adalah estimator yang tidak bias dari µ dan

2

σ .

2. Estimator yang Efisien

Estimator dikatakan efisien apabila hanya dengan rentang nilai estimasi yang kecil saja sudah cukup mengandung nilai parameter. Estimator bervarians minimum ialah estimator yang efisien diantara semua estimator untuk

parameter yang sama. Jika θˆ₁ dan θˆ₂ dua estimator untuk θ dimana varians untuk θˆ₁ lebih kecil dari varians untuk θˆ₂, maka θˆ₁ merupakan estimator yang efisien.

3. Estimator yang konsisten

Estimator dikatakan konsisten apabila sampel yang diambil beberapa pun besarnya, pada rentangnya tetap mengandung nilai parameter yang sedang

diestimasi. Misalkan, θˆ estimator untuk θ yang dihitung berdasarkan sebuah sampel acak berurutan n. Jika ukuran sampel n makin besar mendekati ukuran populasi menyebabkan θˆ mendekati θ, maka θˆ disebut estimator konsisten.

Estimasi nilai parameter memiliki dua cara, yaitu estimasi titik (point estimation) dan estimasi selang (interval estimation).

2.7.1 Estimasi Titik

Estimasi titik adalah estimasi yang dalam nilai populasinya (parameter) ditentukan hanya oleh satu nilai saja. Nilai yang dipakai menduga populasi tersebut dinamakan estimator. Misalkan x₁,x₂,...,x_n merupakan sampel acak berukuran n dari X , maka statistik θˆ=h

(

x₁,x₂,...,x_n

)

yang berkaitan dengan θ dinamakan penaksir dari θ. Setelah sampel diambil, nilai-nilai yang dihitung dari sampel itu digunakan sabagai taksiran titik θ.

2.7.2 Estimasi Interval

Estimasi interval adalah estimasi dalam suatu interval dimana interval tersebut ditentukan batas atas dan batas bawah suatu estimator. Metode ini memuat nilai-nilai estimator yang masih dianggap benar dalam tingkat (selang) kepercayaan tertentu (confidence interval).

BAB 3 PEMBAHASAN

3.1 Transformasi Distribusi Eksponensial Tergeneralisir Dua Variabel Dengan Fungsi Pembangkit Momen

Dalam membentuk hubungan fungsional dari suatu hasil percobaan. Maka diperlukan fungsi pendekatan untuk menggambarkan hasil percobaan tersebut, yang sering disebut fungsi distribusi. Dari fungsi distribusi tersebut, maka kita dapat melakukan analisis statistik terhadap populasi yang diamati. Termasuk mengestimasi nilai rata-rata dan variansi dari hasil percobaan tersebut dengan fungsi distribusi.

Jika terdapat peubah acak yang berdistribusi tertentu, maka kita dapat mengestimasi parameter rata-rata dan parameter variansinya dengan menggunakan berbagai macam metode, diantaranya dengan menggunakan metode momen, fungsi pembangkit momen, fungsi karakteristik, estimasi maksimum likelihood, dll. Dengan asumsi bahwa estimasi yang diperoleh tidak jauh berbeda (tidak bias) dari nilai rata-ratanya dan nilai variansinya. Dalam penelitian ini akan digunakan fungsi pembangkit momen dalam mengestimasi parameter rata-rata dan parameter variansi pada distribusi ekponensial tergeneralisir dua variabel.

Dengan mensubtitusikan fungsi pembangkit momen gabungan pada persamaan (2.19) dengan fungsi distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel pada persamaan (2.26), maka diperoleh transformasi distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel dengan fungsi pembangkit momen sebagai berikut:

)

,

(

t

₁

t

₂

M

1 2

) 1 ( ) 1 ( 1 1

0 0 2 1

2 2 1 1 2 2 1

1

₎

₍

₁

₎

1

(

e

−x −

e

−x −

e

−x −t

e

−x −t

dx

dx

∝ ∝

−

−

Untuk memudahkan dalam proses pengintegralan. Maka, dengan menggunakan ekspansi binomial dalam bentuk fungsi pembangkit eksponensial pada teorema (2.2), fungsi diatas dapat dibentuk menjadi :

) , (t₁ t₂

M 1 2

) 1 ( 1 0 2 ) 1 ( 1 0 1 0 0 2 1 2 2 2 1 1 1

1

)

1

(

1

)

1

(

e

dx

dx

j

e

i

j t x j j i t x i

i − − +

− = + − − − = ∝ ∝

∑

∑

∫∫

−



_

 −



_



−



_



−



_



=

α

α

α

α

α

α

Kemudian dengan mengintegral fungsi integral ganda diatas terhadap x1 dan x2.

Maka didapat transformasi distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel dengan fungsi pembangkit momen sebagai berikut :

) , (t₁ t₂ M

)

1

(

1

1

)

1

(

)

1

(

1

1

)

1

(

2 1 0 2 2 1 1 0 1 1 2 1

j

t

j

i

t

i

j j i i

+

−













−

−

+

−











 −

−

=

∑

∑

− = − = α α

_α

α

α

α

(3.1)

3.2 Fungsi Pembangkit Momen Marginal dari X1 dan X2

Berdasarkan transformasi diatas, dapat ditentukan fungsi pembangkit momen masing-masing dari X

1 dan X2 yang dinamakan fungsi pembangkit momen marginal dari X1

dan fungsi pembangkit momen marginal dari X2

Fungsi pembangkit momen marginal dari X

pada distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel.

1 diperoleh dari fungsi pembangkit

momen gabungan dengan mensubstitusikan t2 = 0, sehingga fungsi diatas menjadi :

) 0 , (t1

M

)

1

(

1

1

)

1

(

)

1

(

1

1

)

1

(

1 0 2 2 1 1 0 1 1 2 1

j

j

i

t

i

j j i i

+













−

−

+

−











 −

−

=

∑

∑

− = − = α α

α

α

α

α

Dengan nilai :

₍

₁

1

₎

1

1

)

1

(

1 0 2 2 1

=

+













−

−

∑

−

=

j

j

j

j

α

_α

α

Sehingga, fungsi pembangkit momen marginal dari X1 adalah :

) 0 , (t₁ M

)

1

(

1

1

)

1

(

1 1 0 1 1 1

i

t

i

i i

+

−











 −

−

=

∑

− = α

_α

α

(3.2)

Dengan cara yang sama, dapat ditentukan juga fungsi pembangkit momen marginal dari X2 dengan mensubstitusikan t1 = 0. Sebagai berikut :

) , 0 ( t₂ M

)

1

(

1

1

)

1

(

2 1

0

2 2

2

j

t

j

j

j

+

−













−

−

=

∑

−

=

α

α

α

(3.3)

Dari kedua fungsi pembangkit momen diatas dapat dibuktikan bahwa distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel merupakan distribusi gabungan yang saling bebas, karena masing-masing fungsi pembangkit momen marginalnya membentuk distribusi eksponensial tergeneralisir satu variabel. Sehingga dapat dimisalkan

α

α

α

₁ = ₂ = dant₁ =t₂ =t. kemudian dapat ditentukan estimator parameter rata-ratanya dan parameter variansinya sebagai berikut :

3.3 Estimator Rata-rata (µ) Pada Distribusi Eksponensial Tergeneralisir dengan Fungsi Pembangkit Momen

Dari kedua fungsi pembangkit momen marginal di atas, dengan nilai

α

₁ =

α

₂ =

α

dan t1 =t2 =t. Maka, fungsi pembangkit momennya menjadi :

M(t)

₍

₁

₎

1

1

)

1

(

1

0

i

t

i

i

i

+

−











 −

−

=

∑

−

=

α

α

α

Untuk mendapatkan momen ke-r dari distribusi eksponensial tergeneralisir di atas, fungsi pembangkit momennya diturunkan sebanyak r kali dan memasukkan nilai

t = 0. Dalam hal ini untuk mendapatkan estimator rata-ratanya, fungsi pembangkit momennya diturunkan sekali. Sehingga didapat estimator rata-ratanya adalah sebagai berikut :

∧

µ 2

1

0

(

1

)

1

1

)

1

(

i

i

i

i

+











 −

−

=

∑

−

=

α

α

α

(3.4)

3.4 Estimator Variansi (σ2) Pada Distribusi Eksponensial Tergeneralisir dengan Fungsi Pembangkit Momen

Dari momen ke-1 atau estimator rata-rata diatas, dapat juga dihitung momen ke-2nya adalah sebagai berikut :

) (t

M 3

1

0

(

1

)

1

2

1

)

1

(

i

i

i

i

+











 −

−

=

∑

−

=

α

α

α

Sehingga dengan menggunakan rumus variansi pada persamaan (), yaitu hasil pengurangan momen ke-2 dengan momen ke-1 kuadrat, didapat estimator variansinya adalah sebagai berikut :

∧

2

σ 3 2

1

0

)

(

)

1

(

1

2

1

)

1

(

∧ −

=

−

+











 −

−

=

∑

α

α

α

µ

i

i

i

i

(3.5)

3.5 Contoh Kasus

Misalkan terdapat dua peubah acak X1 dan X2 yang berdistribusi eksponensial

tergeneralisir, dengan asumsi kedua peubah acak saling bebas. Peubah acak X1

memiliki parameter kegagalan awal (α1) = 2, dan peubah acak X2 memiliki parameter

kegagalan awal (α2) = 8. Sehingga luas kedua peubah acak tersebut dapat

diperlihatkan pada distribusi ekponensial tergeneralisir dua variabel sebagai berikut :

)

,

(

x

₁

x

₂

F

1 2

0 0

7 1 2

2

1

₎

₍

₁

₎

1

(

16

e

x

e

x

e

x x

dx

dx

∫ ∫

∝ ∝

− − −

−

₋

−

=

Gambar 3.1 Grafik Distribusi Eksponensial Tergeneralisir Dua Variabel dengan α = 16

Berdasarkan peluang dua peristiwa yang saling bebas pada subbab (2.1.2), dimana f(X1∩X2)= f(X1).f(X2), maka dapat diketahui dua marginal distribusinya adalah:

)

(

x

₁

F

1

0

1 1

₎

1

(

2

e

−x

e

−x

dx

∝

−

=

∫

_{, dan}

)

(

x

₂

F

∫

∝

− −

−

=

0

2

7 2

2

₎

1

(

8

e

x

e

x

dx

Dengan gambaran 2 grafik berdimensi 2nya adalah sebagai berikut

Gambar 3.2 Grafik Distribusi Eksponensial Tergeneralisir dengan α1 = 2 dan α2 = 8

0,2 1,2

2,2 3,2

4,2

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2

0,2 0,6 1

1,4 1,8 2,2 _2,6 3

3,4 3,8 _4,2

4,6 ₅

Grafik Distribusi Eksponensial Tergeneralisir Dua Variabel

-0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f (

x

)

X

Grafik Distribusi Eksponensial Tergeneralisir

α = 2 α = 8

Dalam hal ini, akan di cari nilai rata-ratanya dan nilai variansinya. Kemudian akan dibandingkan dengan estimator fungsi pembangkit momennya.

3.5.1 Nilai Rata-rata Peubah Acak X_{1 dan} X₂

Pada subbab (2.3.1) dijelaskan bahwa nilai rata-rata dari sebuah peubah acak adalah

)] [(X E

=

µ . Sehingga nilai ekspektasi rata-rata peubah acak X adalah sebagai berikut:

µ = E[(X)] = x.f(x)dx

0

∫

∝

= x e x e x 1dx

0 ) 1 ( . − − ∝ −

∫

_α − α

=

x

e

dx

i

i x x i i

∫∑

∝ − − − =











 −

−

0 1 0

.

1

)

1

(

α

α

α

Dengan menggunakan integral parsiil :

∫

udv=uv−

∫

vdu, maka :

=

_















+

−

−







+

−











 −

−

∝ − − ∝ − − − =

∫

∑

dx

i

e

i

e

x

i

i x x i x x i i

1

1

1

)

1

(

0 0 1 0 α

α

α

=

_





















+

+

−







+

−











 −

−

∝ − − ∝ − − − =

∑

0 2 0 1

0

1

1

2

1

)

1

(

i

i

e

i

e

x

i

i x x i x x i i α

α

α

(3.6)

Sehingga dari persamaan (3.6) di atas dapat diketahui nilai rata-rata peubah acak

X1 dengan parameter kegagalan awal (α1) = 2 adalah sebagai berikut :

1

µ = E[(X₁)]=

_





















+

+

−







+

−











 −

−

∝ − − ∝ − − − =

∑

0 2 0 1 1 2

0

1

1

2

1

2

)

1

(

2

1 1 1 1

i

i

e

i

e

x

i

i x x i x x i i

= 2 . 1 ((0-0)-(0-1)) + 2 . -1 ((0-0)-(0-0,25))

1

Dan nilai rata-rata peubah acak X2 dengan parameter kegagalan awal (α2) = 8

adalah sebagai berikut :

2

µ = E[(X2)]=























+

+

−







+

−











 −

−

∝ − − ∝ − − − =

∑

0 2 0 1 1 8

0

1

1

2

1

8

)

1

(

8

21 2 21 2

i

i

e

i

e

x

i

i x x i x x i i

= 8 . 1 ((0-0)-(0-1)) + 8 . -7 ((0-0)-(0-0,25)) + 8 . 21 ((0-0)-(0- 0,111)) + 8 . -35 ((0-0)-(0-0,0625)) + 8 . 35 ((0-0)-(0-0,04)) + 8 . -21 ((0-0)-(0-0,0278)) + 8 . 7 ((0-0)-(0-0,0204)) + 8 . -1 ((0-0)-(0-0,016))

2

µ = 2,718

3.5.2 Nilai Variansi Peubah Acak X_{1 dan} X₂

Pada subbab (2.3.2) dijelaskan bahwa nilai variansi dari sebuah peubah acak adalah

) ( 2 X Var =

σ = E(X2)−E(X)2. Sehingga nilai variansi dari peubah acak X adalah sebagai berikut :

2

σ

= 2 2

0

) (

. _−µ

    

∫

∝ dx x f x

= 1 2

0 2

) 1 (

.α α _−µ

     − − − ∝ −

∫

x e x e x dx

= 2

0 2 1 0

.

1

)

1

(

α

µ

α

α

−























 −

−

∫∑

∝ − − − =

dx

e

x

i

i x x i i

Dengan menggunakan integral parsiil :

∫

udv=uv−

∫

vdu, maka :

= 2

0 0 2 1 0

1

2

1

1

)

1

(

α

µ

α

α

−

































+

+







+

−











 −

−

∝ − − ∝ − − − =

∫

∑

dx

i

e

x

i

e

x

i

i x x i x x i i

2

0 3

)

1

(

2

2 2

µ

−







































+

∝ − −

i

e

x x i

=

(

8 . 1 ((0-0)-(0-0)-(0-2)) + 8 . -7 ((0-0)-(0-0)-(0-0,25)) + 8 . 21 ((0-0)-(0-0)-(0-0,074)) + 8 . -35 ((0-0)-(0-0)-(0-0,0313)) + 8 . 35 ((0-0)-(0-0)-(0-0,016)) + 8 . -21 ((0-0)-(0-0)-(0-0,0092)) + 8 . 7 ((0-0)-(0-0)-(0-0,0058)) + 8 . -1 ((0-0)-(0-0)-(0-0,0039))

)

– (2,718)2

2 2

σ = 8,914 – (2,718)2 = 1,527

2

σ = 1,236

Dari nilai rata-rata dan variansi peubah acak X1 dan X2 di atas, dapat diperlihatkan garis rata-rata dan simpangan bakunya pada grafik di bawah ini :

Gambar 3.3 Grafik Peubah Acak X_{1 dan} X_{2 dengan Garis Rata-rata} dan Simpangan Bakunya

3.5.3 Nilai Estimasi Rata-rata X_{1 dan} X_{2 dengan Estimator Rata-rata Fungsi} Pembangkit Momen

Dari estimator rata-rata fungsi pembangkit momen yang didapat pada persamaan (3.4), maka nilai estimasi rata-rata peubah acak X1 dengan parameter kegagalan awal (α1) = 2 adalah sebagai berikut :

∧ 1

µ = [( 1)] ∧ X

E = 2

1 2

0

(

1

)

1

1

2

)

1

(

2

i

i

i i

+











 −

−

∑

− =

= 2 + (-0,5) [( 1)]

∧ X

E = 1,5

Dan nilai estimasi rata-rata peubah acak X2 dengan parameter kegagalan awal (α1) = 8 adalah sebagai berikut :

∧ 2

µ = [( ₂)] ∧ X

E = 2

1 8

0

(

1

)

1

1

8

)

1

(

8

i

i

i i

+











 −

−

∑

− =

= 8 + (-14) + 18,67 + (-17,5) + 11,2 + (-4,67) + 1,14 + (-0,12) [( 2)]

∧ X

E = 2,718

Dari dua nilai estimasi rata-rata di atas, maka dapat disimpulkan bahwa estimasi rata-rata dengan fungsi pembangkit momen tidak berbias terhadap nilai rata-rata populasinya (µ₁= [( ₁)]

∧ X

E dan µ₂= [( ₂)] ∧ X

E ).

3.5.4 Nilai Estimasi Variansi X_{1 dan} X_{2 dengan Estimator Variansi Fungsi} Pembangkit Momen

Dari estimator variansi fungsi pembangkit momen yang didapat pada persamaan (), maka nilai estimasi variansi peubah acak X1 dengan parameter kegagalan awal (α1) = 2 adalah sebagai berikut :

∧

2 1

σ = ( 1)

∧ X

Var = 3 2

1 2 0

)

(

)

1

(

1

2

1

2

)

1

(

2

∧ − =

−

+











 −

−

∑

µ

i

i

i i

=

(

4 + (-0,5)

)

– (1,5)2 ( 1)

∧ X

Var = 3,5 – 2,25 = 1,25

Dan nilai estimasi variansi peubah acak X2 dengan parameter kegagalan awal (α1) = 8 adalah sebagai berikut :

∧

2 2

σ = ( 2)

∧ X

Var = ₃ 2

1 8 0

)

(

)

1

(

1

2

1

8

)

1

(

8

∧ − =

−

+











 −

−

∑

µ

i

i

i i

=

(

16 + (-14) + 12,4 + (-8,75) + 4,48 + (-1,56) + 0,33 + (-0,03)

)

– (2,718)2

( 2)

∧ X

Var = 8,914 – 7,39 = 1,527

Dari dua nilai estimasi variansi di atas, maka dapat disimpulkan bahwa estimasi variansi dengan fungsi pembangkit momen tidak berbias terhadap nilai rata-rata populasinya (σ₁2 = ( 1)

∧ X

Var dan σ₂2= ( 2) ∧ X Var ).

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :

1. Dengan menggunakan fungsi pembangkit momen, maka didapat estimator rata-rata distribusi eksponensial tergeneralisir adalah :

∧

µ ₂

1

0

(

1

)

1

1

)

1

(

i

i

i

i

+











 −

−

=

∑

−

=

α

α

α

dan estimator variansi distribusi eksponensial tergeneralisir adalah : ∧

2

σ 3 2

1

0

)

(

)

1

(

1

2

1

)

1

(

∧ −

=

−

+











 −

−

=

∑

α

α

α

µ

i

i

i

i

2. Dari nilai-nilai rata-rata dan variansi yang sama dengan nilai-nilai estimasinya, yakni :

µ

₁= [( 1)]

∧ X

E , µ₂= [( 2)] ∧ X

E , σ₁2 = ( 1) ∧ X

Var , dan σ₂2= ( 2) ∧ X Var Maka dapat disimpulkan bahwa estimasi parameter µ dan σ2 pada distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel dengan menggunakan fungsi pembangkit momen tidak berbias.

4.2 Saran

1. Untuk mengetahui apakah estimator fungsi pembangkit momen di atas efisien dan konsisten digunakan, maka diperlukan penelitian lebih lanjut dengan membandingkannya dengan metode estimasi yang lain, dan mengujinya dengan menggunakan sampel kecil dan sampel besar.

2. Untuk kajian yang lebih mendalam lagi mengenai distribusi eksponensial tergeneralisir, dapat dilakukan dengan mencari estimator kemiringan dan estimator kurtosisnya.

DAFTAR PUSTAKA

D. Agita, D. Pravitasari, E.Z.2009/2010. Fathoni.Fungsi Pembangkit Momen dan Fungsi Karakteristik. Jakarta : Sekolah Tinggi ilmu Statistik

Dudewiez, Mishra. 1995. Statistika Matematika Modern. Bandung: ITB Bandung. Freund, John E. dan Walpole, Ronald E. 1987. Mathematical Statistics. United

States Of America: Prentice-Hall

Herrhyanto, Gantini. Pengantar Statistika Matematis. Bandung : Yrama Widya R.D. Gupta, D., Kundu. 1999. Generalized exponential distribution. Austr. NZ J.

Statist. 41 (2), 173–188

R.D. Gupta, D., Kundu. 2001. Exponentiated exponential Family: an alternative to gamma and Weibull distributions. Biometrical Journal , 43(1),117-130 R.D. Gupta, D., Kundu. 2007. Generalized exponential distributions: existing results

and some recent developments. Journal of Statistical Planning and Inference, vol. 137, 3525 – 3536

Papoulis. 1992. Probabilitas, Variabel Random, dan Proses Stokastik. Edisi 2. Yogyakarta :Gadjah mada University Press

Suparman. Statistik Matematik. Jakarta, 1988

Spiegel, Schiller, dan Srinivasan, 2004. Probabilitas dan Statistik. Jakarta :Erlangga Walpole, Myers. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika Untuk Insinyur dan Ilmuwan.

Bandung: ITB Bandung

Walpole, Ronald. Dkk. 2003. Probabilitas dan Statistika untuk Teknik dan Sains. Jakarta : PT Prehallindo

Wibisono, Yusuf. 2005. Metode Statistika. Yogyakarta : Gajah Mada University