Sehingga didapat hasil transformasinya, yang kemudian dapat ditentukan momen – momen dari peubah acak X
1
1 1
1
, ,
1
t M
t t
M X
E
t x
∂ ∂
= ∂
∂ =
=
=
µ berdasarkan fungsi pembangkit momen
marginalnya. Dimana momen ke-1 yang juga merupakan nilai parameter rata-rata µ, dihitung dengan meggunakan rumus :
2.22
Dan momen ke-2nya dihitung dengan menggunakan rumus:
2 1
2 1
1 2
2
, ,
1
t M
t t
M X
E
t
∂ ∂
= ∂
∂ =
=
2.23 Dari hasil hitung momen ke-1 dan momen ke-2, maka dapat dihitung nilai
parameter variansi σ
2
2 1
2 1
2 2
, ,
∂ ∂
− ∂
∂ =
t M
t M
Var
x
σ
nya dengan menggunakan rumus :
2.24 Perhitungan yang sama juga dapat dilakukan dalam menentukan nilai parameter
rata- rata µ dan nilai parameter variansi σ
2
dari peubah acak X
2
berdasarkan fungsi pembangkit momen marginalnya dengan menggunakan rumus di atas.
2.6 Distribusi Eksponensial Tergeneralisir Dua Variabel
Distribusi eksponensial tergenaralisir Generalized Exponential Distrubution pertama
kali diperkenalkan oleh Gupta dan Kundu pada tahun 1999. Distribusi ini diambil
dari salah satu fungsi kepadatan kumulatif yang digunakan pada pertengahan abad 19
Gompertz-Verhulst untuk membandingkan tabel kematian dan menghasilkan laju
pertumbuhan penduduk. Yang didefeniskan sebagai berikut :
α λ
ρ
1
t
e t
G
−
− =
Kemudian dengan menstandarisasikan ρ = 1 dan x = t, maka didapat distribusi
ekponensial tergeneralisir satu variabel Univariate Generalized Exponential
Distribution dengan fungsi kepadatan kumulatif fkk dan x 0, adalah sebagai berikut :
α λ
λ α
1 ,
;
x GE
e x
F
−
− =
dari turunan fungsi kepadatan kumulatif di atas, juga didapat fungsi kepadatan peluangnya fkp adalah sebagai berikut :
1
1 ,
;
− −
−
− =
α λ
λ
αλ λ
α
x x
GE
e e
x F
2.25 Dengan :
x
= peubah acak
α
= parameter bentuk
λ
= parameter skala
e
= 2,7183 Dimana α 0 dan λ 0 masing – masing adalah parameter bentuk dan parameter
skala. Ini jelas bila α = 1, maka distribusi diatas merupakan distribusi eksponensial. Sekarang untuk memfokuskan pada kajian parameter α, maka λ = 1. Sehingga
distribusi eksponensial tergeneralisir dengan parameter bentuk di notasikan dengan GE
α.
Jika terdapat dua peubah acak X
1,
X
2
yang berdistribusi eksponensial tergeneralisir dengan asumsi saling bebas, maka distribusi eksponensial tergeneralisir
dua variabel fungsi kepadatan peluang gabungan dari X
1,
X
2
, untuk x
1
0, x
2
adalah :
,
2 1
x x
F
2 1
2 2
1 1
1 1
2 1
1 1
x x
x x
e e
e
− −
− −
− −
− −
=
α α
α α
2.26
2.7 Estimasi
Estimasi adalah menaksir ciri-ciri tertentu dari populasi atau memperkirakan nilai populasi parameter dengan memakai nilai sampel statistik. Dengan statistika
berusaha menyimpulkan populasi. Cara pengambilan keputusan tentang parameter berhubungan dengan cara-cara menaksir harga parameter. Jadi, harga parameter
sebenarnya yang tidak diketahui akan diestimasi berdasarkan statistik sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan.
Sifat atau ciri estimator yang baik yaitu tidak bias, efisien dan konsisten:
1. Estimator yang tidak bias
Estimator dikatakan tidak bias apabila ia dapat menghasilkan estimasi yang mengandung nilai parameter yang diestimasikan. Misalkan, estimator
θˆ dikatakan estimator yang tidak bias jika rata-rata semua harga
θˆ yang mungkin akan sama dengan
θ . Dalam bahasa ekspektasi ditulis θ
θ
= ˆ
E
. Misalkan
X
adalah variabel random dengan rata-rata µ dan varian
2
σ ,
n
X X
X ,...,
,
2 1
adalah sampel random yang besarnya n dari
X
, maka rata-rata sampel
X
dan varian sampel
2
S
adalah estimator yang tidak bias dari µ dan
2
σ .
2. Estimator yang Efisien
Estimator dikatakan efisien apabila hanya dengan rentang nilai estimasi yang kecil saja sudah cukup mengandung nilai parameter. Estimator bervarians
minimum ialah estimator yang efisien diantara semua estimator untuk parameter yang sama. Jika
1
ˆ
θ dan
2
ˆ
θ dua estimator untuk θ dimana varians untuk
1
ˆ
θ lebih kecil dari varians untuk
2
ˆ
θ , maka
1
ˆ
θ merupakan estimator yang efisien.
3. Estimator yang konsisten
Estimator dikatakan konsisten apabila sampel yang diambil beberapa pun besarnya, pada rentangnya tetap mengandung nilai parameter yang sedang
diestimasi. Misalkan, θˆ estimator untuk θ yang dihitung berdasarkan sebuah
sampel acak berurutan n . Jika ukuran sampel n makin besar mendekati ukuran populasi menyebabkan
θˆ mendekati θ , maka θˆ disebut estimator konsisten.
Estimasi nilai parameter memiliki dua cara, yaitu estimasi titik point estimation dan estimasi selang interval estimation.
2.7.1 Estimasi Titik
Estimasi titik adalah estimasi yang dalam nilai populasinya parameter ditentukan hanya oleh satu nilai saja. Nilai yang dipakai menduga populasi tersebut dinamakan
estimator. Misalkan
n
x x
x ,...,
,
2 1
merupakan sampel acak berukuran n dari
X
, maka statistik
n
x x
x h
,..., ,
ˆ
2 1
= θ
yang berkaitan dengan θ dinamakan penaksir dari
θ . Setelah sampel diambil, nilai-nilai yang dihitung dari sampel itu digunakan sabagai
taksiran titik θ .
2.7.2 Estimasi Interval
Estimasi interval adalah estimasi dalam suatu interval dimana interval tersebut ditentukan batas atas dan batas bawah suatu estimator. Metode ini memuat nilai-nilai
estimator yang masih dianggap benar dalam tingkat selang kepercayaan tertentu confidence interval.
BAB 3
PEMBAHASAN
3.1 Transformasi Distribusi Eksponensial Tergeneralisir Dua Variabel Dengan Fungsi Pembangkit Momen
Dalam membentuk hubungan fungsional dari suatu hasil percobaan. Maka diperlukan fungsi pendekatan untuk menggambarkan hasil percobaan tersebut, yang sering
disebut fungsi distribusi. Dari fungsi distribusi tersebut, maka kita dapat melakukan analisis statistik terhadap populasi yang diamati. Termasuk mengestimasi nilai rata-
rata dan variansi dari hasil percobaan tersebut dengan fungsi distribusi.
Jika terdapat peubah acak yang berdistribusi tertentu, maka kita dapat mengestimasi parameter rata-rata dan parameter variansinya dengan menggunakan
berbagai macam metode, diantaranya dengan menggunakan metode momen, fungsi pembangkit momen, fungsi karakteristik, estimasi maksimum likelihood, dll. Dengan
asumsi bahwa estimasi yang diperoleh tidak jauh berbeda tidak bias dari nilai rata- ratanya dan nilai variansinya. Dalam penelitian ini akan digunakan fungsi pembangkit
momen dalam mengestimasi parameter rata-rata dan parameter variansi pada distribusi ekponensial tergeneralisir dua variabel.
Dengan mensubtitusikan fungsi pembangkit momen gabungan pada persamaan 2.19 dengan fungsi distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel pada
persamaan 2.26, maka diperoleh transformasi distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel dengan fungsi pembangkit momen sebagai berikut:
,
2 1
t t
M
2 1
1 1
1 1
0 0 2
1
2 2
1 1
2 2
1 1
1 1
dx dx
e e
e e
t x
t x
x x
− −
− −
− −
− −
∝ ∝
− −
=
∫∫
α α
α α
Untuk memudahkan dalam proses pengintegralan. Maka, dengan menggunakan ekspansi binomial dalam bentuk fungsi pembangkit eksponensial pada teorema 2.2,
fungsi diatas dapat dibentuk menjadi : ,
2 1
t t
M
2 1
1 1
2 1
1 1
0 0 2
1
2 2
2 1
1 1
1 1
1 1
dx dx
e j
e i
j t
x j
j i
t x
i i
+ −
− −
= +
− −
− =
∝ ∝
∑ ∑
∫∫
− −
−
− =
α α
α α
α α
Kemudian dengan mengintegral fungsi integral ganda diatas terhadap x
1
dan x
2
. Maka didapat transformasi distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel dengan
fungsi pembangkit momen sebagai berikut : ,
2 1
t t
M
1 1
1 1
1 1
1 1
2 1
2 2
1 1
1 1
2 1
j t
j i
t i
j j
i i
+ −
− −
+ −
−
− =
∑ ∑
− =
− =
α α
α α
α α
3.1
3.2 Fungsi Pembangkit Momen Marginal dari X
