dan estimator parameter µ dan σ
2
pada distribusi eksponensial tergenaralisir dua variabel.
Dua variabel digunakan tidak hanya untuk harapan estimasi tersebut tidak berbias, tetapi juga untuk membandingkan bahwa kedua variabel tersebut memiliki
hasil yang sama dari nilai rata-rata dan variansi keseluruhan distribusinya.
Menurut Walpole 1995 kegunaan yang jelas dari fungsi pembangkit momen
ialah untuk menentukan momen distribusi. Bila fungsi pembangkit momen suatu peubah acak memang ada, fungsi itu dapat dipakai untuk membangkitkan atau
menemukan seluruh momen dari peubah acak tersebut, dengan menurunkan fungsi pembangkit momen hingga n kali. Dapat diketahui bahwa turunan pertamanya adalah
rata-rata dan turunan kedua adalah variansinya.
Dari latar belakang di atas, penulis akan mengkaji tentang “Estimasi Parameter µ dan σ
2
Pada Distribusi Eksponensial Tergeneralisir Dua Variabel Menggunakan
Fungsi Pembangkit Momen”
1.2 Perumusan Masalah
Pada penelitian ini rumusan masalah yang dibahas adalah bagaimanakah transformasi distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel dengan menggunakan fungsi
pembangkit momen untuk mencari marginal fungsi pembangkit momennya, kemudian mencari estimator parameter rata-rata
µ dan parameter variansinya σ
2
dan mengestimasi kedua parameter tersebut.
1.3 Tinjauan Pustaka
Dijelaskan oleh Gupta dan Kundu 1999 bahwa distribusi ekponensial tergeneralisir
Univariate Generalized Exponential Distribution GE dengan fungsi kepadatan
kumulatif fkk dan fungsi kepadatan peluang fkp dengan x 0, adalah sebagai berikut :
α λ
λ α
1 ,
;
x GE
e x
F
−
− =
1
1 ,
;
− −
−
− =
α λ
λ
αλ λ
α
x x
GE
e e
x F
Dengan :
x
= peubah acak
α
= parameter bentuk
λ
= parameter skala
e
= 2,7183
Jika X
1,
X
2
merupakan distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel dengan asumsi saling bebas, maka fungsi kepadatan peluang gabungan dari X
1,
X
2
, untuk x
1
0, x
2
0 adalah :
,
2 1
x x
F
2 1
2 2
1 1
1 1
2 1
1 1
x x
x x
e e
e
− −
− −
− −
− −
=
α α
α α
Untuk mentransformasi distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel di atas dengan fungsi pembangkit momen. Maka akan disubtitusikan dengan persamaan
fungsi pembangkit momen yang di jelaskan sebagai berikut :
Dijelaskan oleh Walpole dan Myers 1995 bahwa fungsi pembangkit momen
atau Moment generating function MGF dari sebuah peubah acak X dapat didefinisikan sebagai:
tx x
e E
t M
=
untuk t dalam R
di mana T = {t ∈ R :
t M
x
∞}.
Karena distribusi yang akan ditransformasi merupakan distribusi gabungan maka fungsi pembangkit momennya harus dalam bentuk gabungan Joint Moment
Generating Function, yang di notasikan sebagai berikut: ,
2 2
1 1
2 1
2 1
x t
x t
x x
e E
t t
M
+
=
Untuk peubah acak X
1
dan X
2
yang kontinu dan bebas satu sama lain saling lepas, dinotasikan dengan :
2 1
2 2
1 1
2 1
,
2 2
1 1
2 1
dx dx
x f
x f
e t
t M
x t
x t
x x
+ ∝
−∝ ∝
−∝
∫ ∫
=
Berdasarkan fungsi pembangkit momen gabungan dari X
1
dan X
2
, dapat ditentukan fungsi pembangkit momen masing-masing dari X
1
dan X
2
yang dinamakan fungsi pembangkit momen marginal dari X
1
dan fungsi pembangkit momen marginal dari X
2
Fungsi pembangkit momen marginal dari X .
1
diperoleh dari fungsi pembangkit momen gabungan dengan mensubstitusikan t
2
= 0, sehingga: ,
1 1
1 1
x t
e E
t M
t M
= =
, dan Fungsi pembangkit momen marginal dari X
2
diperoleh dari fungsi pembangkit momen gabungan dengan mensubstitusikan t
1
= 0, sehingga: ,
2 2
2 2
x t
e E
t M
t M
= =
Kemudian dapat ditentukan momen – momen dari peubah acak X
1
berdasarkan fungsi pembangkit momen marginalnya. Dimana momen ke-1 yang juga merupakan
nilai parameter rata-rata µ, dihitung dengan meggunakan rumus :
1 1
1
, ,
1
t M
t t
M X
E
t x
∂ ∂
= ∂
∂ =
=
=
µ
Dan momen ke-2nya dihitung dengan menggunakan rumus:
2 1
2 1
1 2
2
, ,
1
t M
t t
M X
E
t
∂ ∂
= ∂
∂ =
=
Dari rumus momen ke-1 dan momen ke-2, maka dapat di hitung nilai parameter variansi
σ
2
nya dengan menggunakan rumus :
2 1
2 1
2 2
, ,
∂ ∂
− ∂
∂ =
t M
t M
Var
x
σ
Perhitungan yang sama juga dapat dilakukan dalam menentukan nilai parameter rata-rata µ dan nilai parameter variansi
σ
2
dari peubah acak X
2
berdasarkan fungsi pembangkit momen marginalnya dengan menggunakan rumus di atas.
1.4 Tujuan Penelitian
