BAB III MODEL
HIDDEN MARKOV
3.1 State dan Proses Observasi dalam waktu diskret
Semua proses didefinisikan pada ruang peluang Ω, , . Misalkan
; adalah rantai Markov dengan state berhingga yang bersifat
homogen dan diasumsikan tidak diamati secara langsung, sedangkan ;
adalah proses observasinya. Pasangan proses stokastik ,
merupakan model Hidden Markov. Ruang state dari X adalah
, , … , dengan
, … , ,1, , … , ,
yaitu himpunan vektor satuan di , di mana hanya elemen ke-i yang bernilai
1 dan lainnya 0. Misalkan
, , , merupakan medan-
σ yang dibangkitkan oleh , , , dan
merupakan filtrasi lengkap yang dibangkitkan oleh .
Karena merupakan rantai Markov homogen, maka berdasarkan sifat rantai
Markov diperoleh , , ,
.
Lema 3.1.1 [Elliot et al.1995]
Misalkan merupakan peluang transisi dan
merupakan matriks peluang transisi yang memenuhi ∑
1, maka
| |
.
Bukti:
Misalkan maka
| ∑
∑
, , … ,
. Sehingga dapat ditulis
. Jadi
, , … ,
. ■
Didefinisikan 3.1
dengan |
| |
| |
| |
. Sehingga diperoleh persamaan state
. 3.2
Lema 3.1.2 [Elliot et al.1995]
, .
Bukti :
Karena ,
1, untuk , untuk
, maka
, ∑
, .
■
Jika , maka vektor
, , … , merupakan nilai harapan
dari , yaitu
dan untuk ergodic memenuhi dan
∑ 1.
Proses state tidak diamati secara langsung namun terdapat proses observasi yaitu
, ,
, di mana
bersifat bebas stokastik identik, dan saling bebas. Ruang
state dari adalah
, , , dengan
merupakan vektor satuan di .
Misalkan , , , , , , ,
merupakan medan- σ dari Ω yang
dibangkitkan oleh , , , dan , , , dan
merupakan filtrasi lengkap yang dibangkitkan oleh
. Misalkan , , ,
merupakan medan-
σ dari Ω yang dibangkitkan oleh , , , dan merupakan filtrasi
lengkap yang dibangkitkan oleh , maka diperoleh
, , , , , , , .
Lema 3.1.3 [Elliot et al.1995]
Misalkan
N M
ji
c C
×
=
adalah matriks
peluang transisi,
di mana
| dan memenuhi
∑ 1, 1
, 1
, maka
| .
Bukti:
Misalkan
i k
e X
=
, maka |
∑ |
∑ , , ,
.
Sehingga dapat ditulis |
. Jadi
| |
. ■
Didefinisikan 3.3
dengan |
| |
| |
| |
|
. Sehingga dapat diperoleh suatu persamaan observasi
. 3.4
Notasi 3.1.4
Misalkan ,
1, ,
dan , , ,
, dengan
∑ 1.
Misalkan |
. Untuk
l k
e X
=
, maka |
, | ∑
, |
|
, ,
, ,
∑ , .
Sehingga dapat ditulis , |
∑ ,
. Jadi
, | ∑
, dan
, , ,
maka |
.
Lema 3.1.5 [Elliot et al.1995]
diag diag
diag
dan
| |
diag diag
, di mana diagz merupakan matriks diagonal yang unsur diagonalnya adalah
vektor z.
Bukti:
dan
.
Karena .
, maka
diag diag
diag
diag diag
diag
. ■
Lema 3.1.6 [Elliot et al.1995]
diag diag
diag
dan
| ]
diag diag
, di mana diagz merupakan matriks diagonal yang unsur diagonalnya adalah
vektor z.
Bukti:
dan
.
Karena
,
maka
diag diag
diag diag
diag diag
. ■
Sehingga didapat model hidden Markov Elliot et al. 1995 dalam waktu diskret dengan ukuran peluang P pada ruang state S sebagai berikut:
, untuk 3.5
di mana ,
, A dan C merupakan matriks peluang transisi dengan
dan ,
yang memenuhi ∑
1, ∑
1, ,
dan memenuhi: |
, |
| diag
diag |
diag diag
.
3.2 Perubahan Ukuran 3.2.1 Teorema Bersyarat Bayes
Kategori