di mana , { ,
, adalah proses predictable terhadap
, bernilai skalar, merupakan vektor berdimensi N, dan merupakan vektor
berdimensi M.
Notasi 3.3.3 Jika proses
, adapted terhadap
, dinotasikan
,
Λ |
.
Notasi 3.3.4 Untuk penyederhanaan dinotasikan
∏ .
Teorema 3.3.5 [Elliot et al. 1995]
Untuk 1
dengan ,
, , adalah kolom ke-j dari
matriks dan
, , ,
adalah kolom ke-j dari matriks
, maka
,
∑
, ,
, ,
diag Λ
, |
.
Bukti: Lampiran 1
3.3.1 Penduga untuk State
Dengan menggunakan Teorema 3.3.5 dan Lema 3.2.6, ambil 1,
, maka penduga untuk state didefinisikan
,
1
,
1
,
, ,
diag Λ
, |
∑ ,
∑ ,
. Jadi
,
1 ∑
, . 3.23
Bentuk pendugaan rekursif untuk nilai harapan tak ternormalkan dari ,
disebut unnormalized smoother, jika diketahui ,
1. Bentuk ini dapat diperoleh dengan mengambil
, ,
1, 1 ,
, maka dengan menggunakan Teorema 3.3.5 diperoleh
,
∑
, ,
, ,
diag Λ
, |
. ∑
,
, .
Jadi
,
∑
,
, . 3.24
3.3.2 Pendugaan Banyaknya Lompatan
Banyaknya rantai Markov berpindah dari state ke state
sampai waktu ke-k didefinisikan sebagai berikut:
= ∑
, ,
.
Dengan menggunakan , maka
= ∑
, ,
∑ ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
.
Dan dengan menggunakan Teorema 3.3.5 dan Lema3.2.6 dapat didefinisikan
,
∑
, ,
, ,
diag Λ
, |
∑
, ,
,
, ,
diag Λ
, |
∑
,
Λ |
,
, ,
diag Λ
, |
.
Ambil ,
, ,
, ,
, ,
sehingga diperoleh
,
∑
,
Λ ,
|
,
, ,
diag Λ
, ,
| ∑
, ,
, ,
diag Λ
, ,
| ∑
,
, ∑
,
, ,
diag Λ
, ,
| ∑
,
,
,
, ,
diag Λ
, ,
| ∑
,
,
,
, diag
Λ ,
, |
∑
,
,
,
, diag
Λ ,
|
}
∑
,
,
,
, diag
,
, }
∑
,
,
,
, diag
∑
,
, ,
diag ∑
,
, ,
.
Jadi
,
∑
,
, ,
. 3.25
Jika
1
diketahui, maka bentuk unnormalized smoother untuk adalah
Λ |
, .
Ambil
, , maka dengan menggunakan
Teorema 3.3.5 diperoleh
,
∑
,
, . 3.26
3.3.3 Pendugaan Lamanya Waktu Kejadian
Misalkan banyaknya kejadian rantai Markov X berada pada state ,
1 , sampai waktu ke-k didefinisikan
∑ ,
∑ ,
, ,
.
Dengan menggunakan Teorema 3.3.5, penduga untuk waktu kejadian dapat didefinisikan
,
∑
, ,
, ,
diag Λ
, |
∑
, ,
,
, ,
diag Λ
, |
∑
,
Λ |
,
, ,
diag Λ
, |
.
Untuk ,
, ,
, , diperoleh
,
∑
,
Λ ,
|
,
, ,
diag Λ
, |
∑
, ,
, ,
∑
,
,
,
, ,
∑
,
, ∑
,
, ,
∑
,
,
,
, ,
∑
,
, ,
. Jadi
,
∑
,
, ,
.
3.27
Bentuk unnormalized smoother untuk jika diketahui
adalah .
Ambil
,
,
, maka dengan menggunakan Teorema 3.3.5 diperoleh
,
∑
,
, . 3.28
3.3.4 Pendugaan untuk Proses Observasi
Banyak kejadian berada pada state
, 1 , dan berada pada state
, 1 , sampai waktu ke-k, didefinisikan
∑ ,
, , 1 , 1
, maka
∑ ,
, ∑
, ,
, ,
, ,
, ,
.
Dengan menggunakan Teorema 3.3.7 dan Lema 3.3.2, dapat didefinisikan
,
∑
, ,
, ,
diag Λ
, |
∑
, ,
,
, ,
diag Λ
, |
∑
, ,
Λ ,
| ,
diag Λ
, |
.
Untuk ,
, ,
, diperoleh
,
∑
, ,
Λ ,
, |
, diag
Λ ,
| ∑
,
Λ ,
, |
, ∑
,
Λ ,
, |
, ∑
,
, ∑
Λ ,
, |
, ∑
,
, Λ
, ,
| ,
∑
,
,
,
, ,
, ∑
,
, ∏
,
, ,
, ∑
,
, ,
, .
Jadi
,
∑
,
, ,
, . 3.29
Bentuk unnormalized smoother untuk dan memilih
, 1
, , maka dengan menggunakan Teorema 3.3.7
diperoleh
,
∑
,
, . 3.30
3.4 Pendugaan Parameter
