Perubahan Ukuran Perubahan Ukuran .1 Teorema Bersyarat Bayes

3.2.2 Perubahan Ukuran

Perubahan ukuran peluang diperoleh dengan mengubah ukuran peluang asal menjadi peluang baru yang kemudian diinterpretasikan kembali ke dalam peluang asal. Perubahan ukuran ini dibatasi oleh turunan Radon-Nikodym. Di bawah ukuran P pada Ω, dan adalah medan- yang dibangkitkan , berlaku: • X merupakan rantai Markov yang homogen dan memenuhi , dan | . • , di mana | dan merupakan peubah acak yang bergantung pada . Akan dikontruksikan suatu peluang baru pada Ω, yang kontinu absolut terhadap P. Misalkan ukuran peluang baru pada Ω, yang dibatasi oleh turunan Radon-Nikodym Λ k . 3.7 Definisikan ∏ , 3.8 dan Λ ∏ , 3.9 di mana 1, , . Jadi adalah fungsi tak linear dari sehingga dapat ditulis ∑ . 3.10 Lema 3.2.3 [Elliott et al.1995] | 1. 3.11 Bukti: Berdasarkan definisi 3.8 dan 3.10, diperoleh | ∏ 1 1 1 1 ∑ 1 1 1 1 | ∑ 1 1 1 | 1 1 ∑ 1 1 1 1 1 ∑ 1 1 1. Lema 3.2.4 [Elliott et al.1995] Di bawah , , , merupakan peubah acak yang bebas stokastik identik yang menyebar seragam dengan peluang 1 pada masing-masing , 1 . Akan dibuktikan : . Bukti: Dengan sifat , | , | | 1 , dan menggunakan nilai harapan di bawah ukuran peluang , Lema 3.2.2 dan Lema 3.2.3, maka 1 [ , | , Λ 1 1 , | Λ 1 | Λ 1 1 , | Λ 1 | Λ 1 1 , | Λ 1 | , | | , 3.12 berdasarkan 3.11 dan 3.12, diperoleh 1 | , | ∏ , | ∑ , | , | | 1 1 1 . Karena 1 , 1, maka . Sehingga 1 1 . ■ Sehingga di bawah ukuran pada Ω, akan berlaku: • merupakan rantai Markov yang homogen dan memenuhi , dan | . • Y merupakan barisan peubah acak diskret dengan , , , yang bersifat bebas stokastik identik dan menyebar seragam dengan untuk 1, , , . • dan saling bebas. Lema 3.2.5 [Elliot et al. 1995] | . Bukti: Berdasarkan Persamaan 3.1, diperoleh | | , | . ■ Lema 3.2.6 [Elliot et al. 1995] | . Bukti: Berdasarkan Lema 3.2.5 diperoleh, | | , | | | | . ■ Akan dikontruksi kembali ukuran peluang P pada Ω, yang kontinu absolut pada dengan turunan Radon-Nikodym Λ sehingga di bawah P, model 3.5 dipenuhi yaitu: • merupakan rantai Markov homogen yang memenuhi d an | . • , di mana | dan merupakan peubah acak yang bergantung pada . Misalkan dan , , , jadi ∑ 1. 3.13 Untuk menentukan P dari didefinisikan dan Λ yang merupakan invers dari dan Λ , yaitu ∏ , 3.14 Λ ∏ , 3.15 dan Λ . , 3.16 dimana 1 Lema 3.2.7 [Elliott et al.1995] 1. 3.17 Bukti: 1 | ∑ 1 1 | ∑ 1 | 1 ∑ 1 1| ∑ 1 1 ∑ 1. ■ Lema 3.2.8 [Elliott et al.1995] Di bawah ukuran P, | . Bukti: Dengan menggunakan Lema 3.2.2 1 | , | Λ 1 1 , | Λ 1 | Λ 1 1 , | Λ 1 | 1 1 , | 1 | , 3.18 berdasarkan 3.17 dan 3.18 diperoleh 1| , | ∏ , | , | , , | , | 1| 1 . Sehingga berdasarkan notasi 3.1.4 dapat ditulis, | . ■ Dengan , maka | . Sehingga persamaan observasinya dapat ditulis .

3.3 Pendugaan Rekursif