3.2.2 Perubahan Ukuran
Perubahan ukuran peluang diperoleh dengan mengubah ukuran peluang asal menjadi peluang baru yang kemudian diinterpretasikan kembali ke dalam peluang
asal. Perubahan ukuran ini dibatasi oleh turunan Radon-Nikodym. Di bawah ukuran P pada
Ω, dan
adalah medan- yang dibangkitkan
, berlaku:
• X merupakan rantai Markov yang homogen dan memenuhi , dan
| .
• ,
di mana |
dan merupakan peubah acak yang bergantung pada
.
Akan dikontruksikan suatu peluang baru pada Ω,
yang kontinu absolut terhadap P. Misalkan ukuran peluang baru pada
Ω, yang dibatasi oleh
turunan Radon-Nikodym Λ
k
. 3.7
Definisikan
∏
, 3.8
dan Λ
∏ ,
3.9
di mana 1,
, . Jadi
adalah fungsi tak linear dari sehingga dapat
ditulis
∑
. 3.10
Lema 3.2.3 [Elliott et al.1995]
| 1. 3.11
Bukti:
Berdasarkan definisi 3.8 dan 3.10, diperoleh |
∏
1
1 1
1
∑
1
1
1 1
|
∑
1
1
1
|
1
1
∑
1
1
1 1
1
∑
1
1
1.
Lema 3.2.4 [Elliott et al.1995]
Di bawah ,
, , merupakan peubah acak yang bebas stokastik identik
yang menyebar seragam dengan peluang 1 pada masing-masing , 1
. Akan dibuktikan :
.
Bukti:
Dengan sifat , |
, |
| 1
,
dan menggunakan nilai harapan di bawah ukuran peluang , Lema 3.2.2 dan
Lema 3.2.3, maka 1
[ , |
,
Λ
1 1
, | Λ
1
| Λ
1 1
, | Λ
1
|
Λ
1 1
, | Λ
1
| ,
| |
, 3.12
berdasarkan 3.11 dan 3.12, diperoleh 1 |
, |
∏ , |
∑ , |
, | |
1 1
1 .
Karena 1
, 1, maka
. Sehingga 1
1
. ■
Sehingga di bawah ukuran pada Ω,
akan berlaku: •
merupakan rantai
Markov yang
homogen dan
memenuhi , dan
| .
• Y merupakan barisan peubah acak diskret dengan , , ,
yang bersifat bebas stokastik identik dan menyebar seragam dengan untuk
1, , , . •
dan saling bebas.
Lema 3.2.5 [Elliot et al. 1995]
| .
Bukti:
Berdasarkan Persamaan 3.1, diperoleh |
| , |
. ■
Lema 3.2.6 [Elliot et al. 1995]
| .
Bukti:
Berdasarkan Lema 3.2.5 diperoleh, |
| , |
| |
| .
■
Akan dikontruksi kembali ukuran peluang P pada Ω,
yang kontinu absolut pada
dengan turunan Radon-Nikodym Λ sehingga di bawah P,
model 3.5 dipenuhi yaitu: •
merupakan rantai
Markov homogen
yang memenuhi
d an
| .
• ,
di mana |
dan merupakan peubah acak yang bergantung pada
. Misalkan
dan ,
,
,
jadi ∑
1. 3.13
Untuk menentukan P dari didefinisikan dan Λ yang merupakan invers dari
dan Λ , yaitu
∏ ,
3.14 Λ
∏ , 3.15
dan Λ
.
, 3.16 dimana
1
Lema 3.2.7 [Elliott et al.1995]
1. 3.17
Bukti:
1
|
∑
1 1
|
∑
1
|
1
∑
1
1|
∑
1
1
∑ 1.
■
Lema 3.2.8 [Elliott et al.1995]
Di bawah ukuran P,
|
.
Bukti:
Dengan menggunakan Lema 3.2.2 1
|
, |
Λ
1 1
, | Λ
1
| Λ
1 1
, | Λ
1
|
1 1
, |
1
|
,
3.18
berdasarkan 3.17 dan 3.18 diperoleh 1|
, | ∏
, | , |
, , |
, | 1|
1 .
Sehingga berdasarkan notasi 3.1.4 dapat ditulis,
|
. ■
Dengan , maka
|
. Sehingga persamaan observasinya dapat ditulis
.
3.3 Pendugaan Rekursif